Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1
..pdf6. |
Вычислить пределы: |
|
|
|
||
a) |
|
shx |
|
|
|
|
lira— |
--- |
|
|
|
||
|
х-> 0 |
1п(1 + х) |
|
|
|
|
о) |
.. |
ln(chx + shx + l) |
a, b = const; |
|
||
lim —1---------------- |
-, |
|
||||
|
JT-KO |
a + bx |
|
|
|
|
ч |
|
chax-chBx + shcuc-shBx |
|
|||
в) |
lim ----------------------------- |
sin ax -co s рх |
|
— , a, р = const. |
||
|
*-»» |
|
|
|
||
7. |
Дано |
X |
X |
X |
X |
|
On(x) = ch— ch— |
ch — -... |
ch— . Вычислить |
||||
|
|
|
2 |
22 |
2J |
2" |
lim Qn{x)
n—>CO
8. Преобразовать дифференциальные уравнения посредствам указанной замены переменных:
а) d 2y _ |
У |
X = In |
t |
|
dx2 |
4сЛ2х ’ |
V7 7 ’ |
|
|
б) (1 —х2 )2 |
- 2х(1 - х2 )2 — + |
—0; jc= th/; |
||
|
dx" |
|
dx |
1- х |
в) ^-^■ + 2 tht2x ^ dx dx
+- ^ ^ ' = 0; x = lnA/tg2f; ch" 2х
г) (1- х 2)2 2 а - |
= by, x = th |
У= ~ |
- |
|||
|
dx2 |
|
|
|
сЫ; |
|
Принять £ за новый аргумент, а г| за новую функцию. |
||||||
9. |
Дано х = rch 0 ; у = rsh0. Доказать, что при такой замен |
|||||
переменных |
|
|
|
|
|
|
|
&2Ц |
Э2ы |
Э2и |
1 |
Э2м |
1 Эы |
|
V M = |
V |
Эг2 |
г2 |
-н— |
|
|
&с2 |
Ж |
Г Эг |
|||
10.Вычислить интегралы: th5x
а) sch х
d x
б) j
l - s h 4x ’
|
ch3x - s h 3;c |
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) I ch3x + sh3 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
. |
r |
chx |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
r) |
f |
, |
— dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vch2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
fxcth2 xd.x; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 ,x + shx + chx |
, |
|
|
|
|
|
|||||
е) |
J— ------------ dx; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
c h x - s h x |
|
|
|
|
|
|
|
||
ж) |
|
f e |
ch |
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
e |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
з) |
j-— |
r - ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - ch x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и) |
|
jarcsin(shx)ch x dx; |
|
|
|
|
|||||
к) |
|
Jarctg(shx)shxdx. |
|
|
|
|
|||||
11. |
Проверить справедливость следующих разложений: |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
а) thx = 1--27 + - 47--67 + - |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
г |
е |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
б) cth х = 1 + -г - + —т—+ |
—+... |
|
|
||||||||
' |
|
|
|
~ -х |
4.т |
вх |
|
|
|
||
|
|
|
|
е |
е |
|
е |
|
|
|
|
в) arsh х = |
ln(2x) + |
1 |
|
1-3 |
1-3-5 |
|
|||||
lx ' |
2 - 4 - 4 / |
2 • 4 • 6 • бх6 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
г) arch х = ± |
1п(2х) - - |
1 |
1-3 |
1-3-5 |
Л |
||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2-2х2 |
2 - 4 - 4 / |
2-4-6-6Z |
|
|
( * > ! ) •
12. Вычислить с помощью гиперболических подстановок следующие интегралы:
а) [ |
dx |
+ С, подстановка х = 2sht; |
|
•>У(д:2 ч- 4)3 |
|||
|
W x2 +4 |
б) f- |
- |
= —Infx + л/х2 - з ! + —-Jx2-3 + С, подстановка |
|
л/*2-3 |
2 V |
; 2 |
|
х=л/3с1гf;
в) |л/х2+4x+13dx=^lnfx+2+-\/x2+4х+13j+
+ i( x + 2)л/х2 +4х + 13 + С,
подстановка х+ 2 = 3sh?;
г) JxVx2 + x + ldx = -j(x2 +х + 1)/^ —-i-(JC+ 2)л/х2 +х + 1 -
----- Inf X 4---- |
2 |
t- л/х‘ + X + 1 ^ + С, |
16 I |
J |
|
1 |
|
л/3 . |
подстановка х + —= — shf.
