Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1
..pdf6) — ~ +a(e2l + ljy = 0, (a =const); dt
}2
в) - j - + n2y =0, (n = const);
dr
r)r\=— j~, (a,6 = const). dt,' \a Ch q
10. a) |
1 |
|
1 |
-lnsch x + c; |
|
4sch4x)б* |
sch2x |
|
|
_ |
1 |
V2 |
V2 +cthx |
|
6) |
—thx + ---ln -7=--------- + c: |
|||
|
2 |
8 |
V2 -c th x |
|
в ) |
1 |
|
4 |
2 th x - l |
|
+ —?=arctg----7= — + c; |
|||
|
3(l + thx) |
3 & |
s |
|
r) -JLln(\/2 shx + Vch2x)+c; |
||||
д) -x c th x + lnsh x + — + c;
е) (x - 1) (sh x + ch x)+^-(sh 2x + ch 2x)~c
ж) |
- |
1 |
+c : |
|
3e2x ch3x |
||||
|
|
|
||
з) |
^+ с^дс - jc -ln (l-e h x )+ c; |
|||
|
|
shx |
|
|
и) sh xarcsin(shx)+ v l- s h 2x + c : к) chxarctg(sh x ) - x + c .
13. a) y = —th(abx +c), (a ,b . c =const);
a
б) (shx + l)ch>’-sh x = c; в) yshx + x s h j = c.
14.a) j/ = ±xsh(;t + c); б) x =±ysh(y +c).
15.a) Arshp? - ln|y| = с ;
б) |
= JCsh^£7In —|; |
|
|
|
||
в) |
x2sh— = c. |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
16. a) у = e |
2 c, ch -5= + c, sh— |
I: |
||||
|
|
|
V2 |
|
4 i ; |
|
6 ) |
|
|
. |
ch* |
= y; |
|
c , c o s * + c 2 s i n x + —— |
||||||
B ) |
>> = C iC h a x + c 2 s h a x + |
— xchax, (< з,6 = c o n s t ) ; |
||||
|
|
|
|
|
2a |
|
r) ^ = cl chx + c2shjc + 2chxarctgex • |
||||||
д ) |
|
|
|
|
A |
A |
у = c, c h <xc + c2 s h a x + — x s h a x — j - c h a x l n c h a x , |
||||||
|
(a, A = const). |
|
a |
a |
||
|
|
|
|
|||
17. y = ^0ch2x + |
Уо-Л sh 2x + xel x |
|||||
|
|
|
2 |
8 |
|
|
18. а) у = |
Inch(a6x + c,)+ c2, (a,b = const); |
|||||
|
a |
|
|
|
|
|
б) c,^ = sh(c,x + c2); |
|
|
|
|||
в) у = a2s h |
+ CiX+ Cj 5 (a = const). |
|||||
|
cos |
|
, п р и а с Л 2 |
|||
19. ay-* |
• f - % |
|
|
(a,a,h =const). |
||
|
|
|
|
|||
|
ch |
■ |
{ f‘ |
, при а > h2 |
||
OI |
|
|
\ |
c.chx-Ja + c7shx-Ja,a>0 |
|||||||||
21■e 2 У =1 |
|
/— |
|
|
|
|
|
r - |
|
|
|||
|
|
|
|c, c o sxy - a +c2sinx->l-a,a<0 |
||||||||||
22. |
jc = 4 c h / + / - l ; |
y = 4 s h / - / + l. |
|
|
|||||||||
0 , |
|
t2 |
t3 |
e2‘ |
2t +l |
e |
. 2, |
+c, +c,t+c,e |
|||||
23. |
x =— + |
------------------- |
6 16 |
8 |
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
-3 |
|||
|
у |
t |
t2 e2> |
2/ + 1 |
e |
. 2, |
-2c,e |
__2/ |
|||||
|
-------2 ------- |
+ — + |
8 |
|
|
|
+c4. |
||||||
|
|
|
2 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Глава 2.
1. a) 2(cos7t + isinjt);
,
,(< = const).
