Основы метода конечных элементов

приемлемым, так как с возрастанием размерности пространства вычис­

Возникает вопрос: какая точность квадратурной формулы требу­ ется для сохранения «теоретической» скорости сходимости МКЭ, ука­ занной в теореме II.2 ? Условимся, что рассматриваются только интер­ поляционные квадратурные формулы:

т. е. такие, в которых числовые коэффициенты Ак получены интег­

Здесь предполагается, что функция g (я) интерполирована по ее зна­

раическую степень точности п — 1 , если она верна для всевозможных многочленов степени п — 1 и не верна для многочленов степени л.

Как известно, интерполяционные квадратурные формулы (11.66) точны для всех многочленов степени п — 1 (это непосредственно сле­ дует из рассмотрения (11.66), (11.67)). Отметим, что данное утвержде­ ние справедливо при любом расположении узлов интерполяции xk. При специальном выборе узлов хк>k = 1 , ..., ц, формула (II.66) может стать верной для всех многочленов степени не выше 2 п — 1 .

Примером тому является хорошо известная квадратурная форму­ ла Гаусса [52]. Имеются специальные таблицы (см., например, [52]),

Если функция g (JC) достаточное число раз дифференцируема, то остаточный член

^п

R (g )= \ s W dx— 'Z A„g(xk) n *=l

На основании тождества (11.70) легко доказывается следующее утверждение.

Теорема П.З. Если

h = maxhlf

то для ошибки приближенного интегрирования справедлива оценка

При использовании результатов теоремы П.З и оценки (11.68) в работе [101] показано, что для выполнения условия (11.71) при поло­

жительных квадратурных коэффициентах А) должно быть на каждой элементе [xi—\, х(] по крайней мере п точек интегрирования £/, / = 1 -т- -f- п, если vN (х) — полином степени п, т. е. условие (11.71) выполня­

если допустимые функции vN (х) являются полиномами п-й степени.

что опять-таки не снижает теоретической скорости сходимости МКЭ, обеспечиваемой теоремой II.2 .

Отметим, что оценка (11.75) (как и вид показателя р в (11.74)), полу­ ченная для частного случая функционала (11.51), следует и из общих результатов, касающихся связи между точностью квадратурной фор­

мулы и порядком ошибки uN(х) — uN (х). В многомерном пространст­ ве для функционала, зависящего от m-х старших производных допус­

тимых функций vN, эти общие результаты формулируются следующим образом.

Если с помощью квадратурной формулы точно вычисляется ин­ теграл от любого полинома степени s, умноженного на т-ю производ­ ную любой допустимой функции, то справедлива оценка

|«w- « wbn .< C A HJ.

и b будут отличаться от «истинных», получаемых при точном выпол­ нении всех арифметических операций. Даже если бы эти элементы были вычислены абсолютно точно где-то вне ЭВМ, то при вводе в ЭВМ они претерпели бы искажения за счет ошибок округления, связанных с переводом десятичного представления чисел в числа машинной арифметики.

Таким образом, приступая к решению на ЭВМ уравнений МКЭ, мы в действительности будем иметь дело не с системой (11.76), а с системой

7^ = 6 , (Н.79)

«возмущенной» ошибками округления входных данных.

Как известно, для решения системы линейных алгебраических уравнений можно использовать прямые и итерационные методы. Для построения эффективного быстросходящегося итерационного процес­ са необходимо располагать дополнительной информацией о свойствах матрицы системы, что, как правило, является нетривиальной задачей. Однако, как уже отмечалось в гл. I (параграф 1 .3 ), в ряде случаев воз­ можно получение систем алгебраических уравнений МКЭ, эквивалент­ ных по спектру хорошо изученным схемам метода конечных разностей. Это позволяет использовать разработанные для конечно-разностных уравнений эффективные итерационные методы и в случае МКЭ. Следу­ ет еще заметить, что итерационные методы — приближенные методы, так как дают решение в виде предела сходящейся бесконечной после­ довательности некоторых векторов. Полученное с их помощью при­ ближенное решение обязательно содержит погрешность метода, сущест­ венно зависящую от критерия окончания процесса вычислений. Наряду с этим на точность найденного решения влияют и ошибки округле­ ния, неизбежно возникающие при выполнении любых арифметических операций на ЭВМ (см., например, [105]).