22
13.Найти общие решения следующих дифференциальны
уравнений:
а) у' + а2у - Ь 2 = 0 ;
б) |
у'(1 + sh x)sh у +ch x(ch у - 1) = 0 ; |
в) |
У(хсЬ у + sh х) + ych х + sh у = 0 . |
14. Показать, что подстановкой у = хи следующие уравне ния приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Проинтегрировать их. |
|
|
|
||
а) |
х2/ |
2 - 2хуу' + у \ 1 |
- х2) - х4 = 0 ; |
||
б) |
(у4 + у 2х2 - х2)-у'2 + 2хуу' - у 2 = 0. |
||||
15. Решить однородные уравнения 1-го порядка: |
|||||
а) ^х + л/х2+ у 2 |
= |
|
|
||
б) ху' + a-Jx2+ у2 - у = 0 ; |
|||||
в) |
xy'ch — + 2xsh — - ych — = 0. |
||||
|
|
х |
х |
' |
х |
16. |
Найти |
общее |
решение линейных дифференциа |
||
ных уравнений с постоянными коэффициентами (однородных и неоднородных):
а ) / |
+ y _ Z = 0; |
б) / + |
у ' = chx; |
в) y"-a 2y = bshax-,
О / - У = th х\
Д) у" - а2у =
ch ах
17.Найти частное решение уравнения у" - 4 у = е~', удов летворяющее начальным условиям у = у0; у’ = у ’0 при х = 0.
18.Проинтегрировать следующие дифференциальн уравнения, понизив предварительно их порядок:
а) у”+ а1у = b2
б) уу" - У 2 +1 = 0 ; в) аут= -yjl + y ’2
19. Найти |
частное |
решение |
уравнения |
У + 11— - |
у =0 |
|
|
|
|
|
|
hr |
J |
( a ^ h 2), удовлетворяющее начальным условиям: у =—, У = 0 |
||||||
при х = 0. |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
Показать, |
что |
общее |
решение |
уравнени |
|
а у = ф +(У" '0)2 выражается в виде |
|
|
||||
|
|
Л -1 |
sh х + с} |
при п - нечётном |
|
|
|
= ф(х) + < |
а |
|
|
|
|
|
|
—1ch х + с, |
при п - чётном, |
|
||
|
|
|
а |
|
|
|
где ср(х) = С2У |
2 + С3У -3 +... + C„_,jt + Cn - |
некоторый |
мно |
|||
гочлен. |
|
|
|
|
|
|
21. |
Найти общее решение линейных однородных уравн |
|||||
ний с переменными коэффициентами:
а) у" + 2аху' +а2х2у = 0 ;
б) у" +2y’\hx + by = Q.
22. Найти частное решение системы дифференциальны уравнений 1 -го порядка:
\x' = y +t,
1y’ = x - t .
удовлетворяющее начальным условиям: х = 3,у = 1 при t = 0.
23. Найти общее решение системы дифференциальны уравнений 2-го порядка:
(x" + y" + y' =sh2t,
\г х я + у' = Ъ.
2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
2.1. Алгебраическая форма записи комплексного числа
Рассмотрим множество R2 упорядоченных пар z = (x,y)
действительных чисел х, у е R. На этом множестве введем со вокупность операций, превращающих его в поле [4,7], обозна чаемое С и называемое полем (множеством) комплексных чи сел, а каждый его элемент - комплексным числом.
Суммой z, + z2 двух комплексных чисел |
zl =(xi,yl) |
|
и z2 = (х2,у 2) называют комплексное число вида |
|
|
h + z 2={xx,yx) + {x2,y2) = (xx+x2,y{+y1} , |
(2.1) |
|
а произведением zx• z2 этих комплексных чисел - |
комплексное |
|
число |
|
|
V *2 = (*1»У\) • (х2>Уг) = (хг *2 - У\- У2>*Г у2 + х2 ■У\)• |
(2.2) |
|
Элемент 0 = (0,0) поля комплексных чисел является ней тральным относительно операции сложения, и его называют ну левым элементом этого поля. На плоскости XOY он совпадает с началом координат.
Элемент (1,0) является нейтральным относительно опера ции умножения, и его называют единицей поля комплекс
ных чисел.
