Основы метода конечных элементов

Тогда областью Q определения задачи является прямоугольник АА'Е'Е (рис. 43).

В случае простого нагружения справедливо соотношение

е = еи "Н е22 4* езз= 3а0,

где ец — компоненты тензора деформаций, а — коэффициент линей* ного теплового расширения, 9 — температура.

Тогда формула для Г в рамках принятых предположений принимает

В свою очередь для компонент деформаций верны соотношения Коши

Здесь и (х, у) — перемещения вдоль оси Ox, v (лг, у) — перемещения вдоль оси Оу. Используя (VI.73) и (VI.74), функционал полной энергии системы (см. рис. 41) в перемещениях можно представить относительно срединной плоскости в форме

где st и s2 — площадь сечения фигуры вдоль границ А'Е' и АЕ' соот­ ветственно.

Отметим, что в описываемой нами конкретной задаче были опреде­ лены следующие значения констант: т = 0,7, с = 50. Кроме того, предполагалось, что температура 0 непрерывно изменялась по линей­ ному закону от 280 °С (участок I) до 450 (участок IV).

Таким образом, задача расчета упруго-пластического состояния элемента конструкции (см. рис. 40) в результате приведенных выше рассуждений и с учетом особенностей физической модели была сведена

условиях (VI.76), (V I.77) осуществлялось вариантом МКЭ, основанным на процессе Ритца. Для этого область й , изображенная на рис. 43, по­ крывалась прямоугольной сеткой. Приближенное решение — функции и {х, у), vh(л:, у) — строилось в виде кусочно-билинейных полиномов, которые на каждом прямоугольном элементе имели вид

прямоугольников) было обеспечено однозначное определение билиней­ ного полинома на каждом конечном элементе и непрерывность кусочно­ билинейных полиномов на всей области й, т. е. принадлежность иско­

зованной исходной задачи. Следует отметить, что квазиньютоновские методы обладают сверхлинейной скоростью сходимости, что позволяет получить решение системы (VI.79) с достаточной точностью за 10— 15 итераций.

Ош санная конкретная задача расчета упруго-пластического состоя­ ния обшивки крыла гиперзвукового самолета решалась на машине ЕС 1060 с двойным машинным словом. Геометрические размеры эле­ мента конструкции (см. рис. 40) представлены в табл. 26. Задача ре­ шалась относительно срединной плоскости с учетом толщины состав­

(см. рис. 43) на прямоугольники вдоль оси Ох принимался шаг Л, = = 60 мм, вдоль оси Оу шаг h2 = 5 мм. Численное интегрирование при дискретизации вариационной задачи проводилось по квадратурным формулам Гаусса с тремя узлами. Время счета задачи 10 мин. Согласно полученным результатам были построены графики распределения по­ лей деформаций (рис. 44) и напряжений (рис. 45) конструкции, иллюст­ рирующие возникающие зоны пластичности.

Результаты счета хорошо согласуются с практикой эксперимента.

VI.4. Расчет на прочность имитационной модели самолета в целом

Покажем в данном параграфе некоторые характерные особенности ре­ шения больших систем линейных алгебраических уравнений МКЭ.

1. Постановка задачи. Пусть требуется выполнить расчет на проч­ ность толстой пластины сложной геометрической формы. Срединная плоскость пластины совпадает с плоскостью хОу декартовой системы координат (х, у, г); геометрические размеры ее в метрах указаны на рис. 46. Толщина пластины — кусочно-постоянная, материал — изо­ тропный.

Пластина находится под действием равных по величине дискретных сил Rlt i = 1 -т-4, точки приложения Л, которых] отмечены на рис. 46. Направление действия сил и размещение точек]их приложения выбраны из условия взаимного уравновешивания сил. Единственность вектора

перемещений U {х, у, г) = [ы, v, w]T обеспечивается закреплением пластины в двух точках Р и Q (см. рис. 46).

В соответствии с теорией толстых пластин математическая поста­ новка задачи сводится к решению вариационной задачи об отыскании

вектор-функции U* = [и*, и*, ш*]г, доставляющей минимум функцио­ налу

Здесь Й — трехмерная область, срединная плоскость которой пред­

где Е — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона.

2. Дискретизация задачи. При дискретизации вариационной задачи (VI.80), (VI.81) применен подход, используемый для расчета тол­ стостенных оболочек (см. [39]). Каждый из элементов, на которые раз­ бивается пластина, образован четырьмя плоскими сечениями, перпен­ дикулярными срединной плоскости, и представляет собой прямую приз­ му. Высота каждого элемента постоянная и равна толщине пластины t.

