Основы метода конечных элементов

но выпуклый на множестве D (Л). Если, кроме того, F (и) непрерывен, то этот функционал выпуклый на D (F). Далее, если F (и) непреры­

вен, а производная Л„ его градиента равномерно положительно огра­

Доказательство данной теоремы см. в [64].

Наконец, напомним определение минимизирующей последователь­ ности для функционала. Пусть d — точная нижняя граница ограничен­ ного снизу функционала F (и):

d = inf F {и).

u£D(F)

Последовательность {ип} функций, принадлежащих D (F), называется минимизирующей для этого функционала, если

limF(H„) = d.

п-+оо

2. Положительно определенные операторы и энергетический метод. Линейный оператор Л, действующий в вещественном гильбертовом пространстве Я, называется симметричным, если область его опреде­ ления D (Л) плотна в Я и для любых элементов и, v £ D (Л) справед­

ливо равенство

(Аи, v) = (и, Av).

Симметричный оператор Л называется положительно определен­

Теперь можно искать минимум функционала F (и) не в D (Л), а в На.

Оказывается, что в энергетическом пространстве существует один и только один элемент и0£ НА> на котором функционал (1.19) до­ стигает минимума. Элемент и0£ НА> реализующий минимум этого функционала, называют обобщенным решением уравнения (1.18). При этом функционал (1.19) можно записать в виде

F{u) = ||ы— ы0||д— 1|ы0||д.

Становится очевидным, что

m\nF{u) = — \\и0(А.

и£НА

Если обобщенное решение и0 принадлежит области определения оператора А, то и0 является классическим решением уравнения (1.18), т. е. решением в обычном смысле. Метод решения операторных урав­ нений (1.18), состоящий, в переходе к вариационной задаче о миниму­ ме функционала (1.19), называют энергетическим методом.

минимум функционала (1.19) в энергетическом пространстве Нл. Та­ ким образом, этот метод позволяет построить приближение к обобщен­ ному решению уравнения (1.18).

Для осуществления процесса Ритца выбирают последовательность

удовлетворяющих следующим требованиям:

1)все элементы ф„ £ На',

2)при любом п элементы <р1( <р2, ..., <р„ линейно независимы;

3)последовательность (1.20) полна в НА-

Из первых N координатных элементов строят линейную комби­ нацию

являются необходимыми и достаточными для определения минимума функции F (аъ а2, ..., аы).

Систему линейных алгебраических уравнений (1.22) можно за­ писать в виде

а если координатные элементы принадлежат D (Л), то в виде

Таким образом, построение приближенного обобщенного решения за­ дачи (1.18) сводится к решению системы линейных алгебраических

уравнений. Так как элементы (фл}^ линейно независимы, то определи­ тель системы линейных алгебраических уравнений (определитель Грама) отличен от нуля и, следовательно, система однозначно разре­ шима.

Найдя коэффициенты akl k = 1, 2, ..., N, из системы (1.23) и под­ ставив найденные значения в (1.21), получают элемент (uN)*, который называют приближенным решением уравнения (1.18) по Ритцу. Отно­ сительно этого решения справедлива следующая теорема [66].

Теорема 1.4. Если А — положительно определенный оператор, то приближенные по Ритцу решения уравнения (1.18) сходятся к точно­ му обобщенному решению этого уравнения как в энергетической норме> так и в метрике исходного пространства.

пространстве размерности N минимизация функционала приводит к решению системы линейных алгебраических уравнений. Число урав­ нений совпадает с размерностью подпространства.

Описанный процесс Ритца допускает следующую модификацию. Вместо последовательности координатных элементов (1.20) можно вве­

которые должны подчиняться условиям:

НА и любого числа е > 0 существует такой номер N (я, е), что при лю­ бом п > N можно отыскать постоянные а|п), а ^ , ..., а ^ , удовлетворяю-

а коэффициенты ау определяются, как и раньше, из условий минимума функционала (1.19). Результаты, касающиеся сходимости приближен­

Пусть А — линейный оператор в гильбертовом пространстве Н. Зна­ чения числового параметра X, при которых существуют нетривиальные

ственными числами и собственными элементами оператора А. Задачу

(Аи, и) > у |МР,

где у — вещественное, не обязательно положительное число. (Как из­ вестно, собственные числа симметричного оператора — вещественны).

Возможность вариационной постановки задачи на собственные зна­ чения для данного оператора определяется следующими двумя теоре­ мами.

Теорема 1.5. Пусть А — полуограниченный снизу симметричный оператор и пусть у0— точная нижняя граница значений функционала

то 1’0 есть наименьшее собственное число оператора А, а и0— соответ­ ствующий собственный элемент.