Особую роль играет комплексное число (0,1), его обозна чают / и называют мнимой единицей. Согласно (2.2) имеем
/2 = (0,1) (0,1) = (-1,0), /(>,0) = (0,1) (у,О) = (0,у). |
(2.3) |
Каждую упорядоченную пару (х, 0) е R2 сопоставим с чис лом xeR . Возникает взаимно-однозначное соответствие между множеством R действительных чисел и множеством упорядо ченных пар вида (х, 0), при котором сумме и произведению дей ствительных чисел отвечают сумма и произведение соответст вующих им упорядоченных пар. В этом случае каждую упоря доченную пару можно представить в виде
2 = (*, у) =(х,0)+ (О,у) = (х,0)+ (0,1) (у,0) = х + iy (2.4)
Выражение z = x + iy представляет собой алгебраическую (или декартову) форму записи комплексного числа. В этой запи си х и у - действительные числа, причем х называют действи тельной частью комплексного числа г, а у называют мнимой ча стью комплексного числа z и обозначают
|
|
|
x = Rez; |
у = Imz |
|
(2.5) |
|
|
Элементы поля С комплексных чисел можно отождеств |
||||||
лять |
с точками плоскости, |
рассматривая |
действительную х |
||||
1 |
|
J1 Y |
|
|
и мнимую у части комплексного |
||
|
|
|
|
|
числа x+iy как координаты точ |
||
|
|
* |
z - x |
+ iy |
ки М (х; у) в некоторой фиксиро |
||
|
|
1 |
|
|
ванной прямоугольной системе |
||
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
1 |
" |
+ |
координат |
(XOY) |
(рис. 2.1). |
|
о |
т |
|||||
|
1 |
|
|
В этом случае плоскость XOY на |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
• |
|
|
зывают комплексной плоскостью |
||
|
|
|
|
|
и обозначают символом С или |
||
|
|
Рис. 2.1 |
|
|
(Z), ( о ) . Произвольному дейст |
||
вительному числу |
х |
соответствует точка |
(х; 0) |
комплексной |
|||
плоскости, лежащая на оси абсцисс, которую называют действи тельной осью. Чисто мнимому числу iy соответствует точка
(0;у) плоскости С, расположенная на оси ординат, называемая
в данном случае мнимой осью (но по традиции обозначаемой у,
ане iy\). Интерпретация комплексных чисел как точек плоско сти позволяет говорить о геометрической форме представления комплексного числа.
Операции сложения (2.1) и умножения (2.2) обладают свойствами коммутативности и ассоциативности, а умножение обладает свойством дистрибутивности относительно сложения.
Два комплексных числа, записанных в алгебраической форме, равны в том случае, когда равны соответственно их дей ствительные и мнимые части. Применительно к этой форме за писи правила (2.1) и (2.2) дают
z, + z2 = (х, +(у,) + (х2 + ;>2) = (х, +х, ) + /(>, + у2), (2.6)
z, • z2 = (х, + z>,) (х2 + iy2) =(х,х2 - у,у2)+ /(х,у2 + х2у,). (2.7)
Замечание. Условия (2.6) и (2.7) показывают, что все дейст вия над комплексными числами аналогичны действиям над многочленами, но с учетом свойств мнимой единицы
г =/•/ = - ! , /3 = /2 • i = - /, /4 = 1 |
и т.д. |
(2.8) |
Числа z = x + iy и z = x - iy называют |
комплексно |
сопря |
женными. На плоскости С им соответствуют точки, располо женные симметрично относительно действительной оси (см. рис. 2.1). Сумма и произведение сопряженных комплексных чисел являются действительными числами, а разность - чисто мнимым числом:
z + z=2jc = 2 R e z e R , z - z = r + / G R,
(2.9)
z - z = 2iy = 2/ Im z G C
Для сложения и умножения существуют обратные опера ции - соответственно вычитание и деление (кроме деления на нуль), которые в алгебраической форме можно записать сле дующим образом:
z, - z2 = (х, +!>,)- (х2 + iy2) =(х, - х 2) + г(у, - у 2), (2.10)
z, |
Z,-Z2 _ |
x,x2+ У\Уг . |
• хгУ\ |
х\Уг |
z2 * 0 |
(2.11) |
^ ” " Z2 -Z2_ |
xl + yl |
xl + yl |
|
|
||
Пример |
2.1. а) |
Пусть z , = l - z , |
z2 =l + z |
Согласно |
(2.6), |
|
(2.7), (2.10) и (2.11) находим
z, + z2 = (l - /)+ (l + /)= 2,
z, - z2 = (l - z)- (l + /’) = - 2i,
z, • z2 = (l - z)(l + /)= 1 - z2 = 2,
z, |
1- / _ ( ! - /) ( ! - /) |
1- 2/ + /2 ^ . |
z2 |
1 + z (l + z)(l-z) |
2 |
б) Пусть z, = -3 + 4 /, z2 = 5 - z, тогда
Z| + z2 = (- 3 + 4z)+(5 - z) = 2 + 3/,
z, - z 2 = (-3 + 4/)- ( 5 - z)= -8 + 5/,
z, • z2 = (- 3 + 4z) (5 - z)= (-15 + 4)+ z(20 + 3) = -11 + 23/,
z, |
- 3 + 4/ |
_ (- 3 + 4z) (5 + z) _ |
19 |
17 |
z2 ~ |
5 - i ~ |
(5 - z)(5 + z) |
26 |
126 |
2.2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Каждому комплексному числу z можно поставить в соот ветствие на комплексной плоскости С радиус-вектор точки, изо бражающей это число на плоскости (рис. 2.2).
