Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1
..pdfФедеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Пермский государственный технический университет»
В.Н. Кетиков, А.М. Федосеев
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Часть I
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Издательство Пермского государственного технического университета
2006
УДК 517.3 (075.8) К37
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук Э.М. Нуруллаев; канд. техн. наук В.П. Голованов
Кетиков, В.Н.
К37 Функции комплексного переменного и их приложения: учеб, пособие. Ч. 1/ В.Н. Кетиков, А.М. Федосеев. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2006. - 246 с.
ISBN 978-5-88151-671-0
Подробно рассматривается теория функций комплексного перемен ного. Приведено большое количество основных теорем, определений, связанных с фундаментальным построением теории функции комплекс ного переменного, часть теорем строго доказывается. Основные понятия излагаемой теории иллюстрируются многочисленными примерами и ри сунками. Уделено внимание вопросам, связанным с построением специ альных математических функций (эллиптических а, P-функций и т.д.), а также применению теории к решению прикладных задач физики, хи мии и разных отраслей техники. Пособие структурно состоит из двух частей. В части 1 приведены основы теории функций комплексного пе ременного.
Содержание пособия соответствует учебным программам курса высшей математики технических университетов, а также курсу лекций, который авторы читают в ПГТУ
Предназначено для студентов очной, заочной и очно-заочной (ве черней) форм обучения аэрокосмического, химико-технологического, электротехнического, механико-технологического факультетов ПГТУ и может быть полезно преподавателям, аспирантам и инженерам.
(075.8)
ISBN 978-5-88151-671-0 |
О ГОУ ВПО «Пермский государственный |
|
технический университет», 2006 |
Введение........................................................................................... |
5 |
Основные обозначения.................................................................. |
8 |
1. Гиперболические функции......................................................... |
13 |
1.1. Определение гиперболических функций................... |
13 |
1.2. Соотношения между гиперболическими функ |
|
циями....................................................................................... |
16 |
1.3. Обратные гиперболические функции........................ |
19 |
1.4. Дифференцирование и интегрирование гипербо |
|
лических и обратных гиперболическихфункций.......... |
23 |
1.5. Некоторые разложения гиперболических функций |
|
в ряды..................................................................................... |
26 |
Задания к главе 1.............................................................................. |
30 |
2. Функции комплексного переменного....................................... |
35 |
2.1. Алгебраическая форма записи комплексного |
|
числа........................................................................................ |
35 |
2.2. Тригонометрическая форма записи комплекс |
|
ного числа.............................................................................. |
38 |
2.3. Бесконечно удалённая точка. Сфера Римана......... |
44 |
2.4. Геометрия на комплексной плоскости...................... |
48 |
2.5. Задание множества точек на комплексной |
|
плоскости............................................................................... |
57 |
2.6. Последовательностикомплексных чисел................ |
60 |
2.7. Степенные ряды......................................................... |
67 |
2.8. Круг сходимости........................................................ |
72 |
2.9. Двусторонний степенной ряд................................. |
76 |
2.10. Основные понятия и определения функции ком |
|
плексного переменного..................................................... |
80 |
2.11. Предел и непрерывность функций комплексного |
|
переменного........................................................................ |
88 |
2.12. Элементарные функции комплексного перемен |
|
ного |
92 |
2.13. Многозначная функция Argz. Логарифмическая |
|
функция................................................................................. |
98 |
2.14. Обратные тригонометрическиефункции.............. |
102 |
2.15. Производная функции комплексного перемен |
|
ного. Необходимые и достаточные условия диффе |
|
ренцируемости функций..................................................... |
105 |
2.16. Условия Коши - Римана в полярных координа |
|
тах |
ПО |
2.17. Правила дифференцирования функции комп |
|
лексного переменного. Аналитические функции........ |
113 |
2.18. Восстановление аналитической функции по её |
|
действительной или мнимой части................................. |
117 |
2.19. Геометрический смысл аргумента и модуля |
|
производной......................................................................... |
123 |
2.20. Основные понятия и свойства интеграла |
|
функции комплексного переменного............................ |
128 |
2.21. Интегральные теоремы Коши. Независимость |
