Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1

Это соотношение показывает, что разность (2.165) является бес­ конечно малой при г —>0. Но так как она при достаточно малом г постоянна, то просто равна нулю. Что и требовалось доказать.

Замечание 1. Если функция (р(z) аналитична в односвязан­ ной области D и на ограничивающем ее контуре L, то в силу теоремы Коши для односвязной области

L

Замечание 2. Если в односвязной области D, ограниченной контуром L, есть точка z0, в которой нарушена аналитичность функции cp(z) (особая точка), причем эту функцию можно пред-

Замечание 3. Если в ограниченной контуром L области D есть конечное число особых точек z,,z2,...,z„ функции cp(z), причем эта функция представима в виде

где /(z ) - аналитическая функция на замыкании D , то после­

довательно выполняют следующие действия:

а) строят не пересекающиеся друг с другом и не выходящие за пределы области D вспомогательные контуры U, к = 1, ..., п, каждый из которых окружает только одну особую точку с соот­

1) Подынтегральная функция является аналитической

в замкнутом круге |z| < — (рис. 2.36). Поэтому на основании тео­

ремы Коши для односвязной области интеграл равен нулю.

2) В области, ограниченной окружностью |z - zj = 1

(рис. 2.37), находится точка z = /, в которой нарушена аналитич­ ность подынтегральной функции, поскольку знаменатель дроби обращается в нуль. Представим функцию в виде

3) В круге |z| < 2 (см. рис. 2.36) находятся две точки zx= i

и z2 = -i, в которых знаменатель подынтегральной функции об­ ращается в нуль, т.е. нарушена аналитичность. Окружим эти точки контурами Lx и Li, не пересекающимися между собой

и с окружностью |г| = 2. Тогда подынтегральная функция будет

аналитичной в трехсвязной области D, выделенной на рис. 2.37. По теореме Коши для многосвязной области следует

<f ■—— dz = 4 - j — dz + <f —j — d z .

Ы=2 Z + \ L\Z + \ z +1

И окончательно находим

2.23. Высшие производные аналитической функции. Достаточные условия аналитичности функции

Теорема. Аналитическая в окрестности H(Z0) точки z0

функция / (z ) имеет в этой точке производную любого порядка

п, которую вычисляют по формуле

(2.173)

где L - любой простой кусочно-гладкий контур, охватывающий

Покажем, что

Это равносильно тому, что интеграл

стремится к нулю, при h -» 0.

Простой замкнутый контур L является ограниченным замк­ нутым множеством точек этой плоскости. Поэтому непрерывная на этом множестве функция |z - z0| комплексного переменного z

Используя оценку интеграла (2.151), запишем

(2.176)

где k - длина контура L. Так как правая часть (2.176) стремится к нулю при h -» 0, то и его левая часть так же стремится к ну­ лю. Это означает, что справедливо (2.175). После перехода в (2.174) к пределу при h —» 0, учитывая определение производ­ ной, получим

Вычисляем каждый из интегралов в отдельности:

женными гармоническими функциями в этой области. Рассмот­ рим другие достаточные условия, которые сформулируем в виде теорем.

Теорема 1 (теорема Мореры). Пусть функция f(z ) непре­ рывна в односвязной области D, а интеграл от этой функции по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру, лежащему в D, равен нулю. Тогда функция f{z) аналитична в D.

Теорема 2. Если функция f{z) непрерывна на замыкании

D однозначной области D, ограниченной кусочно-гладким кон­ туром L, и для любого z е D верно равенство

2т LZ,-z

то функция f{z) аналитична в области D. Доказательства этих теорем приведены в работах [1,4].

2.24. Равномерная сходимость функциональных рядов. Свойства

Пусть на некотором множестве А с С определена после­ довательность {f,£z)} функции f„(z) (п = 0,1, ...) комплексного переменного z.

Определение 1. Функциональный ряд

£ //.(* о)-

п=О

Определение 2. Множество всех точек z е А , в которых функциональный ряд (2.179) сходится, называют областью схо­ димости этого функционального ряда.

В пунктах 2.8 и 2.9 были рассмотрены частные случаи функциональных рядов: степенные ряды, имеющие вид

оо

^ C n\z - z0f степенные ряды с отрицательными степенями

п=0

z - z 0, а также двусторонние степенные ряды. Было показано (см. п. 2.8, п. 2.9), что область сходимости степенного ряда представляет собой круг сходимости \z - z 0\< R, дополненный

некоторым множеством точек окружности |z - z 0| = R (может

быть пустым).

Область сходимости степенного ряда, состоящего из отри­ цательных степеней z - z 0, представляет собой внешность ок­

ружности \z —z0| = г , дополненную некоторым (возможно,

пустым) множеством точек окружности. Наконец, область схо­ димости двустороннего степенного ряда представляет собой кольцо г <\z - zQ\< R , быть может, дополненное некоторым ко­