Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1

Равенство (2.104) позволяет по заданному комплексному числу z * 0 вычислить его логарифм. Значение Ln z, соответст­ вующее в (2.104) значению к = 0, называют главным значением логарифма и записывают

(2.105)

Выбирая однозначную ветвь многосвязной области Lnz, можно показать, что на логарифм комплексного числа распро­ страняются известные свойства натурального логарифма:

п

Пример 2.19. Вычислить: a) Ln(-/); б) Ln(-l-z')

L n (-1 - /) = —1п2- / • — + / • 2кк. 2 4

Можно говорить о возведении комплексного числа в произ­ вольную комплексную степень. По определению полагаем, что

общую показательную Фу н к ц и ю . Как и в случае логарифма, выделяют главное значение показательной Фу н к ц и и а2, рав­ ное e:Lno

при фиксированном а определяет многозначную функцию в об­ ласти С\{0}, называемую обшей степенной функцией.

2.14. Обратные трнгонометрические функции

Функции arcsinz, arccosz, arctgz, arcctgz определяют как

обратные к синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу соответст­ венно и называют обратными тригонометрическими функциями

комплексного переменного. Пусть, например, 2 = cos©, тогда © называют арккосинусом числа z и обозначают arccosz.

Решив квадратное уравнение относительно t, получим два его решения с,, и с,2 которые определим по формуле

^i,2 =Z + Vz2-1 . Учтём, что t = e a , тогда /©= Ln^zW z2 -1 j .

Итак, окончательно

Аналогично с помощью логарифмической функции можно вы­ разить и другие обратные тригонометрические функции

Для найденных соотношений (2.108-2.111) остановимся на вопросе нахождения главных значений. Рассмотрим функцию arccosz.

Поскольку для решений 2 квадратного уравнения (*) вер­ но соотношение х - 1, то )£,,[ х |t,2| = 1 и arg^, + arg^2 = 2nk,

к е Z Главное значение аргумента комплексного числа есть число из промежутка (-я, я], т.е. это число не превосходит я

(2.116)

что по форме совпадает с производной степенной функции дей­ ствительного переменного.

Главную часть приращения А/(z 0), линейную относитель­ но Az, называют дифференциалом функции комплексного пере­ менного f ( z) в точке zQ и обозначают d /(z 0) Так же, как и в действительном случае, получаем d /(z 0) = /'(z 0)* Az

Учитывая, что dz = A z , приходим к соотношению

Доказательство. Пусть функция Дг) имеет производную f'{zo)~ A+iB в точке z0 = х0 + /уо Тогда приращение A/( z 0) этой функции в точке z0можно представить в виде

Обозначим Д z = Ах+ iДу , тогда

и (х0 + Ах,у0 +Ду)+ IV (х0 + Дх,у0 + Ду)-и (х0,y0)-iv (х„,У0)=

- Ам(хо’3>о)+lAv (*о ’Уо)•

p = \Az\ = ^ A x 2 +A y 2 —» 0 Пусть 0(Дг)= 0|(р)+/02(р), где 0](р)

и 02(р) - б.м. при р —» 0 более высокого порядка по сравнению с р. Условие существования производной функции в точке 20 оз­ начает выполнение равенства

Ли(*о.З'о)+1'Ду(*о>.Уо):=

= (А + Ш)• (Дх + iAy)+ Oj(р)+/02{р).

Сравнивая в этом равенстве действительные и мнимые час­

Из приведённых равенств и вытекают условия (2.118). Замечание. Из равенств (2.121) можно получить формулу

для вычисления производной функции комплексного пере­ менного

Соотношения (2.118) обычно называют условиями Коши - Римана.

Остановимся теперь на достаточных условиях дифферен­ цируемости функции.

Теорема 2. Если функции и(х, у) и v(xj>) дифференцируемы в точке (х0, уо) и в этой точке выполнены условия Коши - Рима­

на, то функция Дг) = и(х, у) + iv(x, у) комплексного переменного z = x+iy имеет в этой точке z0= JC0 + iyo производную /'(z), ко­ торую можно вычислить по одной из формул:

плексного переменного, можно сформулировать следующий критерий дифференцируемости функции комплексного пере­ менного: для того, чтобы функция f{z) = и(х, у)+ /v(.t, }■’) была дифференцируема в точке Zo = XQ+ iyo, необходимо и достаточ­ но, чтобы:

1) функции и(х, у) и v(x, у) были дифференцируемы в точке

(*о, Уо); 2) в точке (дго, Уо) выполнялись условия (2.118) Коши -

Римана.

При выполнении этих условий производную /'(г 0) можно вычислять по любой из формул соотношения (2.122).

Пример 2.23. Показать, что функция fiz) = ё дифферен­ цируема на всей комплексной плоскости, и найти её произ­ водную.

Используя формулу Эйлера, получим

<г" = ех+'у = ех ■е,у = ех(cosy + i siny).