Основы метода конечных элементов
..pdf
|
I |
i |
+ |
1 (и — w) vdx + 2 |
С (и3— w3) vdx |
|
J |
J |
|
0 |
0 |
Повторяя рассуждения, аналогичные приводимым выше, легко полу чить оценку
|
|{Au — Aw, » > К 2 | ы — ю||е| + |« — a>||i>| + |
|
|||
|
|
+ ic(M)\u — w\\v\, |
|
(V.60) |
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 19 |
|
|
|
~h = 0,25 |
|
h = 0,125 |
|
xt |
iif |
a " |
e (%> |
иN |
e (%) |
|
|||||
|
|
||||
0,25 |
—0,1875 |
—0,18944 |
1,0 |
—0,18798 |
0,2 |
0,5 |
—0,25 |
—0,25261 |
1,0 |
—0,25665 |
0,2 |
0,75 |
—0,1875 |
—0,18944 |
1,0 |
—0,18798 |
0,2 |
Примечание . При h = 0,25 значение t = 2,98 с, s = 4, при h = 0,125 значение t = 3,43 с.
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
20 |
|||
|
U j |
|
4 |
vf> |
|
6 (%) |
|
|
|
«<%> |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
0 |
|
— 1 |
_ |
|
_ |
|
— 0,9999 |
0,01 |
|||
0,25 |
— 0,1875 |
— 0,5 |
— 0,18749 |
5 -10“ 3 |
— 0,4999 |
0,02 |
||||||
0 ,5 |
— 0,25 |
|
0 |
— 0,24999 |
4 - 10~4 |
0,3 - lO""8 |
|
— |
||||
0,75 |
— 0,1875 |
0,5 |
— 0,18749 |
5 -1 0 - 3 |
0,4999 |
0,02 |
||||||
1 |
0 |
|
1 |
— |
|
— |
|
0,9999 |
’ 0,01 |
|||
n P имечание. |
Здесь h = 0,125, * = 3,43,, 1 *= 4. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 21 |
|||
|
|
|
h = 0,25 |
|
/1 = 0,125 |
|
|
h = 0,0625 |
||||
xt |
tif |
|
и " |
б <%) |
|
|
6 <%> |
|
|
в " |
|
б <%) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0,25 |
—4,5802 |
|
—4,6301 |
1,09 |
—4,5935 |
0,29 |
|
—4,5832 |
|
0,066 |
||
0,5 |
—6,5684 |
|
—7,0256 |
6,93 |
—6,7051 |
2,08 |
|
—6,6019 |
|
0,511 |
||
0,75 |
— 4,7635 |
|
— 4,8158 |
1,09 |
—4,7811 |
0,36 |
|
—4,7686 |
|
0,065 |
||
Пр имечание. |
При h = 0,25 значение и01= |
[-4.6, -6,8, |
—4,6] ^ число |
итераций |
s = 78 |
|||||||
при h = 0,125 значение ti° = |
[—2,6, —4,6,, —6,0, - -6,8, —6,0, —4,6, —2,б]7, |
s = |
9; |
при |
h == 0,0626 |
|||||||
значение |
= [—1,4, -2,6, |
—3,7, —4,6, —5,4, —6,0, |
—6,5, |
—6,8, —6,5, —6,0, |
—5,4, —4,6, |
—3,7, |
||||||
—2,6, —1,4]^, s = 12; время решения всех трех систем / = |
12,26 с. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
h = |
0,25 |
|
*/ |
и'т |
и " |
б (%) |
|
б (%) |
|
|
|
|||
0 |
— 20,2585 |
|
|
— 20,2877 |
0,14 |
0,25 |
— 14,5546 |
— 4,5807 |
0,012 |
— 14,5535 |
0,007 |
0,5 |
— 0,5037 |
— 6,5725 |
0,062 |
— 0,4811 |
4,49 |
0,75 |
14,3540 |
— 4,7627 |
0,017 |
14,3355 |
0,13 |
1 |
22,0457 |
— |
— |
22,0745 |
0,13 |
Примеч а ние . При всех h значение и0 = н° = 0; при h = 0,25 число итераций s = 16, время t = 2 мин 25, 62 с.
