Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1

называют логарифмическим вычетом функции /(z) относи­ тельно контура L .

Теорема 4 (теорема о логарифмическом вычете). Пусть не­ постоянная функция /(z ) анапитична всюду в односвязной об­ ласти D и на её границе - кусочно-гладком контуре L, кроме, возможно, некоторого конечного числа полюсов. Пусть функция также имеет конечное число нулей, причем на контуре L нет ни нулей, ни полюсов функции / (z), тогда

где ТУ и Р —общее число соответственно нулей и полюсов функ­ ции /(z ) в D . Причем каждый нуль следует считать столько раз, какова его кратность, а каждый полюс - каков его порядок Доказательство теоремы 4 подробно изложено в работе [2].

Следствие 2. Логарифмический вычет многочлена Pn(z)

степени п относительно простого контура L, на котором нет нулей Рп(z), равен числу нулей многочлена (с учетом их крат­ ности) внутри контура.

Пример 2.61. Найти логарифмический вычет функции

Чтобы найти все нули, попавшие внутрь окружности |z| = 8, на­ до найти все целые значения к , для которых |z*| < 8. Несложно установить, что этому условию удовлетворяют значения 0, ± 1, т.е. внутрь контура попадают z0 = ln2, z, = In2+ 2/я и z_1= In2 - 2 / л. Каждый из этих трех нулей имеет кратность

т - 2, так что по теореме 4 искомый логарифмический вычет равен 6.

Остановимся теперь на геометрической интерпретации теоремы 4, используя рис. 2.42.

По условию теоремы функция /(z ) аналитична на контуре

Здесь под In f{z) понимают ветвь многозначной логариф­ мической функции Ln f{z) = ln| f(z) | + /Arg f ( z ). Так как функ­ ция ln|/(z)| однозначна и непрерывна, то для выделения такой ветви достаточно выделить ветвь функции A rg /(z), задав зна­ чение аргумента в точке z0. При этом для произвольной точки z, е L имеем

где ДГр Arg f{z) - приращение функции A rg/(z) при движении точки z е Z. из положения z0 в положение z, вдоль дуги у

контура L в положительном направлении в комплексной плос­ кости (z). Если уравнение контура L можно задать в виде z = z(/), /е [а ,р ] , то, используя (2.245) и (2.246), находим

приращение аргумента Arg© вдоль кривой в плоскости Q, ко­ торую проходит точка f{z), когда точка z проходит в положи­ тельном направлении кривую L. Из (2.244) и (2.247) получим равенство

которое называется принципом аргумента. Принцип аргумента формулируется так: разность числа N нулей (с учетом их крат­ ности) и числа Р полюсов (с учетом их порядка) функции f(z) в области D , ограниченной контуром L , равна деленному на

/( z ) является аналитической во всех точках D , за исключением

конечного числа полюсов, и на L не имеет ни нулей, ни полю­ сов). Проанализируем применение принципа аргумента на кон­ кретном примере [7].

Пример 2.62. Установить, устойчива ли система автомати­ ческого регулирования, описываемая обыкновенным дифферен­ циальным уравнением

*IV + 2хт+ Зх’ +х' +2х = g(t),

где t - время, х = x(t) - выходной сигнал системы, g(t) - вход­

ное воздействие.

Этому уравнению соответствует характеристическое урав­ нение Р4(А.)= 0, корнями которого являются нули многочлена

Р4(z) = z4 + 2z3 + 3z2 + z + 2.

Используя контур, построенный в работе [6], заключаем, что число нулей этого многочлена в правой полуплоскости равно

Заметим что функция u{t) - четная, a v(t) - нечетная. По­ этому кривая Г' симметрична относительно действительной оси плоскости Q . При этом точке z = 0 (/ = 0) будет отвечать точка

<и,2 = р4 ~ Зр2 + 2 ± /р(2р2 - 1) (см. рис. 2.43). При движении точ­

ки о из положения со в положение <», ее радиус-вектор пово­

рачивается против часовой стрелки на угол -arg со,, а при даль­ нейшем движении в положение со2 в силу симметрии еще на тот же угол. Таким образом,

Подставляя вычисленные значения пределов в (2.249), по­ лучим

2п

Следовательно, характеристическое уравнение Р4(х) имеет кор­ ни в правой полуплоскости, то есть их действительные части положительны. Это означает, что рассматриваемая система ав­ томатического регулирования неустойчива. В заключение этого пункта остановимся на теореме Руше, которая играет важную роль в приложениях высшей алгебры.

Теорема 5 (теорема Руше). Пусть f(z)n<p(z) - функции,

аналитические на замыкании D области D , ограниченной кон­ туром L , и во всех точках этого контура удовлетворяют нера­ венству

Тогда их сумма cp(z)+f{z) и функция ср(г) имеют в D одина­

ковое число нулей (с учетом их кратности).

Приведем краткое доказательство этой теоремы. Полное её доказательство приведено, например, в работах [l, 4,7].

Так как |/(z)| ^ 0, z е D, то согласно (2.250) |cp(z)|>0 на контуре и в силу неравенств (2.15) |cp(z)+/(z)(>|<p(z)|-|/(z|>0. Итак, функции ср(г)и <p(z)+/(z) отличны от нуля на L. Запи­ шем соотношение

кости (о) вокруг точки со = 0. Следовательно, второе слагаемое в правой части (2.251) равно нулю. Следовательно,

АдArg (cp(z)+ f(z)) = AiArg <p(z)

Отсюда в силу принципа аргумента вытекает утверждение теоремы.

Пример 2,63. Выяснить, сколько корней имеет уравнение

z6 - 8z +10 = 0 в кольце 1 < |z| < 3.

Найдем сначала число корней этого уравнения внутри ок­

ружности, |zj = 3, а затем - на окружности |z| = 1 и внутри её.

Тогда разность полученных результатов будет искомым числом корней данного уравнения.

<p(z) и cp(z)+/(z) внутри этой окружности по шесть нулей, по­ скольку уравнение <p(z)=0 имеет корень 2 = 0 кратности да= 6. Таким образом, у данного уравнения внутри окружности J'z =3

будет шесть корней.

На окружности |z| = 1 выполнено неравенство

|/(z)(=|-8zH -10j>|l0-|8z| = 2 > j(p(z]j=|z6| = L

Следовательно, на этой окружности данное уравнение не имеет корней, а внутри её число его корней и корней уравнения - 8z +10 = 0 одинаково. Но последнее уравнение не имеет там корней. Значит, там нет и корней данного уравнения. Оконча­ тельно заключаем, что данное по условию уравнение имеет шесть корней в кольце 1 < |zj < 3.

2.31. Вычисление интегралов от действительных функции

При помощи вычетов можно вычислять многие определен­ ные интегралы от действительных функций действительного переменного, причем такой подход часто приводит к цели быст­ рее, нежели известные методы интегрирования [3].

В рамках пункта 2.31 остановимся лишь на некоторых примерах.

1. Рассмотрим интегралы вида

2я

J7?(sin х, C O ST ) dr,

о

где R(u, V) - рациональная функция двух переменных.

Применив замену z = еа( dz = ieadr, dr = —i dz\j. этот инте­

грал можно свести к контурному по окружности, Z.:.;zJj= I, при­ чем изменению г от 0 до 2к будет отвечать движение точки в комплексной плоскости (z) по окружности L в положитель­ ном направлении. Тогда по формулам Эйлера