В данной работе мы ограничимся рассмотрением вычисления ре­ шения системы (1 1 .7 9) только посредством прямых методов, которые реализуются за конечное число арифметических операций и при точ­ ном выполнении всех вычислений обеспечивают получение точного решения системы. Отметим, кроме того, что прямые методы позволяют с меньшими затратами реализовать решение системы со многими пра­ выми частями, а это важно в практике инженерных и исследователь­ ских расчетов.

В последнее время начали использоваться методы решения алгеб­ раических систем, которые представляют собой комбинацию прямых и итерационных методов. К ним относятся метод преобусловливания [ 1 2 1 , 136, 139, 146, 152] и методы вычисления решения, реализуемые на последовательности сеток [31, ПО, 140— 142].

Рассмотрим теперь суммарный эффект влияния ошибок округле­ ния, допускаемых при вычислении на ЭВМ решения системы (11.79) каким-нибудь прямым методом. Как показал обратный анализ [14, 105], это влияние равносильно некоторому возмущению исходных данных решаемой системы. Иными словами, реально вычисленное на ЭВМ решение системы (11.79) является точным решением некоторой

возмущенной системы

(K + dK)zB= b + db

с относительно малыми возмущениями dK и db, называемыми эквива­ лентными возмущениями. Относительные эквивалентные возмущения \dK\!\K\\ и \db\l\b\ зависят от порядка решаемой системы п, вычис­ лительного алгоритма и значения е — единичной ошибки округления конкретной ЭВМ в относительных единицах. Сравнение по точности многих прямых методов показало, что «при правильной реализации

вычислений решения удается организовать по ряду схем метода Гаус­ са, метода квадратных корней, метода отражений и др. (Оценки величин соответствующих эквивалентных возмущений можно найти в работах [14, 105].)

Таким образом, суммируя все погрешности машинной реализации вычисления решения системы МКЭ (11.76), можно записать, что полу­

ченное решение zB= г в действительности точно удовлетворяет неко­ торой близкой системе

(K + dK)z = b + db.

Относительную погрешность решения г можно оценить по формуле

(И.80)

справедливой в любой из согласованных норм при выполнении усло­ вия

\ic'[[dR \<\ .

Оценка (11.80) является мажорантной, но неулучшаемой (достижимой) на классе всех невырожденных матриц.

Как видно из (11.80), точность вычисленного значения г существен­ но зависит от числа обусловленности матрицы системы, а именно от

числа Н = |К10 /Г "1 1|. (Заметим, что иногда для оценки точности вы­ численного решения используют следующее сугубо приближенное практическое правило [150]: если система с числом обусловленности

Н = О (10г) решается на ЭВМ, выполняющей операции с р десятичны­ ми цифрами, то вычисленное решение может иметь только р — г вер­ ных значащих цифр.)

Таким образом, для оценки точности вычисленного решения систе­ мы МКЭ необходимо знать число обусловленности матрицы этой системы или хотя бы порядок его величины.

Значение Н = |КJ |К~~]|зависит от выбранной нормы (векторной и согласованной с ней матричной), но порядок величины Н при этом, как правило, изменяется мало. В дальнейшем мы будем иметь в виду

специальную матричную норму, которая для симметричной положи­ тельно определенной матрицы А равна максимальному собственному числу этой матрицы |А |= Яша* (Л). Очевидно, что в этом случае

рицы системы уравнений МКЭ задачи (11.77), (11.78). При этом мы будем следовать работе [1 01 ].

Напомним, что матрица К образуется в результате дискретизации

Используя для дискретизации обеих частей неравенства (11.81) одну и ту же конечно-элементную процедуру, с учетом граничного

Так как для любой положительно определенной квадратичной фор­

В цепочке неравенств (11.83) было учтено, что любая компонента вектора со (т. е. любой фиксированный параметр: vL, V( и т. п.) встре­ чается не более чем в двух соседних элементах.

Из соотношений (11.83) следует, что

*тах (/<■)< 2 СЛ.

Так как наименьшее собственное число положительно определенной

Как будет показано в гл. IV, задача (11.85) является дискретным аналогом соответствующей дифференциальной задачи на собственные

решаемой методом конечных элементов. Там же будет показано, что минимальное собственное число дискретной задачи всегда не мень­ ше минимального собственного числа (L) исходной задачи:

К Ж ( Ц -

(Данное соотношение, вообще, справедливо для приближенных соб­