где с (М) — константа, значение которой зависит от заданного значе |
|||
ния М. Поскольку, как уже упоминалось ранее, |
|||
|
||Аи— AwI* = sup |
v)\ , |
|
|
|
ифО |
II vИ |
из |
(V.60) непосредственно |
следует |
|
|
I Аи — AwI* < (3 + |
4с (М)) \u— w\, |
|
что |
и требовалось доказать. |
|
|
|
Проведенные рассмотрения позволяют вполне обоснованно приме |
||
нять МКЭ для вычисления |
приближенного решения задачи (V.55), |
||
(V.56). Для этого использовались кусочно-линейные и кусочно-куби
ческие |
эрмитовы |
базисные функции, подробно |
описанные в п. 2 |
па |
|||||||
раграфа |
V.2. |
|
|
|
|
и* (*) £ W\ (0, |
|
|
|||
Согласно теореме V.10 если точное решение |
1), |
то |
|||||||||
использование линейных базисных функций |
(q0 = 1, |
так |
как |
п = |
1) |
||||||
обеспечит скорость |
сходимости приближенных |
решений |
и^ в |
норме |
|||||||
I |2,i |
порядка h\ |
а |
при и* {х) £ W\ (0, |
1) и |
использовании кубиче |
||||||
ских |
эрмитовых |
базисных функций (^0 = |
2, |
/2 = |
3) |
скорость |
сходи |
||||
мости в той же норме | |2,i будет порядка Л3. Дискретизация задачи (V.55), (V.56) методом конечных элементов приводит к системе нели нейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей Якоби.
Решение данной системы выполнялось квазиньютоновским мето дом, идея которого изложена в п. 3 параграфа V.I.
Система решалась на ЭВМ ЕС 1060 для различных h с двойным ма шинным словом. Критерием окончания итерационного процесса слу жило условие
II uk— U*-1|Б < е, IIF (ик)|б < ех.
Полученные результаты для некоторых значений h приведены в табл. 19 (линейные базисные функции) и 20 (кубические). В качестве начального приближения к решению везде выбирался нулевой вектор,
кроме того, |
ы(0) = |
и0 = |
[0 |
0]г; итерационный процесс оканчивал |
ся при ех = |
10-5 |
и е = |
5 |
10-5 . |
|
/г = |
0,125 |
|
|
|
h = 0,0625 |
|
|
|
иN |
б (%) |
|
ш "у |
в (%> |
ии |
в <%) |
|
|
в <%) |
~ |
— |
|
— 20,2609 |
0,012 |
— |
— |
— 20,2597 |
|
0,006 |
— 4,5802 |
6 .1 0 “ 4 |
— 14,5536 |
0,006 |
— 4,5805 |
0,006 |
— 14,5561 |
|
0,013 |
|
— 6,5685 |
0,001 |
|
— 0,4975 |
1,24 |
— 6,5695 |
0,017 |
— 0,5099 |
|
1,23 |
— 4,7634 |
0,001 |
|
14,3512 |
0,019 |
— 4,7641 |
0,013 |
14,3564 |
|
0,016 |
— |
— |
|
22,0490 0,016 |
— |
— |
22,0489 |
|
0,014 |
|
(процессорное) решения системы t=9,83 с; |
при h= 0,125 s = 33, |
t= 24,05 с; при h= |
|
0,0625 s = 199, |
|||||
В табл. |
19 и 20 использовались обозначения, принятые |
в п. 3 пара |
|||||||
графа |
V .I. |
|
|
функцию у (х), |
|
|
|
|
|
Пример |
2. |
Найти |
минимизирующую |
функционал |
|||||
|
' “ |
- Л |
48 ( dx |
! ) + ( dx ) + y 2 ~ f y \ d x |
(V.61) |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
при условии, что
Здесь |
|
li |
|
II |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f ( x ) = |
81 |
sin3* |
/ |
COS2 3JC |
, |
80 |
\ |
, |
|
4 |
sin 3 |
\ |
sin2 3 |
1 |
81 |
} + |
Zx - |
||
|
|||||||||
Единственное точное решение задачи ут = х |
------- |
S1" 3,f ■. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
о |
|
(V.62)
Приближенное решение задачи (V.61), (V.62) вычислялось процес сом Ритца с базисными функциями МКЭ (линейные и кубические по линомы Эрмита). Система нелинейных алгебраических уравнений дис кретной задачи решалась квазиньютоновским методом на ЭВМ ЕС 1060 с двойным машинным словом. Начальное приближение ы° везде нулевое. Условия окончания итерационного процесса такие же, как для предыдущего примера. Результаты счета приведены в табл. 21 (линейные базисные функции) и 22 (кубические). Все обозначения та кие же, как в табл. 16— 20.