Здесь ф,- (|, ri) — кусочно-билинейная базисная функция МКЭ, рассматриваемая на каноническом квадрате и отвечающая его г-му, I = 1, 2, 3, 4, узлу (рис. 48).

Обозначив через (&, %) координаты г-го узла, можно представить общий вид функций ф/ (|, r\), i — 1, 2, 3, 4, на каноническом квадрат­ ном элементе формулой

мента определить (зафиксировать) по пять параметров, а именно и[9 vit wif т. е. декартовы компоненты узлового перемещения срединной плоскости в i-м узле, a,, (J* — углы поворота нормали к срединной плоскости в i-м узле вокруг оси у и оси х соответственно, то согласно

[39] перемещения U = [и, v, ш]г в любой точке элемента можно найти по формулам

к задаче отыскания обобщенных узловых перемещений (uif vCt wit aiy Pi) в срединной плоскости пластины.

Используя взаимосвязь локальных и глобальных координат, квад­ ратурные формулы Гаусса с восемью узлами на «каноническом» кубе (координаты вершин которого суть (± 1 . ± 1 . ± 1 )) получили согласно (VI.80), (VI.82) — (VI.84) по обычному алгоритму элементарные мат­ рицы жесткости (двадцатого порядка) относительно зафиксированных в срединной плоскости узловых параметров, а затем построили общую систему линейных алгебраических уравнений МКЭ.

Общее количество узлов на срединной плоскости пластины 8921. Согласно соотношению (V I.84) выполнение условия закрепления плас­ тины (VI.81) будет обеспечено, если в узлах Р и Q (рис. 46) положить

что и учитывалось в дальнейшем расчете.

Исходная глобальная нумерация узлов срединной плоскости про­ водилась по направлению, параллельному прямой PQ, начиная с мес­ та, указанного стрелкой на рис. 49. Это обеспечивало более узкую ширину ленты матрицы системы уравнений МКЭ. В результате с уче­ том условий (VI.85) была получена система алгебраических уравнений с симметричной положительно определенной ленточной матрицей 44 595-го порядка, лента которой имеет переменную ширину и малоза-

полнена: максимальное количество ненулевых элементов во всей лен­ точной строке равно 45, а максимальная полуширина ленты — 515 (включая главную диагональ).

3. Решение системы уравнений МКЭ. Рассмотрим теперь особен­ ности вычисления решения большой системы линейных алгебраиче­ ских уравнений

-описанной в предыдущем пункте. Решалась система,на старших моде­

Отметим прежде всего, что в нижнем треугольнике (включая глав­ ную диагональ) симметричной и положительно определенной матрицы А имеется несколько менее 106 ненулевых элементов, так что только для их хранения необходим объем памяти порядка 8 Мбайт.

Если заданную систему решать одним из наиболее эффективных прямых методов — методом квадратных корней, то в процессе фактори­

были нули (произойдет заполнение ленты). При машинной реализа­ ции соответствующего вычислительного алгоритма, даже с учетом переменной ширины ленты (профильный алгоритм), для хранения ленты только матрицы L потребуется уже порядка 116 Мбайт, т. е. более одного магнитного диска с объемом хранимой информации 100 Мбайт. Очевидно, что решение системы (VI.86) данным алгоритмом на ЕС 1060 с использованием нескольких таких дисков является не­ реальным: машинное время будет неприемлемо большим, особенно если учесть среднее время наработки на отказ ЭВМ ЕС и надежность периферийных устройств.

Как известно (см., например, [23]), в настоящее время существуют различные процедуры переупорядочения строк и столбцов разрежен­ ной симметричной положительно определенной матрицы, обеспечиваю­ щие уменьшение ширины ее ленты (или уменьшение размера профиля). Заметим, что для систем уравнений МКЭ любая процедура упорядоче­ ния матрицы равносильна некоторой перенумерации узлов сетки (см. п. 2 параграфа 1.3, рис 16). Однако попытка упорядочения матрицы А системы (VI.86) с целью сужения ее ленты (уменьшения размера про­ филя) не увенчалась успехом: первоначально выбранная нумерация узлов введенной сетки (см. рис. 49) обеспечила минимальную ширину ленты.

Можно было бы попытаться использовать какую-нибудь другую процедуру упорядочения (см. [13, 23, 1141), чтобы обеспечить эффек­ тивность применения прямого метода к системе (VI.86).

