Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1

Из теоремы Коши для многосвязной области следует, что

вычет res f ( z ) функции /( г ) , аналитической в проколотой ок-

z = a

рестности точки z = а , не зависит от формы контура L .

Так как вычет не зависит от формы контура, то для вычис­ ления контурного интеграла (2.228) целесообразно выбрать наи­

ция не имеет особых точек, то есть в любой проколотой окрест­

поскольку интеграл от е'ф в пределах от 0 до 2л равен 0 .

Теорема 1 (теорема Коши о вычетах). Пусть функция f(z)

аналитична на простом контуре L и в ограниченной этим кон­ туром области D , за исключением конечного числа изолиро­ ванных особых точек av е D , v = 1, 2,..., п , тогда

столь малых радиусов, что эти окружности не пересекаются друг с другом и все лежат в области D (рис. 2.41). По теореме Коши для многосвязной области имеем

j/(z )d z = £ j/(z )d z .

L v= ILv

Разделив почленно эти равенства на 2 т , получаем утвер­ ждение теоремы, так как в силу определения 1 вычета

Теорема 2. Вычет функции /(z ) в изолированной особой точке z = а равен коэффициенту C_t лорановского разложения / (z) в окрестности а :

(2.232), в которых в качестве контура L можно взять любую ок­ ружность |г - д| = р радиуса р < г . В частном случае при n =-1

получаем С_, =—~ 4 / ( z ) d z , но правая часть равенства есть вы-

2 таL

z2 = ((z - 1) + 1)2 = (z - 1)2 + 2(z - 1) + 1.

С помощью разложения для синуса в ряд Тейлора получаем при |z - l | > О

/(z ) = ((z - 1)2 + 2(z - 1) + 1) • (—---------!— г +-----— г +...)•

можно рассматривать как лорановское разложение в окрестно­ сти точки z - 0 и сразу получить

res f (z) - C_j = -2 .

Следствие 1. Вычет функции в ее конечной устранимой особой точке равен нулю.

Рассмотрим вопрос о вычислении вычета в полюсе. Снача­ ла разберем случай простого полюса (полюса первого порядка)

Заметим, что существование конечного ненулевого предела в равенстве (2.232) справа равносильно асимптотической формуле

res f{z)

где resf(z) = А &0.

z - а

Для вычисления вычета в простом полюсе удобна другая модификация формулы (2.232).

где <p(z) и ij/(z) - функции, аналитические в окрестности точки z = a , и удовлетворяют условиям

Заметим, что представление (2.234) при выполнении усло­ вий (2.235) является необходимым и достаточным для того, что­ бы точка z =a была полюсом первого порядка функции f(z).

Учитывая (2.232) и определение производной функции ком­ плексного переменного, получаем

Пример 2.54. Найти вычет функции /(z) = —— в точке z3 + 1

Z = —1.

Поскольку многочлен z3 +1 имеет три простых нуля, один

из которых точка z = - 1, и e’/z = -1 * 0 , то точка z = -1 явля­

ется простым полюсом этой функции. Используя (2.236), найдем

Пусть теперь точка z = а является полюсом функции /(z)

порядка т . Тогда в проколотой окрестности этой точки имеем

причем С_т* 0. Умножив эти равенства на (г - а)'", получим

№■(* - а)т=С + С_,н+)(z - а) +... +

+C_)( z - a )"'_1 + YjCn{ z - a) m*n

я=0

Полученное равенство представляет собой лорановское

/ (z) • (z - а)'”, а лорановское разложение этой функции можно рассматривать как ряд Тейлора функции <p(z), полученной до­ определением функции f ( z ) - ( z - a ) m в точке а ее пределом.

Коэффициент С_, лорановского разложения функции /(z ) яв­ ляется коэффициентом Тейлора функции cp(z) при (z-a)'"''

и его можно найти стандартным образом через производную функции ( т - 1)-го порядка:

Ф^-'Ча) -1 ( т - 1)! '

Таким образом,

Учитывая вид функции cp(z) и непрерывность всех ее про­ изводных, запишем

При т = 1 формула (2.238) совпадает с (2.232).

Пример 2.55. Найти вычет Фу н кц и и f(z')- —------- . z2( z - 1)

Эта функция имеет простой полюс в точке z = 1 и полюс второго порядка в точке z =0. Используя (2.232), в точке z = t получаем

Для вычисления вычета функции /(z ) в существенно ос®- бой точке z - a нет формулы, аналогичной (2.238). В таким случае пытаются непосредственно найти тем или иным сиютбом коэффициент С_, лорановского разложения функции а (ок­ рестности этой точки.

. I sin—

Пример 2.56. Найти вычет функции / (z) = -——.

Для данной функции /(z ) точка z - 0 является сущест­ венно особой, так как эта функция не имеет предела при г-»©..

Используя разложение функции для синуса и дроби -jp—.

в области 0 < |z| < 1, получаем

Отсюда найдем коэффициент при z '1:

= sin 1.

3! 5! 7!

Тогда в силу теоремы 2

res j\z ) = sin 1.

2.30. Вычет в бесконечно удаленной точке. Логарифмический вычет

Пусть функция /(z ) является аналитической в проколотой окрестности бесконечно удаленной точки z - «я, то есть в об­ ласти |z| > R для некоторого числа R >0. Тогда z = со будет для f ( z ) изолированной особой точкой.

Определение 1. Вычетом res f{z) функции /(z ) в беско-

2=оз

нечно удаленной точке z - оо, являющейся изолированной осо­ бой точкой / ( z ) , называют значение интеграла

вычисляемого по простому кусочно-гладкому контуру L, кото­ рый вместе со своей внешностью расположен в области анали­ тичности функции и проходится по часовой стрелке. В качестве такого контура берут окружность |z| = р , имеющую радиус р > R , проходимую по часовой стрелке.

Пример 2.57. Найти вычет функции / (z) = ---- ~ в точке

Z = 00 .

Выберем окружность L радиуса р > 1 и применим форму­

лу (2.173) при и = 1. В результате, учитывая изменение знака при изменении ориентации контура интегрирования, получим

Теорема l. Вычет функции /(z ) в бесконечно Удаленной точке равен коэффициенту С_, лорановского разложения функ­

ции в окрестности этой точки при z '1, взятому с обратным знаком

Вне окружности достаточно большого радиуса R функцию /(z ) можно представить лорановским разложением (2.223). Со­ гласно формуле (2.196) для коэффициентов ряда Лорана найдем

Из этого равенства и равенства (2.239), изменяя ориента­ цию контура интегрирования, получим (2.240).

Замечание 1. В случае когда z = оо - устранимая особая точка функции / (z) , вычет в этой точке может быть отличен от нуля. Этим бесконечно удаленная точка отличается от конечных

особых точек функции.

I

Пример 2.58. Найти вычет функции f(z) = e: в точке

Z = ОО .

При z = оо точка z = оо является устранимой особой точ-

лированных особых точек av, v = l, 2 , п. Тогда сумма всех

вычетов этой функции, включая вычет в бесконечно удаленной точке, равна нулю

IV=l - ^

Вто же время согласно определению 1 и с учетом ориента­ ции контура интегрирования

jf(z)dz = -2ni res /( z ) . /.

Из этих двух равенств и вытекает утверждение теоремы.

Обе эти точки существенно особые, так как не существует ни

конечного, ни бесконечного пределов функции е z при z -> О

и функции е' при z —> со. Из этого следует, что в указанных