Отметим, что в случае кубических базисных функций на точность вычисленного решения uN при h = 0,0625 (см. табл. 22) заметное вли яние оказывают уже и ошибки округления, а не только погрешность МКЭ.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
В настоящей главе будет показано, как методы, описанные в предыду щих главах, могут успешно применяться на практике. С этой целью отобрано несколько решенных авторами и их сотрудниками приклад ных задач, рассмотрение которых позволяет увидеть теоретические и практические трудности, встречающиеся при решении на ЭВМ реаль ных задач.
В одной из задач исследуется напряженно-деформированное со стояние толстых цилиндрических оболочек вращения, регулярно под крепленных кольцевыми ребрами жесткости и находящихся под все сторонним давлением. Материал ребер и оболочки может быть ортотропен и различен. Соединение оболочки с ребрами может быть как жестким, так и «скользящим». Такие задачи описываются уравнени ями упругого равновесия тел в перемещениях, записанных в цилинд рической системе координат, причем в случае скользящего соедине ния ребер с оболочкой на участке их сопряжения допускается разрыв в одной из компонент решения. Их называют смешанными краевыми задачами (контактными, с односторонними связями).
В другой задаче определяются частоты и формы собственных ко лебаний компрессорных лопаток турбомашин. Она относится к клас су задач на собственные значения некоторых дифференциальных опе раторов. Рассматривая лопатку как стержень переменного сечения, для различных видов колебаний (изгибных, крутильных и т. д.) полу чаем задачи на собственные значения для обыкновенных дифференци альных операторов. Если рассматривать лопатку как пластину или оболочку переменной толщины, то ставится задача на собственные зна чения для дифференциальных операторов в частных производных в двумерной области.
Одной из важных прикладных задач является расчет упруго-пла стического состояния панели летательного аппарата, находящегося под силовым и температурным воздействием. Решение такой задачи может быть найдено путем минимизации функционала полной энергии системы, записанного в перемещениях. Вследствие нелинейности фи зических соотношений напряжений и деформаций рассматриваемый функционал не квадратичен.
VI. 1. Исследование напряженно-деформированного состояния толстой цилиндрической оболочки, подкрепленной ребрами жесткости
1. Постановка задачи [19]. Пусть требуется определить напряженнодеформированное состояние достаточно длинной осесимметрично загруженной однородной внешней нагрузкой толстой ортотропной ци линдрической оболочки вращения, регулярно подкрепленной ортотропными кольцевыми ребрами (на рис. 28 изображена половина се чения конструкции плоскостью, содержащей ось вращения г).
