Основы метода конечных элементов

рощающих гипотез, учитывающих особенности геометрии рассматри­ ваемых тел, свойства материалов этих тел и т. д., был создан ряд при­ кладных теорий, позволяющих приближенно (аналитически или числен­ но) решать ряд задач. Одной из таких важных задач является задача на колебания или устойчивость, которая сводится к нахождению не­ скольких минимальных собственных чисел и соответствующих им соб­ ственных функций уравнения

Lu = Ы, или La = Ш « ,

где L, М — некоторые дифференциальные операторы, описывающие те или иные математические модели в прикладных теориях.

В качестве примера можно привести задачу о колебании прямо­ угольной в плоскости Оху пластины, испытывающей сжимающие и сдвигающие усилия. В этом случае опраторы L и М приобретают сле­ дующий вид:

где k0, ku k2, k3i тъ m2, m3 — коэффициенты, представляющие собой жесткости, сжимающие и сдвигающие усилия.

Характер закрепления краев пластины дает различные типы крае­ вых условий. Например, жесткое закрепление характеризуется на

границе области условиями и = 0, — - = 0 (п — внешняя нормаль к

границе).

Вычисленные решения математических задач теории упругости должны быть проанализированы как с качественной, так и с количест­ венной стороны. Качественный анализ показывает наиболее нагружен­ ные и наиболее ослабленные с точки зрения напряженного состояния части конструкции. С помощью количественного анализа можно опре­ делить необходимый материал, размер и форму конструкции для того, чтобы удовлетворить нужным условиям прочности и жесткости.

Таким образом, нами рассмотрены некоторые математические за­ дачи, возникающие в теории упругости. Необходимо отметить, что описание одной и той же задачи теории упругости многовариант­ но. Как это было видно на примере задачи линейной статической тео­ рии упругости, для описания ее можно использовать уравнения упру­ гого равновесия тел в перемещениях или напряжениях. Эту же задачу можно сформулировать как вариационную. Отметим, что вариацион­ ные постановки задач предъявляют минимальные требования к глад­ кости как самих решений, так и коэффициентов, используемых в задаче.

Математические задачи теории упругости решаются в основном как методом конечных разностей, так и различными вариантами мето­ да конечных элементов.

С математической точки зрения метод конечных элементов (МКЭ) может трактоваться как обобщение методов Рэлея, Ритца, Буб­ нова — Галеркина, основанное на специальном выборе координатных (базисных) функций. Вначале он развивался как машинно-ориенти­ рованный метод описания и решения прикладных задач. Благодаря усилиям математиков и специалистов в области вычислительной ма­ тематики было дано теоретическое обоснование МКЭ как средства при­ ближенного решения математических задач.

3. Метод конечных элементов как средство описания дискретных задач. Традиционно усилия специалистов в* линейной теории упругос­ ти были направлены на решение краевой задачи (1.6) — (1.8). Введе­ нием упрощающих гипотез, учитывающих особенности геометрии рас­ сматриваемых тел, свойства материалов и т. д., был создан ряд прик­ ладных теорий, позволяющих приближенно или аналитически решать некоторые частные задачи. С появлением современных ЭВМ широко стали разрабатываться машинные методы решения общих уравнений теории упругости, в том числе и метод конечных элементов. Ряд специ- алистов-прикладников используют МКЭ как средство получения не­ посредственно дискретной модели исследуемого физического явления. В данном случае рассматриваемая область разбивается на простые части (элементы) и на основе физики явления составляются уравнения равновесия и неразрывности этих частей, устанавливается взаимосвязь между элементами. В рамках такой дискретной аппроксимации иско­ мые параметры всегда имеют определенный физический смысл. Рас­ смотрим использование МКЭ в подобном плане на примере решения за­ дач о напряженно-деформированном состоянии тел в нелинейной тео­

поля могут быть аппроксимированы сравнительно простыми аналити­ ческими выражениями, зависящими от нескольких параметров. На­ пряженное состояние или соответствующая деформация внутри аппрок­ симируется, как правило, полиномами. Если используется метод ко­ нечных элементов в варианте метода перемещений, то за основные неизвестные принимаются компоненты перемещений в узловых точках, расположение которых зависит от формы подобласти, вида использу­ емого полинома. При этом напряженно-деформированное состояние элемента однозначно определяется через его узловые перемещения. В пространственных задачах перемещения в подобласти аппроксими­ руются трехмерной вектор-функцией

v(xlt х2, х3) = G(xv х2, х3)и,

где G (лгх, х2, х3) — матрица, и — вектор, состоящий из фиксированных значений искомых перемещений в выбранных узловых точках элемен­ та, по которым позже устанавливается связь с соседними элементами. Используя соотношение между растяжением и сдвигом, представленное в матричном виде

и закон Гука, записанный следующим образом:

o(xv х2, хв) = Яе,

можно выразить напряжения о через перемещения и в фиксированных узлах. Векторы а, е составлены из ненулевых компонент соответству­ ющих тензоров. В равенстве (1.15) DQ можно построить, используя матрицу G и формулы Коши (1.1). Принцип минимума потенциальной энергии позволяет получить условия равновесия

области приводит к системе линейных алгебраических уравнений от­ носительно перемещений узловых точек

Ки = f

с симметричной разреженной матрицей К, называемой глобальной мат­ рицей жесткости. На основе физических соображений (заданы усло­ вия, сдерживающие перемещения тела как целого) эта матрица — по­ ложительно определенная. Решение системы линейных алгебраиче­ ских уравнений дает нам приближения к перемещениям в узловых точках исследуемой задачи. Имея перемещения, можно легко вычислить компоненты тензора напряжений и деформаций в любой точке тела.

