Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1
..pdfz, • z2 = Г\■гг(cos((p, + ф2)+/ sin((p, + ф2)) |
(2.19) |
и в случае z2 * 0 (г2 * О)
— = —(cos((p, -(p2)+/sin(<pi -ф 2)). |
(2.20) |
Z , /*2 |
|
Итак, |
|
Arg(z| • z2) = Arg Zj+ Arg z2. |
(2.21) |
Arg— = Argz, + Argz2. |
(2.22) |
На рис. 2.4 представлено графическое изображение опера ций умножения и деления комплексных чисел.
Учитывая (2.14), получаем
Рассматривая возведение комплексного числа z в натураль ную степень как умножение z на себя п раз, найдем
zn = (/-(cos <р + /sin ф))п = /-n(cosn<p + /sincp). |
(2.24) |
Это соотношение называют формулой Муавра.
Извлечение корня - это операция, обратная возведению в степень, т.е.
(H=yfz , если со" = z. |
(2.25) |
Если z = r(cos ф + /'sin <р) и со = p(cos 0 + /sin 0), то согласно (2.24), (2.25) и условию равенства комплексных чисел в триго нометрической форме имеем
р" = г ; и и0 = ф + 2Ы , 1&Z .
Л |
„Г |
п |
ф +2Ы |
arg z + 21% |
K , l s Z , |
||
Отсюда р = ыг , 0 = |
--------- |
п |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и в итоге |
|
|
|
|
|
|
|
„Г |
п г( |
argz + 2/л: . . argz + 2/n'\ |
, |
||||
Vz |
=V r |
cos—2--------- |
+ 1SU1— ---------- |
n |
) |
||
|
|
{ |
n |
|
(2.26) |
||
к =0, 1, . . . , л - 1. |
|
|
|
|
|||
Все n различных значений для л/z имеют один и тот же
2п
модуль, а их аргументы отличны на углы, кратные — .
п
Замечание. Значениям л/z отвечают точки комплексной плоскости С, расположенные в вершинах правильного «-уголь
ника, вписанного в окружность радиуса *Jr с центром в начале координат.
Из (2.24) и (2.26) следует формула для возведения ком
плексного числа z в рациональную степень q =— , |
где — |
п |
п |
несократимая дробь, которую можно рассматривать как две по
следовательные операции: сначала возведение комплексного числа в целую степень m e Z , а затем извлечение из результата
корня п-й степени. Учитывая, что Arg(zm)= т • Argz , получаем
m-zx&z + hcK |
. m-aigz + 2кк |
|
cos------ |
- --------- + zsm------------------ |
|
|
|
(2.27) |
к = 0,1,..., л - 1. |
|
|
Пример 2.2 |
|
|
а) Пусть г = 1 + г'л/з |
Найти zn |
Для этого запишем ком |
плексное число z в тригонометрической форме, вычислив пред варительно Ы и arg z . Имеем
|z| = Vl + 3 = 2, arg z = arctgл/з = y ; z - 2 |
л |
. . л |
||
cos —+ isin — |
||||
|
|
|
3 |
3 |
Тогда согласно (2.24) |
|
|
|
|
12л |
12л |
= 2l2(cos4n + /sin 4л) = 212 |
||
zn = 212 cos-----+ zsm- |
|
|||
б) Пусть z = —1. Найти Vz |
Запишем z |
в тригонометриче |
||
ской форме:
z= -1 = cos(л + 2/сл)+ zsin(n + 2кл).
Всилу (2.26) запишем
лг~ л I—г |
л+ 2/сл . . |
л+ 2к л |
|
Vz = У- \ =cos |
--------- + zsin |
-----------. |
|
|
|
4 |
4 |
Полагая к = 0, 1, 2, 3, выпишем все четыре значения корня:
|
Л . . |
Л |
V2 / |
А |
|
|
z, = cos— + zsin —= |
----2 |
(1 +z), |
|
|||
1 |
4 |
4 |
V |
|
|
|
z, =cos |
л + 2л . . |
л + 2л |
л/2 / , |
д |
||
+ zsin--------- |
4 |
= — |
( - l + i), |
|||
2 |
4 |
|
2 |
х |
’ |
|
сферическим изображением комплексного числа z e C . При такой геометрической интер претации «южному полюсу» сферы S соответствует комп лексное число z - 0 , ее «мери дианам» - комплексные числа z с одинаковым главным значе нием аргумента arg z = const (лучи комплексной плоскости, исходящие из начала коорди
нат) а «параллелям» - комплексные числа z с одинаковым зна чением модуля \z\ =const (окружности плоскости С с центром в начале координат).