На значительном расстоянии от концов конструкции двумя плос костями, перпендикулярными оси вращения (одна из которых прохо дит через середину ребра, а вторая — через середину пролета между ребрами), выделяем элемент (на рис. 28 заштрихованная часть). Урав нения равновесия линейной теории упругости, записанные в цилинд рической системе координат (г, <p, г), для этого элемента имеют вид [57]
где иг и |
иг — перемещения |
по осям Or |
|
плоскости |
(г, z), D = |
(J |
D 2_ ( рис. 29), |
и Ог, область D лежит в ац— упругие постоянные
(в общем случае различны для |
и D 2, так как ребра и оболочка из |
||||||||||||
готовлены из разных однородных ортотропных материалов). |
|||||||||||||
|
Краевые условия на |
Г (г |
= |
JJ |
Г,) задаются следующим образом: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
uz = |
g(r), |
(r,z)€ Г(1), |
|
|
(VI.2) |
||
|
|
|
|
|
<*« = &(/•), |
( r , z ) g r (I), |
|
(VI.3) |
|||||
|
|
|
|
|
t(u) = |
q(г, z), |
(г, z) £ Г(2\ |
|
(VI.4) |
||||
где t (ы) — вектор |
напряжений, |
и = [иг, |
иг]т, |
Г |
= Г(1) (J |
Г(2), Г(|) = |
|||||||
= |
Гх и Г2 |
и |
г 4, Г(2) = |
г3 и Г5 |
и |
Г„ и |
г 7; |
агп |
аГ2, ...— |
компонен |
|||
ты |
тензора |
напряжений. |
со |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Условия на Г8 |
(участке |
|
|
|
|
|
|
|||||
единения |
ребра |
с |
оболочкой) |
|
|
|
|
|
|
||||
задаются в зависимости от того, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
как связаны ребра с оболочкой. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Например, в случае жесткого их |
|
|
|
|
|
|
|||||||
соединения |
(задача |
с |
разрыв |
|
|
|
|
|
|
||||
ными коэффициентами) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1и,| |г. = |
[и,] |г. = |
О, (VI.5) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
\a rr\ |г, = |
[<Vz] Г, = |
О» (VI.6) |
|
|
|
|
|
|
||||
г |
|
|
|
где |
Ф(£ + 0, z) — ip(c — 0, г), |
|||||
|
|
1г |
|
|
Ж |г. = |
|||||
|
|
г, |
|
|
Ot^iz^d, |
(ф (с + |
0, г) == ф+ (с, z), |
|||
* |
Г |
* |
4 |
|
ф (с — О, г) = |
ф- (с, |
г), |
О ^ г ^ d), |
||
h |
ха |
|
|
а |
в случае |
скользящего соединения |
||||
|
|
ь |
||||||||
Г, |
Я, |
|
(задача, |
где |
дополнительно допуска |
|||||
*• |
|
|||||||||
с |
ется разрыв |
|
в одной |
из компонент |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
Г0 Г7 |
|
. |
решения) |
|
[и,] |г. = О, |
(VI.7) |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Z |
|
|
|
||||
|
d |
|
|
1°гг] |г, = |
О, |
а%|г, = |
о7г|г. = 0. |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
Рис. 29. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(VI.8) |
||
Уравнения |
(VI. 1) |
запишем |
в |
операторном |
виде |
|
||||
|
|
|||||||||
LU = f,
где
f=lfl(r,z), / а(Л 2)]Г
Для каждой из рассматриваемых задач нетрудно проверить, что оператор L является симметричным и положительно определенным на множестве М0 дважды непрерывно дифференцируемых в каждой из областей Dlt D2 вектор-функций (J, удовлетворяющих однородным условиям (VI.2) — (VI.4) и условиям (VI.5), (VI.6) или (VI.7), (VI.8).
