Основы метода конечных элементов

Полученная таким образом система линейных алгебраических уравнений (1.48) тождественно совпадает с той системой уравнений, которая была бы получена из (1.45) после исключения в последней всех

/ = U 2 , k.

В результате решения системы уравнений (1.48) получают все неисключенные неизвестные а/, / = 1 , 2 , fe, а в случае необходимости

неизвестные перемещения vl во внутренних исключенных узловых точках вычисляются с помощью соотношений

проведена в несколько этапов, т. е. подструктуры Q1могут быть сами объединены в группы и т. д.

На основании изложенного очевидно, что метод суперэлементов позволяет значительно понизить порядок системы линейных алгеб­ раических уравнений без непосредственного построения полной систе­ мы линейных алгебраических уравнений и без снижения точности МКЭ. Вместе с тем в методе суперэлементов могут возникать и новые проблемы, связанные с увеличением ширины ленты матрицы системы уравнений, с алгоритмизацией и др.

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В данной главе на примере некоторых краевых задач показывается весь ход постановки и решения соответствующей вариационной задачи методом конечных элементов. Рассматриваются варианты МКЭ, ос­ нованные на модифицированном процессе Ритца и процессе Бубнова — Галеркина. Исследуются сходимость метода, вопросы его численной реализации, а также оценки точности полученных результатов.

(1.1. Постановка задач

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка. Одна из краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка состоит в отыскании функции и (х), которая на отрезке [0 , /] удовлет­ воряет уравнению

(П-1 )

и краевым условиям

ловиях интенсивного теплообмена с окружающей средой, когда на

(рис. 17) основное уравнение растяжения диска, полученное в предпо­ ложении, что на элемент диска действуют распределенные по граням

окружные и радиальные напряжения, а также объемные силы qZJ можно пред­ ставить в виде

г=Ь= ОгЬ,

На внутреннем контуре (г = а) граничные условия зависят от ус­ ловий закрепления диска. Во многих случаях удобно считать заданны­ ми силу или напряжения, так что выполняется краевое условие типа

-$Г + Р-7------+ ^ a7’]|r_ e = а‘

Задача (II. 1), (II.2 ), как известно, может быть сведена к задаче с однородными краевыми условиями. Для этого достаточно найти про­ извольную дважды непрерывно дифференцируемую на [0 , /] функцию Ui (х), удовлетворяющую условиям (II.2 ), и рассмотреть новую неиз­ вестную функцию w (х) — и (х) — их (х).

Легко видеть, что относительно функции w (х) задача (II. 1), (П.2)

Так как v £ С2[О, Л и v (/) = О, то, используя представление

° M = - \Xi n r dx

и неравенство Коши — Буняковского, легко убедиться, что

1 ( - 5г ) d x > ± r\ v 4 x .

о о

Таким образом, неравенство (II.9) принимает вид

/

а следовательно, оператор А положительно определенный в L2 (0, /). Согласно результатам, изложенным в п. 1 параграфа 1.2, в энерге­ тическом пространстве На этого оператора А существует и единственно обобщенное решение w0 (х) задачи (И .7), или, что то же, задачи (II.3), (II.4). Это решение является функцией, доставляющей минимум функ­

ционалу энергии

Аналогично тому, как это сделано в работе [68] для оператора крае­ вой задачи с уравнением (II.3) и краевыми условиями до(0) = до (/) = = 0 , можно показать, что в нашем случае Н а совпадает со множеством

функций пространства Wl (0 , I), обращающихся в нуль в точке х — I.

где до £ НА.

Обобщенное решение до0 (х) задачи (II.3J, (II.4) можно найти, ми­ нимизируя функционал (П .1 1 ) на множестве функций, имеющих

суммируемые с квадратом обобщенные производные первого порядка и удовлетворяющих условию

w (/) = 0 .

Если окажется, что обобщенное решение w0(х) £ D (А), то оно будет и классическим решением задачи (II.3), (II.4).

Вернемся теперь к краевой задаче (II. 1), (II.2 ) с неоднородными краевыми условиями. Чтобы получить для нее функционал, миними­ зация которого позволит найти обобщенное решение данной краевой задачи, положим в функционале (II.И ) w (х) = ы (х )— мх (х), где

стоянных слагаемых функционала, то и (х) — обобщенное решение за­ дачи (II.1), (II.2) — можно найти, минимизируя функционал (11.12) на множеств * функций из пространства Wl (0 , [), удовлетворяющих условию и (/) = g2.

2. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. Если описание исследуемого процес­ са приводит к решению уравнения вида (II. 1) с разрывными коэффи­ циентами, претерпевающими разрыв первого рода в конечном числе точек интервала (0 , /), то постановка краевой задачи требует доопреде­ ления искомого решения: введения дополнительных условий в точках разрывов коэффициентов.

Пусть в уравнении

Если согласно характеру исследуемого процесса искомое решение и (х) уравнения (11.13) непрерывно, то наряду с обычными краевыми

вводят еще и следующие дополнительные условия сопряжения в точ­ ке разрыва:

1«1—В= 0, [ k = 0, (11.15)

где

№ - * = ф(£ + 0) - ф ( £ - 0).

Однако известны практические задачи, решения которых, как и коэффициенты уравнения, имеют разрывы первого рода. Например, таковой является задача о стационарном распределении температуры в стержне, имеющем при х — | разрез с теплоизоляционными свой­ ствами. В этом случае речь может идти, например, об отыскании реше­ ния уравнения (11.13) при краевых условиях (11.14) и дополнительных условиях вида

=1 , 2 , непрерывны на [0 , |1 и [|, Л соответственно.

Решение краевых задач с разрывными коэффициентами, подоб­

ных (11.13) — (11.15) или (11.13), (11.14), (11.16), тоже можно свести к решению некоторых вариационных задач. Это можно осуществить тем же методом, что и в предыдущем пункте, т. е. энергетическим.

Остановимся вкратце вначале на задаче (11.13) — (11.15). Можно показать, что в простра 1стве L2(0, I) оператор А данной задачи, опре­ деленный на множестве D (Л) непрерывных и дважды кусочно-диффе­ ренцируемых на [0 , Л функций, удовлетворяющих условиям (11.14)

и(11.15), является положительно определенным оператором. Действительно, область определения этого оператора D (Л) — плот­

где функция фх (х) — финитна в (0, 6). а фа (х) — в (5, I). Данное мно­ жество М0 плотно в пространстве Lt (0, /).

Поэтому симметричность А непосредственно следует из соотноше­ ний

+ ^ q u v d x = ^ [ k - ~ ~ + quv\dx, и, v£D(A),

ОО

полученных посредством интегрирования по частям с учетом свойств функций, принадлежащих D (Л), а именно: функции и (х) и v (х) удов­ летворяют условиям (11.14), (11.15). Доказательство о положительной определенности оператора А, т. е. проверка справедливости соотно­ шений

параграфа II.1.

В силу положительной определенности оператора А обобщенное решение краевой задачи (11.13) — (11.15) можно получить, отыскав функцию, которая минимизирует в энергетическом пространстве НА оператора А функционал

эти функции обращаются в нуль [68]. Отметим, что функции из данно­ го пространства НАне обязательно удовлетворяют второму из условий (11.15) , т. е. условию

вования минимума функционала (11.23). Пусть и (х) = и0(.х) реализу­ ет минимум данного функционала, v (х) — произвольная функция из

Если функция u0 (x) такова, что имеет по две производные в интерва­ лах (0 , 1 ) и (£, 0 , то в результате интегрирования по частям предста­ вим последнее равенство в виде

Несколько слов о вариационной постановке задач с разрывным ре­ шением типа (II 13), (11.14), (11.16), или, что то же, (11.17) — (11.21). Оператор Л, порождаемый в пространстве L2 (0 , /) данной задачей, тоже является положительно определенным. Его область определения

Ф (х) вида (11.22), т. е. образованных сопряжением двух множеств функций, финитных в интервалах (0 , %) и (|, I).

Доказательство симметричности и положительной определен­ ности рассматриваемого оператора Л выполняется так же, как в

в энергетическом пространстве Нд оператора А задачи (11.13), (11.14), (11.16).

В функционале (11.26) под ^ понимается обычная или обобщенная

производная, определенная на интервалах (0 , |) и (£, /).

Можно показать [69], что энергетическое пространство На в данном

непрерывные функции соответственно на [0 , £] и [£, Л, имеющие там суммируемые с квадратом обобщенные производные и удовлетворяю­ щие условию (11.19).

Заметим, что функции из данного пространства На не обязатель­ но должны удовлетворять условиям (II.20), (1 1 .2 1 ), или, что то же, (11.16), т. е. эти условия являются естественными для оператора А. Чтобы убедиться в этом, используем известную схему. Пусть и0 (х) реализует минимум функционала (11.26) в Нд исследуемого операто­

то, используя интегрирование по частям двух первых интегралов ра­ венства (11.27), получаем

° = h - ^ { k ^ ) + q u ° ~ f ) v d x + i ( - ^ ( k j 3r ) +