|
интеграла от пути интегрирования................................ |
133 |
2.22. Формула Ньютона - Лейбница. Интегральная |
|
формула Коши..................................................................... |
138 |
2.23. Высшие производные аналитической функции. |
|
Достаточные условия аналитичности функции........... |
144 |
2.24. Равномерная сходимость функциональных ря |
|
дов. Свойства........................................................................ |
148 |
2.25. Ряд Тейлора................................................................ |
154 |
2.26. Ряд Лорана.................................................................. |
159 |
2.27. Нули аналитической функции. Изолированные |
|
особые точки........................................................................ |
165 |
2.28. Бесконечно удалённая точка как особая. Класси |
|
фикация аналитических функций по особым точкам... |
175 |
2.29. Вычет в конечной точке. Вычисление вычета |
|
в полюсе............................................................................... |
180 |
2.30. Вычет в бесконечно удалённой точке. Лога |
|
рифмический вычет............................................................ |
188 |
2.31. Вычисление интегралов от действительных |
|
функций................................................................................ |
199 |
Задания к главе 2............................................................................... |
205 |
Ответы к заданиям.......................................................................... |
220 |
Библиографический список.......................................................... |
234 |
Приложение. Варианты типовых расчетов.................................. |
236 |
Предлагаемая работа посвящена теории функции ком плексного переменного, являющейся ядром современной мате матики. Переход к рассмотрению функций комплексного пере менного необходим в ряде вопросов и столь же естествен, как переход от действительных чисел к комплексным. Именно ком плексные числа, согласно знаменитой теореме, сформулирован ной и доказанной немецким математиком Ф.Г. Фробениусом (1849-1917), дают единственно возможное расширение поля действительных чисел с сохранением алгебраических свойств.
Исходные идеи теории функций комплексного перемен ного возникли во второй половине XVIII в. и связаны прежде
всего с |
именем Л. Эйлера. Основы теории были созданы |
в XIX в. |
главным образом трудами О. Коши, Б. Римана |
и К. Вейерштрасса. В наши дни классическая часть комплексно го математического анализа - теория функций одного ком плексного переменного - приобрела вполне завершённый вид. Однако и в этой области есть нерешённые проблемы, связанные как с новыми постановками математических задач, так и с при кладными вопросами.
В учебной литературе существует немало удачных курсов теории функций комплексного переменного. Преподавание и изучение математики в техническом университете обусловило определенную направленность в изложении материала и его адаптацию к особенностям математической подготовки студен тов технического университета.
Перед чтением этой работы предлагаем в целях самокон троля выполнить несколько несложных заданий. При возникно вении затруднений все необходимые сведения можно найти в любых учебниках по высшей математике, рекомендуемых учебными программами, например [з, 8, 11, 14].
Задания для самопроверки
1.Из каких чисел состоят множества N, Z, Q, R и С? Что такое абсолютная величина (модуль) числа?
2.Объясните ход доказательства по методу математиче ской индукции.
3. Запишите обозначения промежутков числовой прямой: интервала, отрезка, полуинтервала, бесконечных интервала
иполуинтервала.
4.Изобразите на числовой прямой окрестности конечной
(радиуса г) и бесконечной точек расширенной числовой прямой. В чём отличие этих окрестностей от проколотых окрестностей
иполуокрестностей?
5.Сформулируйте определение и дайте геометрическую
интерпретацию предела последовательности действительных чисел {*,,} Являются ли сходящимися последовательности
? Есть ли среди них бесконечно большая
последовательность?
6. Укажите области определения (существования) и значе ний и постройте графики однозначных ветвей многозначной
функции у 2 = - у .
7. Сформулируйте определение предела, производной и дифференциала скалярной функции действительного пере менного в точке. В каком случае такую функцию называют не прерывной и дифференцируемой в точке, в промежутке? Как вычислить производные сложной и обратной функций и функ ции, заданной параметрическим способом?
8. При каком изменении аргумента функции sin х и — яв
х
ляются бесконечно малыми, а функции х2 и ctg х - бесконечно большими? Приведите примеры бесконечно малых при х -> а функций: а) одного порядка; б) более высокого порядка мало сти; в) первого порядка малости; г) несравнимых; д) эквива лентных.
9. Напишите выражения для производной и дифференциа ла логарифмической функции действительного переменного. Что такое полное приращение функции многих переменных в точке и её частная и смешанная производные? Каков геомет рический смысл частных производных и производной по на правлению функции двух переменных?