Каждой |
из задач (V I.1), (VI.2) и (V I.1) — (VI.4), (VI.7), (V I.8) со |
||
ответствует |
вариационная задача: определить |
вектор-функцию U = |
|
= [иг, иг]т, компоненты которой на |
каждой из |
областей Dlt D2 при |
|
надлежат пространству W? (Dk), k = |
1, 2, и которая реализует мини |
||
мум функционала |
|
|
|
— 2 j j (flUr + f2u2) d& — 2 j |
rurgi cos (rt, z) dT — |
|
|
D |
Г<1) |
|
|
— 2 |
1 r(qlUr + dtUjdr |
(dQ = drdz) |
(VI. 9) |
|
Г(2) |
|
|
с учетом того, что выполнены соответствующие главные условия]
(VI.2), (VI.5) |
или (VI.2), |
(VI.7). |
Определив |
скалярное |
произведение двух вектор-функции ср — l<plf |
ф2]7> Ф = [фь |
ф217 по формуле |
|
(ср, ф) = j* £ (Ф1Ф1 + Ф2Ф2)
перепишем |
(VI.9) |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
/(£/) |
= |
F (U) - |
2 ( / , ( / ) - |
21 (U), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(VI. 10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
F (U) — квадратичный |
функционал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
из (VI.9), / (U) — линейный функционал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
из |
(VI.9), |
|
учитывающий естественные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
краевые |
условия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Заметим, что все проведенные рассуж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
дения справедливы также для случая, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
когда d = |
/2, т. е. Г5 = |
0 |
(рис. |
30). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2. |
Дискретизация |
задачи. Область D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(см. рис. 29, 30) триангулируется ко |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
нечным |
числом |
прямоугольных |
треугольников, |
а |
именно: |
каждая |
|||||||||||||
из |
областей |
Dlt D2 линиями, |
параллельными осям координат, |
раз |
|||||||||||||||
бивается |
на |
прямоугольники |
(вершины |
прямоугольников |
на |
Г8 |
об |
||||||||||||
щие для D x и D2) и далее каждый |
из них диагональю, образующей с |
||||||||||||||||||
осью Oz угол, больший |
л/2, |
разбивается |
на два прямоугольных тре |
||||||||||||||||
угольника. В общем случае сетка триангуляции не равномерная. |
|||||||||||||||||||
|
Вершины и центры тяжести треугольников TLбудем называть уз |
||||||||||||||||||
ловыми точками. На Г8 в каждой |
вершине два узла. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- / - |
= |
л’ |
(J |
— |
приближенное ре- |
||||
|
Пусть на каждом треугольнике Tt [D |
|
ГЛ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
UN= |
V |
|
*=1 |
; |
|
|
|
|
|
||
шение, т. е. вектор-функция |
[и?, и?I является полным кубиче |
||||||||||||||||||
ским полиномом Эрмита (см. п. 2 параграфа 1.3; рис. 5, б). |
|
|
|
||||||||||||||||
|
Для |
однозначного определения |
на Tt вектор-функции |
UN(г, z), |
|||||||||||||||
т. е. ее десяти (для |
каждой |
компоненты) |
числовых |
коэффициентов, |
|||||||||||||||
фиксируются ее значения во всех узловых точках и значения ее первых частных производных в вершинах треугольника.
Непрерывность функции UN(г, z) на D lf D2 достигается за счет при равнивания одноименных фиксированных параметров в общих вер шинах треугольников триангуляции, а выполнение условия (VI.5) за дачи (VI. 1) — (VI.6) обеспечивается требованием
(UN)+ = (UN)~, |
Г |
(Vl.il) |
Если решается задача (V I.1) — (VI.4), |
(VI.7), (VI.8), |
то на Г8 тре |
буется выполнение условий (VI.11) только для первой компоненты Ur
вектор-функции UN(г, г).
Для каждой из рассмотренных задач в узловых точках, лежащих на Г(1), требуется, чтобы вторая компонента и£ допустимой векторфункции UN удовлетворяла условиям
диС
(VI. 12)
Система алгебраических уравнений МКЗ строится из элемен тарных матриц жесткости (в рассматриваемом случае с размерами
20 X 20). Коэффициенты элементарных матриц жесткости можно полу чать путем вычисления соответствующих интегралов и последующего матричного умножения. В большинстве случаев затраты времени мож но существенно уменьшить, если элементарные матрицы жесткости формировать из блоков, например, с размерами 10 X 10. Причем эти блоки могут быть одинаковыми для всей области D.