В параграфе 1.3 мы продолжим описание метода конечных элемен­ тов, рассмотрим некоторые общие вопросы, связанные с реализацией МКЭ как численного метода. Но вначале в параграфе 1.2 приведем ряд необходимых вспомогательных сведений, которые будут полезны во всем дальнейшем изложении.

1.2.Необходимые вспомогательные сведения

1.Обозначения и определения. Основную роль в последующем изложе­

нии (см. гл. II— V) будут играть функциональные пространства, элементами которых являются вещественные функции и (х) одной пере­ менной х9 принадлежащей ограниченному интервалу (а, 6), и вещест­ венные функции и (Ху t), областью определения которых служит прямо­ угольник QT= (а, Ь) х (0у Т).

Укажем главные из функциональных пространств, встречающихся в монографии.

Банахово пространство 93, т. е. полное линейное нормированное пространство (норму элемента и будем обозначать как \\и\\% или про­

сто I и |[).

Нормированное пространство Е называется полным, если для лю­

то М называют всюду плотным множеством (в 23). Очевидно, что лю­ бой элемент банахова пространства 23 является пределом последова­ тельности элементов из множества М, плотного в 23.

Если в 23 имеется счетное всюду плотное в 23 множество элемен­ тов, то пространство 23 называется сепарабельным.

Множество М а 23 называется компактным в банаховом простран­ стве 23, если любая бесконечная последовательность {ип} элементов из М содержит сходящуюся в себе подпоследовательность, т. е. |ир—

— ия\\-+0 при р, q оо.

Прежде чем переходить к примерам конкретных банаховых про­ странств, приведем еще несколько определений и понятий.

Функция и (х) называется суммируемой на (а, 6), если ее интеграл

ъ

в смысле Лебега Ци (х) dx конечен.

а

Приведем определение обобщенной производной (типа функции), принадлежащее С. Л. Соболеву. Ограничимся случаем функции одной переменной (подробнее см. в [98]).

Пусть функции и (х) и v {х) суммируемы на любом строго внутрен­ нем подынтервале (а', У) интервала (я, Ь). Если для любой бесконеч­ но дифференцируемой на [а, Ь] функции ф (я), равной нулю в окрест­ ности концов отрезка [а, 6], справедливо тождество

то функция v (х) называется обобщенной производной первого порядка от функции и (х) на (я, b). Обозначается эта производная так, как обыч­

ная: v (х) = Аналогично определяются обобщенные производ­

ные высших порядков.

Эквивалентным приведенному является следующее определение обобщенной производной. Функция v (х) называется обобщенной про­ изводной первого порядка функции и (х) на (я, 6), если существует последовательность непрерывно дифференцируемых на (я, Ь) функций

Заметим, что существование обобщенной производной на (а, Ь) равнозначно абсолютной непрерывности и {х) на (а, Ь).

Перечислим конкретные банаховы сепарабельные пространства,

мируемых на Q со степенью г. Норма в этом пространстве определя­

ется выражением

1it

2. Оператор Л называется ограниченным, если он преобразует каж­ дое ограниченное множество из D (Л) в ограниченное множество из

зывается нормой оператора Л. Верно и обратное утверждение: линей­ ный ограниченный оператор — непрерывен.

3. Оператор Л удовлетворяет условию Липшица при ограниченных

пространству.

Пространство всех непрерывных линейных (и, следовательно, ограниченных) функционалов, определенных на банаховом простран­ стве 33, называется сопряженным с 33 банаховым пространством и

функционала <р (и), определенного на D (<р) <=. 33, т. е.

|ф Ц®. = 1ф ||* = SUp |ф(ы)|зз||ф|.

11ы/|©=1

При этом, как указывалось ранее, для линейного ограниченного функ­

нахово пространство 33 называется рефлексивным.

Примером рефлексивного пространства является гильбертово про­ странство. Напомним в этой связи известную теорему Ф. Риса.

Теорема. Любойлинейный непрерывныйфункционал I (и) вгильбер­ товом пространстве Н имеет вид

1{и) = (и, и)н,

где v — некоторый элемент из пространства Н, однозначно определя­ емый функционалом I (и); при этом |/ (и) |= |v ||.

Приведем еще несколько определений различных классов опера­ торов.

4. Оператор Л, действующий из 33 в 33*, называется монотонным на множестве М с= 33, если

(Аи — Av, и — ц ) ^ 0 для V и, v£M,

истрого монотонным, если выполняется строгое неравенство при всех

иФи.

5.Оператор А называется сильно монотонным (с постоянной мо­ нотонности у), если

{Au — Avy u — v)^y\u — и||в, у > 0 , u,v£M.

Коснемся еще некоторых сведений о дифференцируемости абстракт­ ных функций, в частности дифференцируемости операторов.

Пусть / (/) — абстрактная функция вещественного аргумента t£ £ [а, Ыу значения которой при каждом значении t являются элемента­ ми пространства 33: / (/) £ 33, а^. t^L Ь.