10.В чём различие между первообразной функции и неоп ределённым интегралом от этой функции? Каковы условия при менения формулы Ньютона - Лейбница? Чему равны производ ные определённого интеграла по переменным верхнему и ниж нему пределам?
11.Каковы основные свойства и правила вычисления кри волинейного интеграла? В каком случае его значение не зависит от пути интегрирования?
12.Перечислите свойства суммы и Частичной суммы схо дящегося числового ряда. Сформулируйте необходимое условие сходимости числового ряда и достаточные признаки сходимости
знакоположительных рядов: признаки сравнения, Даламбера
иКоши (радикальный и интегральный).
13.Выясните, применим ли к числовому ряду
, |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
|
2 |
4 |
3 6 |
п |
2п |
признак сходимости Лейбница.
14.Сформулируйте теорему Абеля для степенных рядов
сдействительными членами. Как может вести себя такой ряд
вграничных точках интервала сходимости?
15.При каких условиях функцию /(* ) можно представить
ввиде суммы ряда Тейлора? Запишите ряды Тейлора для функ
ций ех, cosх, sin*, In(l -*), (l - * ) m и укажите их радиус сходи
мости. Сформулируйте критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
|
|
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ |
а е А |
- элемент а принадлежит множеству А |
|
А с В |
- множество А включено в множество В |
|
А = {а, Ь,с} |
- |
множество А состоит из элементов а, Ь, с |
А= |
- |
множество А состоит из элементов х, обладаю |
|
|
щих свойством, указанным после двоеточия |
0 |
- |
пустое множество |
А => В |
- |
из высказывания А следует В |
А <=> В |
- |
высказывания А и В равносильны |
N |
- |
множество натуральных чисел |
Z |
- |
множество целых чисел |
Q- множество рациональных чисел
R- множество действительных чисел
С- множество комплексных чисел
М- отрезок с концами в точках а и b
М- интервал с концами в точках а и b
[а,б),(а,б] |
- |
полуинтервалы с концами в точках а и b |
Ё а* |
- |
сумма гг слагаемых а,,..., ак,...,ап |
|
|
|
Л=1 |
|
|
я |
- |
произведение и сомножителей а],...,ат,...,ап |
т=1 |
|
|
g
п! |
- произведение всех натуральных чисел от 1 до п |
|
включительно, принимая 0! = 1 (л/ - факториалы) |
к = 1,п |
- число к принимает последовательно все значения |
|
из множества натуральных чисел от 1 до п включи |
|
тельно |
М{Х;у) |
-- точка М плоскости с координатами х (абсцисса) и у |
|
(ордината) |
м-- упорядоченная пара действительных чисел х и у
R2 - декартово произведение R R (множество упорядо ченных пар действительных чисел)
i - мнимая единица (л/-Т)
Re z, Im г -- действительная и мнимая части комплексного чис
|
|
ла Z |
z |
- |
число, комплексно сопряженное с числом г |
(z) |
- |
комплексная плоскость |
N |
- |
модуль комплексного числа z |
|
|
|
Arg z |
- |
обобщённый аргумент комплексного числа z |
aigz |
- |
главное значение аргумента комплексного числа z |
C |
- |
расширенная комплексная плоскость |
|
|
|
z |
-- |
стереографическая проекция комплексного числа z |
3D |
- |
граница области D |
D |
- |
замыкание области D |
|
|
{ Z j
lim л-юо
limz„, limz„
П—Voo n—yco
f(a) = f(z ) \gma
D{f)
Rif)
u{x,y), V(JC,y)
U(2o)
£ |
CO о |
t/(°o,e)
h * 0)
lim f(z) z->ro
-бесконечная последовательность элементов z„eC
-предел последовательности {zn}
-верхний и нижний пределы последователь
ности {z,,}
-значение функции f(z) комплексного пере менного z в точке z = а
-область определения (существования) функ
ции /(z ) комплексного переменного z
-область значений функции /(z ) комплексно го переменного z
-функция, обратная к функции щ = / ( z )
- действительная и мнимая части функции со = /(z ) комплексного переменного z = х + iy
- окрестность точки z0 еС
- е -окрестность точки z0 е С
-£ -окрестность бесконечно удаленной точки
-проколотая окрестность точки z0 е С
-предел функции f ( z ) в точке z0 е С (при
2 2о)