Рассмотрим следующую процедуру построения элементарной ма
трицы жесткости. Каждый треугольник Tt с |
помощью преобразова |
|||||||||||||||||||
ния |
|
|
|
z = |
z1(i) + |
h1(06, |
|
r = |
ri(i) + |
h2(i)4 , |
|
|
(VI. 13) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
ht (i) = z2(i) — zx(i), |
h2(i) = |
ra(Q — rt (i), |
|
|
|||||||||||||
отобразим |
на канонический треугольник Т0 в |
плоскости (£, г]) с вер |
||||||||||||||||||
шинами в точках (0, 0), (1, 0), (0, |
1). Отметим, что нумерация вершин |
|||||||||||||||||||
(rk (i), zk(/)), k = |
1,2,3, |
каждого треугольника Tt в плоскости (г, г) вы |
||||||||||||||||||
полняется |
против часовой |
стрелки, |
начиная с вершины прямого угла. |
|||||||||||||||||
Тогда согласно триангуляции области D и с учетом преобразования |
||||||||||||||||||||
(VI. 13) |
функционал |
(VI .9) |
можно |
представить в виде |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
I(VN) = £ |
[ / Д Л |
|
- 2 б , ( 0 ] , |
|
|
|
(VI. 14) |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
1= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yN(6. |
л) = |
№(£. л). V(i |
T # |
В [и" (г (Т)), |
г (£)), |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«? И Л ). AD)?, |
|
|
|
|
(VI. 15) |
||||||
|
I |
- |
|
„ / |
t o \г |
, |
0 аи гх |
дш |
|
до |
, |
0 аи |
„ |
dw |
до |
, |
||||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
2 w |
|
s |
r |
“* r |
+ |
2 “ |
11^ r ^ r |
+ |
|||
I |
аиЧ ( до \2 |
. |
а44 |
„ / |
до у |
■ |
|
|
|
|
оР . |
|
т |
( до Y . |
||||||
|
|
h\ |
( |
*1 ) |
|
|
|
4 1 *1 |
)33 Ч + |
М |
|
22 |
|
Л2 ( д% ) ^ |
||||||
|
\ |
п |
ht |
п ( |
90 Y |
t |
Оп |
Ч |
|
dw |
до |
п а12 |
|
dw |
до |
+ |
||||
+ °221 1 Г](~ЩГ) |
+2й12Ж |
|
Ж ~ Ж + 2 ~ |
п *Г "5 Г |
||||||||||||||||
|
|
|
|
Si (V") |
= J j (oi/x + |
vf2) hxh2d\dy\ + |
lt, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hk = |
hh{i), |
k = \ ,2 , |
rl = |
r1(i). |
|
|
|
||||||||
Значение |
l( = |
0, если |
me> (Г,- |
f| Г) = |
|
0, |
в противном случае h по |
|||||||||||||
лучаем |
из |
(VI. 10). |
|
|
|
|
|
|
|
(VI. 15) достаточно удобно |
исполь |
|||||||||
Громоздкое |
на вид выражение |
|||||||||||||||||||
зуется |
при реализации МКЭ. Действительно, пусть |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/; ( О |
= |
/< + |
/< + |
/?, |
|
|
|
|
|
|||
где
7' ~ |
а д |
JJ ( ■ Sp) dQ+ |
|
Jf л ( - Ц * )dQ+ |
|
||
|
|
To |
|
|
Г, |
|
|
+ ^ |
m |
r d a + a ^ |
m |
d a + |
|
||
|
|
To |
|
|
To |
|
|
+ “"*»*• JJ 7T W ^ + 2a-A JJ " I r |
|
||||||
|
|
To |
|
|
To |
|
|
Я - 20.Л|J-£-£-<*2+ ^ Я '-Н "® + |
|
||||||
+ 2a„r,JJ *. -g-dB+ 2a,AJJ, £ |
-g-Л+ |
|
|||||
|
Г . |
|
|
|
To |
|
|
|
|
+ 2a2Sh2^ w - ^ d Q , |
|
(VI. 16) |
|||
|
|
|
T |
|
|
|
|
J%1= |
a«ri |
Jj (■^") dQ+a^A j j л |
do. + |
|
|||
|
|
To |
|
|
To |
|
|
+ Vi A-Jj (-g r) rfQ+a22 |
Jj л (-|-)2 |
|
|||||
|
|
To |
|
|
To |
|
|