_b
6) |
2|cos-^ + isin-^ |; |
|
|
|
|||
в) |
r |
Зя |
Зя |
|
|
|
|
2 cos- |
- + isin- |
|
|
|
|||
r) |
yj2(1 -sin a) c^ |
(% |
o') |
. . ( n |
aVj |
||
_ |
+ _ j |
+ l s ^ _ |
+ _ , j ; |
||||
д) |
l(cosa + isina); |
|
|
|
|
||
е) |
2e'n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
.71 |
|
|
|
|
|
ж) l-e |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
it |
|
|
|
|
|
з) |
1-e |
/— |
|
|
|
|
|
2 • |
|
|
|
|
|
||
|
|
2n. |
|
|
|
|
|
и) 2e |
—i |
|
|
|
|
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
||
к) |
l-eH ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
iarcfg- |
|
|
|
|
|
л) -\/34-< |
|
|
|
|
|
||
2. а) |
- 219(и -!л/з ); |
|
|
|
|
||
б) |
210(l + i); |
|
|
|
|
|
|
в) 1728;
г) 1.
3.а) ±
б) ± ^ ( М ;
д) ± 1; ± i ;
Л |
. . Л |
. л . |
л ^ |
е) Ц -{\*1);И 2 -C O S — + 1sin — |
; 64г s i n -------- 1COS------ |
||
12 |
12 |
12 |
12 |
ж) ±(7 з - /); |
|
|
|
з) \/2(cos6° + /sin6°), 1^2(cos78° + isin78°), |
|
||
'^ 2(cos 150° + isin 150°), |
'^2 (cos222° + /sin222°), |
|
|
'•^2(cos294° + /sin 294°). |
|
|
|
4.а) вся комплексная плоскость, из которой вырезан кр
сцентром в начале координат и радиусом г = 2 ;
б) круг радиусом г = 1 с центром в начале координат, при чём центр круга удалён;
в) вся комплексная плоскость, из которой вырезан круг ра
диусом г = с центром в точке (0;0) ;
г) окружность радиусом г = 8 с центром в точке z = 5/;
д) круг вместе с границей радиусом г =4 с центром в точ
ке z = 1 + /; |
|
|
|
е) часть |
кольца, ограниченного двумя |
лучами |
cpj = л/4 |
и ф2 =л/2 и окружностями радиусами rx=1 |
и г2 - 2 |
с центром |
|
в точке z0 = - I ; |
|
|
|
ж) |
часть кольца, ограниченного |
двумя лучами ф, = л/ |
|
и ф2 = 4л/3 и окружностями радиусами г, = 2 и г2= 3 с центром
в точке zQ—0 ;
з) правая полуплоскость, включая ось OY;
и) полоса |
между прямыми у = О, у = 1, включая эти |
прямые; |
|
к) внутренность окружности х2 + (у - i f = 1; |
|
л) область, |
заключённая между окружностями ( x - l f + |
+ { y - \ f =2 и ( т - 2 Y + { y - 2 f = 8. 5. а) <в = -1;
б) со = - 3 - 4 /;
ч1 + /
г) со = —5+ 12/
|
|
13 |
6. а) |
|
я |
|
2 ; |
|
|
|
|
б) |
|
71 |
р = сЫ , ф0 = - ; |
||
в) р = я, |
ф0 = ~ ; |
|
г) p = cos2(ln3), ф0 = 0. |
||
, ч |
1 |
. 1 |
} У г * " Л ’ |
||
б) —1п2-—я /; |
||
|
2 |
4 |
в) кЬя;
г) —ich t тс;
д) kit + i - ^ - , k e Z .
8. a) Zk =(2k + l)%i, k e Z ;
6) Z t = 2к — л /, £ e Z ;
2
в) Zk = (2k + 1) я + / In 2, k e Z ]
д) Zu = 2к я - / ln[ \ п 2+1 - %
е) Z2k+i ={2k +\)n-i\n[л/я2 + 1+ я ], к е Z;
з) Z = 1 - /; и) Z = - е + /
9.а) 1;
б) 0;
в) не существует; г) 0;
д) 1/3;
е) - i ;
ж ) /; з) не существует; и) 0.
10.а) /; б) V2;
г) |
- 2/. |
И. а) нет; б) да; в) нет; г) да; д) нет; е) да; ж) нет; з) нет; и) нет; к) да.