Однако при их практической реализации с использованием внешней памяти возникает ряд трудностей, снижающих эффективность этих процедур [51, 113]. Поэтому при вычислении решения на ЭВМ ЕС 1060 с дисками объемом 100 Мбайт более целесообразным представлял­ ся все-таки отказ от «чисто» прямого метода в пользу одного из мето­

дов сопряженных направлений, а именно — метода неполного разло­ жения [15].

Суть этого метода в нашем случае сводится к следующему. Симмет­

ставлена в форме, обеспечивающей сравнительно «недорогое» вычисле­ ние решения системы Мг = /. Итерационный процесс решения системы

Заметим, что в рассматриваемом случае начальный вектор х0 назы­

симметрична, но и положительно определенная, то любой вектор х0 является подходящим. В противном случае для произвольного х0 не гарантируется отсутствие вырождений в процессе (VI.87). На практике в качестве х0 можно брать почти любой вектор; если же все-таки слу^ чится обрыв процесса, то его нужно возобновить с другого началь­ ного вектора.

Как известно (см. [15]), искомое решение будет получено по про­ цессу (VI.87) особенно быстро, если матрица имеет простую структуру и мало попарно различных собственных чисел. Обеспечить такие свой­

ства матрице М~1А можно, например, в том случае, если в представле­ нии А = М + N матрица М будет «близка» к Л, так что большинство собственных чисел матрицы N и, следовательно, M~lN будут равны нулю или близки к нулю: М~хА = Е + M~XN\ в «пределе» М~1=

= А~1

Замечание. Получение решения системы (VI.86) по схеме (VI.87) с симметричной и положительно определенной матрицей М равносильно решению обычным методом сопряженных градиентов специально «под­

Процедуру перехода от системы (VI.86) к системе (VI.88) называют преобусловливанием системы, а матрицу М — преобусловливателем.

Схему (VI.87) с указанной матрицей М называют иногда методом со­ пряженных градиентов с преобусловливанием.

Если матрица М близка к матрице А в указанном выше смысле, то обычный метод сопряженных градиентов будет работать гораздо быстрее в случае системы (VI.88), чем исходной системы (VI.86), а следовательно, схема (VI.87) более эффективна, чем обычный метод сопряженных градиентов.

Вернемся к описанию процесса решения нашей конкретной систе­ мы МКЭ (VI.86). Для вычислительной схемы (VI.87) матрица М строи­ лась с помощью неполной факторизации матрицы А (вариантом метода квадратных корней):

Процесс неполной факторизации выполнялся таким образом, что после завершения вычисления всех элементов очередной строки мат­ рицы L'(HD) в этой строке L оставлялось только 100 наибольших по мо­ дулю элементов. В результате была построена нижняя треугольная матрица L, количество ненулевых элементов которой равнялось

3 894 996. Матрица М хранится в факторизованном видеМ = LDLT, что удобно для реализации процесса (VI.87).

Заметим, что в настоящее время для процедуры неполной фактори­ зации заданной матрицы предложены различные подходы и различные критерии отбрасывания элементов в строках L (см. обзор [122]). При решении системы (VI.86) использовалась процедура из [78]. Получен­ ная по ней матрица М не является знакоопределенной.

Коротко об организации вычислений на ЭВМ. Решение системы (VI.86) выполнялось на ЕС 1060 с двумя объемом 100 Мбайт дис­ ками.

Информация о нижнем треугольнике матрицы А (включая главную диагональ) хранилась в трех массивах: массиве значений ненулевых элементов; массиве, указывающем номер столбца для каждого ненуле­ вого элемента; массиве, указывающем общее количество ненулевых элементов во всех предшествующих строках нижнего треугольника, включая данную. Аналогично хранится информация о матрице L. Элементы матриц А и L хранились как двойные машинные слова.

Вся информация, необходимая для решения прикладной задачи, занимала один диск. Другой диск использовался для хранения неко­ торой вспомогательной информации, необходимой для эффективной организации вычислительного процесса.

Для построения матрицы М и выполнения процесса (VI.87) эле­ менты нижнего треугольника матрицы А вызывались в оперативную память поблочно: матрица была построчно разбита на 14 блоков, до­ ступ к которым — последовательный. Все программы были разрабо­ таны с учетом возможности их выполнения с разрывом во времени, что позволяло противостоять машинным сбоям и давало возможность управлять процессом решения.