Из (2.6) и (2.10) следует, что сложение и вычитание ком плексных чисел аналогично на хождению суммы и разности векторов в комплексной плоско сти по правилу параллелограм ма (рис. 2.3).
Введенная в пункте 2.1 ал гебраическая форма записи ком плексного числа удобна для
выполнения операции сложе |
п у |
|||
|
||||
ния и обратной к ней опера |
|
|||
ции вычитания. |
|
|
|
|
Однако, |
как |
видно |
из |
|
(2.7) и (2.11), умножение и де |
|
|||
ление при этом представлении |
|
|||
комплексного |
числа вызывает |
|
||
значительные |
трудности. Для |
|
||
умножения и |
деления комп |
|
||
лексных чисел, а |
также |
для |
|
|
возведения в степень и извлечения корня из комплексного числа удобна тригонометрическая форма записи комплексного числа:
z - г(cos ф 4-sin ср). |
(2.12) |
Из рис. 2.2. следует, что |
|
x - r cosy, y = rs\ny. |
(2.13) |
Координатами точки, изображающей комплексное число z, яв ляются радиус г, равный длине радиус-вектора точки z, и угол ф, равный углу между положительным направлением оси ОХ и радиус-вектором точки z (см. рис. 2.2).
Координаты г и ф точки, изображающей комплексное число z на комплексной плоскости, называют соответственно модулем и аргументом комплексного числа и обозначают |z| и Arg z.
Нетрудно увидеть, что |
|
|
|z| = r = V*2+ / , |
tgcp= ^ . |
(2.14) |
|
х |
|
Аргумент обозначают ф = Argz
Модуль комплексного числа определен однозначно, а ар гумент - с точностью до слагаемого, кратного 2к .
Для модулей комплексных чисел z, и z2 справедливы
неравенства |
|
|
|z, + z2|<|z,| + |z2|, |
| z , - z 2|> ||z ,|- |z 2||, |
(2.15) |
геометрический смысл которых ясен из рис. 2.3.
Главное значение аргумента комплексного числа, обозна чаемого arg z, есть значение аргумента комплексного числа, удовлетворяющее условию: arg z принадлежит любому интерва лу, длиной равному 2п .
Будем считать в дальнейшем: |
|
|
- 7r<arg z < n . |
(2.16) |
|
Каждому комплексному числу z * 0 соответствует единст |
||
венное главное значение |
его аргумента. Так, |
arg 1 = 0, |
arg(-3) = я , arg (-l + /) = ^ , |
arg(-/) = “ . |
|
Очевидно, что |
|
|
Arg z =arg z + 2 m , где K G Z. |
(2.17) |
|
С учетом ограничений (2.16), налагаемых на главное значе ние аргумента комплексного числа z = х + iy, с помощью триго нометрической функции arctg х получаем
arctg -у , |
х> 0 |
|
х |
|
|
у |
л: < 0 И > 0 |
|
п + arctg—, |
|
|
х |
|
|
у |
х < 0 и у <0 |
(2.18) |
arg 2 = «- к +arctg—, |
х
%
х = 0 и у >0
2 ’
71
х = 0 и у < 0.
2 ’
Очевидно, что два комплексных числа, записанных в три гонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда рав ны их модули, а аргументы отличаются на слагаемое, крат
ное 271. |
|
Используя для комплексных чисел |
z, =r,(cos(p, +/sincp,) |
и z2 = r7(cos (p2 + /sin cp2), записанных в |
тригонометрической |
форме, а также равенство (2.7), можно установить, что