Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1

ки z, = р и

z2 = —. Внутрь контура интегрирования попадает

Р

лишь точка

z, = р . Она является простым полюсом подынте­

2?

dr

г- = 2т ■i

.

Г-----------------

res

1

2я

= - 2rcIim-

2 *

” Ч г - ?

,_ р

М(р) = max|/(z)| 0 при р-»оо,

(2.254)

lim j/(z )e^dz = 0.

(2.255)

p^"rp

Замечание

1. Точно так же можно сформулировать лемму

Жордана для

полуплоскости Re z < я , применив

теорему 1

к функции g(z) = f(iz ) .

ности двух переменных [7].

Подставляя

этот результат

в (2.262), получим

sinx

d x -n i = 0. Отсюда

sin х .

л

И /

I ------ах= —.

О X

х

2

Задания к главе 2

1. Представить комплексные числа в тригонометрической

форме:

а )

-2;

б) 2/;

в)

-V 2 + /V 2 ;

г)

1 - sina + /sina

Го < a < —1;

l

2J

Д)

l + cosa-nsina

| 0 < a < - | .

1 + cosa-isina

^

2,

Представить числа в показательной форме:

е)

-2;.

ж)

/;

з)

и)

—1 —/л/з ;

к)

sina -/c o s a

п

л

— < а < л

л)

5 + 3/.

2

у

2.

Вычислить:

Г

Г '* °

а)

'

1 + V3

1" / J

б)

(2 - 2/)7;

в)

(л/з —3i f ;

W <~~2>

ч

1

гч П \

т 1

1

л) —<Re

+ Im—< —.

5.

4

\ z j

г

2

Найти образы данных точек при указанных отображениях:

а)

z0=-i,(o = z2\

б)

z0= l-/,co = (z -/)2-

в)

z0 =l,co = —Ц ;

z —l

г)

z0 =2 + 3/,co = —.

z

6.

Найти значение модуля и главное значение аргумента

данных функций в указанных точках:

а)

со= cos z, ZQ= —- + / In2 j

6)

co = shz, z0 =1 + /—;

в)

со - z e :,zQ= ni;

г)

co = ch2z, z0 =/1пЗ.

7.

Записать в алгебраической форме следующие комплекс-

ные числа:

71

а)

—/

;

ел

б) ln(l - /) ;

в)

sin л/;

г)

ctgTи ;

д)

Arccos /.

8. Решить следующие уравнения:

а)

в

+1 = 0

б)

в‘ + / = 0 j

в)

4cosz + 5 = 0;

0

shi'z = - i ;

д)

sin z = 7ti;

е)

6^* + 2e- —3 = 0;

ж) ch z = / ;

з)

ln(z + /) = 0;

и)

ln(/ - z) = 1.

a)

1

)

z„ = |+ -

е'»;

п .

б)

z„~ — ;

п

В)

zn = (l + 3/)";

г)

z„ = — ;

п

Д)

n + 3i

z„ ~ '

Зл + 7/

е)

z„ = H 2+d

;

ж) z„ = «sin —;

п

. . гт

.

ил

з)

Zn- п cos— + wsm —

sh in

2

2

И)

Zn “

2z

, i

Г)

lim

г

+1

л

e" +1

' ~2

11.

Доказать, что следующие функции непрерывны ш всш

комплексной плоскости (z):

а)

f ( z ) = z ;

б)

/(z ) = Rez;

в)

/(z )= Im z ;

г)

f{z) = 3z 4- 2.

ной точке, а какие - нет:

а)

© = z2z ;

б)

© = zez;

в)

© = |z|z;

V

со - е

,2

;

г)

д)

© = |z|R ez;

е)

© = sin 3 z -i;

ж) © = z Re z ;

з)

© = z lm z ;

и)

© = |z| Im z ;

к)

© = ch z

функцию /(z )

по известной действительной части и(х,у) или

мнимой v(x,y) и значению Л 2о):

а)

и =

*

:, / М — ;

-) ,

2

’

х +У

б)

v = arctg—

(х > 0 ),/(l)= 0 ;

х

в)

v = x2- y 2 + 2x, /(/)= 2 /- 1 ;

г)

v = 2(ch x sin y -jy ), /(о) = 0;

д)

w = 2 s in x c h y -x , /(о)= 0;

е)

v = 2(2sh *siny + .xy), /(0 )= 3 ;

ж) v = -2sin2jc sh2y + y , / ( 0) = 2;

з)

v = 2COSJC ch у - х 2 +у2, / ( 0) = 2.

14.

Показать, что следующие функции являются гармони

ческими

а) и = х2+ 2 х ~ у 2*

б)

и = 2ej: cosy ;

в)

и — ------2 ’

х

+у

г)

у

г ;

м = — j—

X +у~

д)

и = arctg — ;

х

е)

и = 1п(х2 + _у2).

15.

Найти коэффициент растяжения

г

и угол поворота

при заданных отображениях со = /(z ) в заданных точках:

а)

(£>= е: вточках z, =1п2 + /—, z, = - 1 - / —;

1

4

2

2

б)

© = sin z в точках z, = 0,

z2 = 1 + /;

ч

3

_ .

-

. 71

в)

со = z

в точках z] = 2 - /,

z2 = 1 + z —.

16. Найти площадь образа квадрата D {0 < JC< 1,0 < y < l } при

отображении со - z 2 и длину его границы.

17. Найти

площадь

образа

прямоугольника

D-jOcx, < х< х2

0<у, <у <у2

при

отображении

© = cosz

18. Пусть z

описывает область, определяемую условиями

I < Ы < 2, - — < argz < —. Найти площадь области, полученной

| |

4

4