Теорема 1.6. Пусть А.г ^ Я2 ^ ^ Хп— непосредственно следую­ щие друг за другом первые п собственных чисел симметричного полуограниченного снизу оператора А, а %, и2, ип — соответствующие

и если существует элемент ип+\, реализующий минимум функционала

пространства Н, ортогональное в метрике Н к собственным элементам

^Приведенные результаты подсказывают только способ построения собственных чисел, если существование их уже установлено. Форму­ лируемая ниже теорема определяет достаточные условия существова­ ния обобщенных собственных значений положительно определенного

оператора [68].

Теорема 1.7. Пусть положительно определенный оператор А, дей­ ствующий в гильбертовом пространстве Н, таков, что любое множе­ ство элементов, ограниченное в энергетической норме, компактно в Н. Тогда оператор А:

1)имеет бесконечную последовательность обобщенных собствен­ ных чисел

сединственной предельной точкой на бесконечности;

2)соответствующие собственные элементы образуют систему, полную как в Н, так и в НА.

Отметим, что условие данной теоремы можно сформулировать и так: энергетическое пространство На вкладывается в исходное простран­ ство Н вполне непрерывно.

Условимся в дальнейшем слово «обобщенные» для краткости опус­ кать. Будем считать, что собственные элементы положительно опре­ деленного оператора А ортонормированы в исходном пространстве Н. Тогда можно показать [68], что система собственных элементов орто­ гональна и в энергетическом пространстве НА:

Важную роль в проблеме собственных значений играет минимаксимальный принцип (или принцип минимакса).

Пусть А — положительно определенный оператор, удовлетворя­ ющий условию теоремы 1.7. Если Sn есть я-мерное подпространство

пространства На, то собственное число кпопределяется соотношением

возможных наборах га-мерных подпространств Sn с. На- (Доказатель­ ство справедливости принципа минимакса можно найти в [101].)

Остановимся весьма кратко и на рассмотрении более общей проб­

но только для случая, когда операторы А и В — положительно опре­ деленные и D {А) с D (В) а Н. Эти операторы порождают соответ­ ствующие энергетические пространства На и Нв, так что для любого и с D (А) с= D (В) можно определить как ||ы||л, так и ||«||в. Относи­ тельно собственных чисел и собственных функций операторного урав­ нения (1.30) имеется ряд теорем, аналогичных теоремам для уравнения Аи = ки. Сформулируем (без доказательства) некоторые из них [66].

Теорема 1.8. Собственные числа уравнения (1.80) вещественные (и положительные). Собственные элементы, отвечающие различным соб­ ственным числам, ортогональны в метрике Нв-

Можно считать, что совокупность всех собственных элементов урав­ нения (1.30) ортонормирована в Нв- Нетрудно убедиться, что система собственных элементов ортогональна и в На-

Теорема 1.9. Пусть операторы А и В таковы, что всякое множе­ ство, ограниченное в На, компактно в НвТогда

странствах.

Теорема 1.10. Пусть d есть точная нижняя грань функционала

то d есть наименьшее собственное число уравнения (1.30), а и0— от­ вечающий ему собственный элемент этого уравнения.

Теорема 1.11. Пусть kr ^ k 2^. ... кп есть п первых собственных чисел уравнения (1.30), а ии и2........ип, — соответствующие им соб­ ственные элементы, ортонормированные в НвПусть существует элемент un+i> реализующий минимум функционала (1.31) при допол­ нительных условиях

(Ви, щ) = 0, (Ви, и2) = 0, (Ви, ип) = 0.

Тогда ип+\естъ собственный элемент уравнения (L30), соответствую­ щий собственному числу

это собственное число — ближайшее, следующее за Хп.

Таким образом, теорема 1.9 устанавливает существование собствен­ ных чисел и собственных элементов уравнения (J.30) при положитель­ но определенных операторах Л, В, а теоремы 1.10 и 1.11 указывают на способ их построения путем решения некоторых вариационных задач.

Для уравнения (1.30) также возможно введение понятия обобщен­ ных собственных чисел и соответствующих им обобщенных собствен­ ных векторов. Построение этих обобщенных собственных значений осуществляется посредством решения следующих вариационных задач.

“ £н ав

где Нав — подпространство пространства НАу элементы которого удовлетворяют условиям (1.32).

5. Процесс Рэлея — Ритца в проблеме собственных значений. Для численного решения проблемы собственных значений, сформулирован­ ной в вариационной форме, с успехом применяется процесс Ритца. (Свой метод решения вариационных задач Ритц опубликовал в 1908 г. Этот метод является обобщением метода Рэлея, используемого ранее для решения некоторых задач на собственные значения. Поэтому, если речь идет о решении проблемы собственных значений, данный ме­ тод (процесс) часто называют процессом Рэлея — Ритца.)