Здесь и далее dQ = dldx\. |
|
|
|
|
|
||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
a»(£. Л) = «1 + “ г£ + «зЛ + a4i2 + |
ав£Л + « вЛ2 + a,£3 + a8|2r|+ |
||||||
|
|
+ а91Л2 + |
«хоЛ3» |
|
(VI. 17) |
||
0(|» Л) = Pi + P2I + |
РзЛ + Р4|2+ |
+ РюЛ3» |
|
||||
нетрудно заметить, что каждый |
интеграл из /} |
имеет вид |
|
||||
из It — |
|
BrA S - ^ |
“ J s - 'A » , |
(VI. 18) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(VI. 19) |
из /? — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(VI.20) |
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r>—1 |
I Si |
0 |
|
|
|
|
|
S~l = |
|
|
|
|
|
0 SJ
есть матрица двадцатого порядка, устанавливающая для каждого тре угольника Т{ связь между некоторыми «масштабированными» узловы
ми параметрами со = Лео вектор-функции UN(г, z) и неизвестными числовыми коэффициентами ah (J, (у = 1,2, ..., 10) полиномов (VI. 17),
a S\~l — соответствующая (10 X 10) матрица связи для каждой из
компонент вектор-функции |
UN\ матрица |
|
— постоянна для |
всей |
|||||||||
области D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор узловых параметров со функции UN(г, |
фиксированных |
|||||||||||
на |
треугольнике |
Tt, |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
® |
|
— 1^г1» Pit |
QI> Ur2t Р-2> Й2’ |
ЫгЗ, |
Рз, |
Рз, иГо, |
|
|
||||
где |
|
^21» |
|
Qlу UZ2J /?2» |
^23» Рз» |
9з» |
Uzo] |
» |
(VI.21) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
duNr |
|
|
|
duNr |
|
|
|
|
|
— Ur {Xk)t |
pk = - дг |
|
Як — |
дг |
( * * ). |
|
|
||||
|
|
UZk = |
|
(X fe), |
|
д а » |
|
Як — |
да» |
лхк), |
|
|
|
|
|
|
pk = дг ~ (X k)> |
дг |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
Z |
|
|
|
X* = X* (i), |
* = 1 , 2 , |
3,— вершины |
7^, |
X 0 = |
X0 (i) — центр |
тяже |
|||||||
сти треугольника Th Л = |
diag (1, hlt h2, |
1, |
hlt |
h2, |
1, h1%h2, |
1, |
1, hu |
||||||
h2i |
1, hly h2t |
1, hi> h2y 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отметим, что всевозможные квадратные блоки десятого порядка типов В и Су возникающие при подсчете каждого интеграла соответ
ственно из /] и /?, не зависят от номера Ть i = 1, 2, ..., N (каждый интеграл порождает свой блок, одинаковый для всей области D). Блоки десятого порядка типа Л, возникающие при вычислении инте-
гралов в l\y кроме интеграла ^ (0 + М d\d\1, тоже одинаковы
для |
любого треугольника Т( области D. |
|
|
|||
|
Учитывая блочную структуру матрицы S” 1, выражения (VI. 18) — |
|||||
(VI.20) |
можно записать в виде |
|
|
|
||
|
|
|
2 = |
Та |
Лео, |
(VI. 22) |
|
|
|
со7Л ^ |
|||
|
|
|
То |
10 |
0J |
|
|
|
|
|
|
J Лю, |
(VI. 23) |
|
|
|
И -( ... ) dQ = |
югЛ ^ |
Лю, |
(VI.24) |
где |
А = |
Si ГЛ5|1-1 |
В = SZTBS-\ |
С = svTcsr' |
^ dv Y |
|
|
Кроме того, для слагаемых (VI. 16), содержащих |
|||||
|
■■ \ ^ j > |
|||||
Л (-^ p j2 и Л |
и т- Д-> соответствующие блоки А и С будут одни |
|||||
ми и теми же. |
|
|
|
|
||