Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1

Зададим окружность ком­

Обратим внимание, что полученный результат не зависит от ра­ диуса окружности. Если а - 0, имеем

2.21. Интегральные теоремы Коши. Независимость интеграла от пути интегрирования

Теорема 1 (Теорема Коши для односвязной области).

Если функция /(z ) аналитическая в односвязной области

D и на ограничивающем ее кусочно-гладком контуре L, то

Доказательство теоремы проведем, дополнительно предпо­ ложив, что производная f'(z) данной функции непрерывна в односвязной области D и на ограничивающем ее контуре L. Пусть / (z) = и(х, у) + iv(x, у ) . Тогда в силу (2.122) имеем

АН

от пути интегрирования в односвязной области тогда и только тогда, когда функции Р(х,у) и Q(x,y) непрерывны в этой об­ ласти вместе со своими частными производными и удовлетво­ ряют условию работы [3]:

дР = dQ

(2.154)

ду дх

Если к тому же путь интегрирования замкнутый, то в этом случае интеграл равен нулю. Согласно (2.145) имеем

]f{z)dz =^u{x,y)doc-v{x,y)Ay +i^v{x,y)Ax + u{x,y)dy. (2.155)

P(x,y) = v{x,y), Q(x,y) = и(х,у), и его выполнение означает,

что равен нулю второй интеграл в правой части (2.155). Второе условие совпадает с (2.154) при Р(х,у) = и(х,у),

Q(x,y) =-v{x,y), и его выполнение обеспечивает равенство ну­ лю первого интеграла в правой части (2.155), что в итоге и дока­ зывает справедливость (2.153).

Замечание 1. Теорему 1 часто формулируют так: если функция f{z) является аналитической в односвязной области

D, то интеграл от /(z ) по любому кусочно-гладкому контуру

L, целиком лежащему в этой области, равен нулю.

Замечание 2. В условии теоремы 1 достаточно потребовать аналитичности функции /(z ) лишь в самой области D, т.е. ве­ рен такой результат: если /(z ) аналитична в односвязной об­ ласти D , ограниченной кусочно-гладким контуром L,

и непрерывна в D , то интеграл /(z ) вдоль X равен нулю.

Теорема 2 (Теорема Коши для многосвязной области). Пусть многосвязная область D ограничена внешним кусочно­ гладким контуром Х0 и внутренними кусочно-гладкими конту­

рами Ц,Ь2 ,...,ЬП. Если функция /(z ) аналитична в области D и на ограничивающем ее составном контуре X, то

где интеграл по составному контуру L есть сумма интегралов по контурам L^,Ly,...,Ln, ограничивающим область D и проходи­

мым в положительном направлении. Проведем разрезы области

что при обходе контура L* против часовой стрелки обход дуг контуров X^X^Zj.—.Z,, происходит по часовой стрел­ ке, а каждая из дуг у,, у2,

проходится дважды в противоположных направлениях.

Для замыкания D* односвязной области D *, ограниченной контуром L *, выполнены условия теоремы 1, и тогда

<f/(z)dz - 0.

Учитывая свойства аддитивности и ориентированности ин­ теграла функции комплексного переменного (см. (2.144)) и принимая во внимание, что интегралы по дугам Yi>Y2>--->7n взаимно уничтожаются, получим

что равносильно (2.156).

Пример 2.33. Вычислить интеграл от функции / (z) вдоль астроиды, заданной параметрическими уравнениями у = a sin31, x = acos3/, ге[0,2л] (рис. 33), если этот контур обходится против часовой стрелки, и функ­

ция приобретает вид

1) /(z ) = e ';2 ) /( z ) = i .

(см. рис. 2.33). Тогда функция — будет аналитической в дву-

Z

связной области, ограниченной астроидой и этой окружностью. Используя (2.153), получим

Используя свойства аддитивности и ориентированности интеграла от функции комплексного переменного (см. (2.143)) и интегральные теоремы Коши, сформулируем утверждения в виде следующих теорем.

Теорема 3. Если / (z) - аналитическая функция в некото­ рой односвязной области D , то для любых точек A, B e D зна­ чение интеграла от f(z) вдоль кусочно-гладкой кривой у, со­ единяющей точки А к В, не зависит от выбора этой кривой, ле­ жащей в D , а зависит от положения её начальной и конечной точек. Тогда можно записать

вzR

J/(z)dz или J/(z)dz.

Теорема 4. Пусть /(z ) - функция, непрерывная в одно­ связной области D , и интеграл от /(z ) по любой кусочно­ гладкой кривой, лежащей в D, зависит лишь от положения начальной и конечной точек. Тогда для любой точки z0 е D функция

является аналитической в этой области и

Доказательство этих теорем можно найти, например, в ра­ боте [2].

2.22. Формула Ньютона - Лейбница. Интегральная формула Коши

дх ду дх ду

Выберем произвольную точку а е D , и пусть её окрест­ ность и(х) целиком включена в D Функции и(х,у) и v(jc,y), имеющие нулевые частные производные в односвязной области и(х), постоянны в этой области. Значит, h(z) а 0 в и(х). Со­ гласно теореме о единственности аналитической функции, ана­ литическая в D функция h(z)-C (тождественно равная нулю в и(х)) тождественно равна нулю во всей области D, т.е. f(z)~ g(z) а С в D . А это и доказывает утверждение теоремы.

Теорема 2. Пусть /( z ) - аналитическая в некоторой одно­

Доказательство этой теоремы подробно разобрано в ра­ боте [7].

Формула (2.161), как и в случае функции действительного переменного, называется формулой Ньютона - Лейбница.

Отметим также, что если функции /(z ) и g(z) являются аналитическими в односвязной области D , а у - любая кривая

с начальной точкой z( и конечной точкой z , , то справедлива формула интегрирования по частям

и z2 = /.

Эта функция анапитична на всей комплексной плоскости ( Z ). Используя формулу (2.162) и формулу Эйлера, получим

f(z-i)e 2dz = -J(z -/)d (e z) = -(z - i)e z\ +

+fe~zdz = - (z - 0 e 2\. ~e~:\' =

=- i - e ' +1 = 1 —cos 1 —/(1 —sin 1).

Теорема 3 (Интегральная формула Коши).

Пусть f ( z ) - аналитическая функция в односвязной облас­ ти D и на ограничивающем её контуре L.

Тогда для любой точки z0 справедлива формула

(2.163)

2m'Lz - z 0

z - z 0

всюду в области D , за исключением точки z0 е D, в которой свойство аналитичности нарушено. Окружим точку z0 окруж­ ностью L, радиуса г с центром в этой точке, причем так, чтобы

z “ zo

тической функцией в двусвязной области, ограниченной внеш­

ним контуром L и внутренним Ц,

согласно теореме Коши для много­ связной области, которая в частном случае двусвязной области приво­ дит к равенству

С одной стороны, в силу равенства (2.164) эта разность не зави­ сит от радиуса г окружности Ц . С другой стороны, эта раз­ ность является бесконечно малой при г -» 0. Действительно, со­ гласно формуле (2.152) верно равенство

|f(z)~ f ( z 0) | < s . Пусть радиус г контура Ц настолько мал, что

г < 8 . Тогда всюду на контуре L, верно неравенство