12- a) f(z) =— ;
2
б) f i z ) = In z ;
в) f(z ) = z2+ 2z; r) f(z)=2sh z - z 2;
д) /(z ) = 2 s in z - z ;
е) f(z) = 4ch z + z2 -1 ; ж) /(z ) = 2cos2z + z;
з) f{z) = 2/(cosz - \ ) - i z 2 +2.
13- a) r, = 2, |
Ф] = y |
; |
|
4 |
|
1 |
|
Jt |
>2 = -e, |
q>7 |
2 ; |
б) r, =1, |
(p, = 0; |
|
r2 = Vch2l- s in 2l , cp2 = -arctg(tgl• thl); |
||
в) r, =15, |
( р ,= - с |; |
|
14. |
S ~ = | , |
le = 2(l + V 2 )+ 1п(з + 2V 2 ). |
15. |
= -*2 |
(sh2y2 - sh2 ^ ,)- ^ 'V*(sin2.r, -sin2.t,). |
16.= 7 ,5 7 t.
17.a)
6) 0 ;
в) 0;
r) (f - l) - e ';
Д) |
- 2 (1 + /); |
|
|
е ) |
- 1 ; |
|
|
ж) |
|
|
|
з) |
е cos 1 —1 -н /еsin 1; |
||
и) |
-1 - |
ish i ; |
|
к) |
|
( |
о |
- 1е~2 +3 |
' |
||
|
|
|
Т ; |
л) |
1 —cos 1 + /(sin 1 —l) ; |
||
м) e~l - 1 ; |
|
||
н) |
- - |
_ 2 |
|
— + 31п22 + /• •1п2. |
|||
84
18.а) я /;
б) я-е_|;
в)
г) я ■s h l ;
Д) 0;
е) -izchn -i; 3
ж) 0;
з ) ---г;
45
и) п; к) 0.
19.а) - я / ;
б) 2л/;
г ) 0 ;
д ) - ^ ;
е) shl;
2
ж) я3/ ;
з) 0;
и) - 2 я / ;
20.а) расходится; б) сходится; в) сходится;
г) сходится; д) расходится;
е) сходится абсолютно; ж ) сходится; з) расходится; и) сходится; к) расходится.
21.a) R =1;
б) Л = 1;
в) /? = л/2 ; r)R = co;
Д)Л = 1;
е ) |
R = оо; |
ж ) |
Л = 1; |
з) |
Л = 1; |
и) |
Л = 1; |
к) Л = оо . |
|
22. a) |z + l + i |4 l ; |
|
б) |
|г - / |ч 2 ; |
в) 0 -< —2 + /) -< 1;
г) 2 ч |z| ч 4;
д) расходится всюду; е) 4;
з) 1 -< |z| < 2; и) |z + l|>-2;
к) 0 -< |z - /| < 2.
■чП-1 1 ''г'"
2 з . а > - £ — - - - I
п=1 Z |
-> п=0\ / |
|
Z |
|
/7=0 |
|
|
|
в) не разлагается; |
||||||
г ) |
|
|
£ Ц ^ + £ | £ г ’ - |
|||
д) |
Z |
' |
/7 - |
(-1 У ' ./7-1 , |
||
|
' |
|
|
|||
|
/7=1 |
|
|
2" |
|
|
е) |
Е т " . 7уЧ |
^ |
Я0/7+1 9**)б |
|||
|
/7=I^Z+2/ |
//=о 3 |
||||
ж) не разлагается; |
||||||
|
1 |
|
|
00 2/7-2 |
||
3)- |
|
+5'„?гр |
г |
|||
|
|
|
/7=0 |
Z |
|
|
|
|
1 |
2/7+ 1 |
1 |
||
|
|
7 |
|
|||
к)-ттЕ |
4” |
- |
T Z |
|||
|
12 Го |
|
ЗГ , z2n+1 |
|||
24.a) z = О - второго порядка, z, 2 = ±2/ - простые;
б) zn =mt, n e Z - простые; в) z = 0 - третьего порядка, zn =rm, n e Z - простой;
г) z - 0 - простой,
z„=nni, n e Z - второго порядка;
д) zn - (2п +1)лг, n e Z - второго порядка;