Если сферу рассматривать как множество S точек Z, то можно говорить о взаимно-однозначном соответствии между точками множеств С и S\{y}, поскольку точке N не соответст вует ни одна точка z € С . Условимся считать, что точка N соот ветствует бесконечно удаленной точке z = оо. Тем самым уста новлено взаимно-однозначное соответствие между сферой S
и расширенной комплексной плоскостью С , которая получается добавлением к комплексной плоскости С бесконечно удаленной точки z = оо Далее будем отождествлять расширенную ком
плексную плоскость С со сферой S, которую назовём сферой Римана. Тогда плоскости С будет соответствовать множество S\ {N } - сфера с выколотым «северным полюсом» (точкой N).
Установим связь между декартовыми координатами х и у, изображающими комплексное число z = x + i y , и коорди
натами £ , г| и х ее сферического изображения Z Составим
параметрические уравнения прямой Nz (см. рис. 2.6), проходя щей через точку N(0; 0; l) и с заданным направляющим вектором
£>= tx, *1 = /);, х = |
(2.29) |
Подставляя (2.29) и (2.28) в точке Z пересечения луча N, с по
верхностью сферы, получим
1 1
1 + х2 + у 2 1 +|z|2
Отсюда с учетом (2.29) находим координаты точки Z стерео графической проекции комплексного числа г.
4 = |
(2.30) |
Последнее из равенств (2.30) позволяет записать
Тогда из первых двух равенств (2.30) получаем формулы обрат ного преобразования
х = -Г~> |
У = 7 1-- |
(2-3 i) |
1-Х |
1-Х |
|
В отличие от конечных точек комплексной плоскости бес конечно удаленная точка не участвует в алгебраических опера циях: она введена лишь для удобства геометрических представ
лений. |
|
Замечание 1, Сфера Римана S, |
будучи ограниченным |
и замкнутым множеством, является |
компактным множест |
вом [1, 4]. |
|
Замечание 2. Отображение, ставящее каждому комплекс ному числу в соответствие его сферическое изображение, обла дает важным свойством: при этом отображении окружности на комплексной плоскости переходят в окружности на сфере Рима на и, наоборот, окружностям на сфере Римана, не проходящим через «северный полюс», соответствуют окружности на ком плексной плоскости.
Приведем краткое доказательство замечания 2 [7].
Окружность на комплексной плоскости С зададим урав нением
( x - x 0f + ( у - у 0У =R2,
где z0 =x0 + iyQ- центр окружности, a R - ее радиус. Заменим
в этом уравнении переменные х и у переменными %,г\,х в соот ветствии с формулами (2.31), получим
—Ха |
~ Уо |
(2.32) |
1-Х |
1- х |
|
Таким образом, кривая на сфере Римана, которой на ком плексной плоскости соответствует рассматриваемая окруж ность, может быть задана системой уравнений
IV2 + Л2 - 2V %+ л Уо) (1 - X) ■+(*о•+ Уо)(1 - Х)2 = R 2 О - XУ,
Ь2 +л2 +х2 =х-
Заменяя в первом уравнении + т)2 с помощью второго
уравнения, а затем сокращая на 1- %, получим эквивалентную систему
j 2 *0 § + 2 у0 Л + (*о ■+Уо~ R1~ 1)X + fa2~ *о - Уо )= 0,
Ь2 +л2 +х2 =х-
Легко заметить, что первое уравнение системы - это урав нение плоскости. Следовательно, искомая кривая является сече нием сферы Римана плоскостью, т.е. окружностью.
Рассмотрим на сфере Римана произвольную окружность, которую можно определить как сечение сферы некоторой плос костью А^ +Вг\ + Сх + ^ = 0. Окружность не проходит через «северный полюс», если A-0 + B-0 + C I + D&0 или C + D * 0. В уравнении плоскости заменим переменные £,т|,Х в соответст вии с формулами (2.30):
+ £> = 0 .
Например, неравенство треугольника для метрики (2.33) равносильно уже указанному ранее неравенству
h + ^ H h l + h l - |
(2.35) |
Отсюда, как следствие, получаем
||z ,|- |z 2|| <|zj - z 2| . |
(2-36) |
Используя сферическую метрику (2.34), можно ввести расстоя ние между точкой z и бесконечно удаленной точкой z - °о, как евклидово расстояние между их сферическими изображениями z и N (CM. рис. 2.6)
Р(г.+«) = - Г= Т |
(2J7) |
Можно показать, что (2.37) в сочетании с (2.34) превращает
множество С в метрическое пространство.
Пусть в > 0 - произвольное положительное число.
Под 8 -окрестностью U(z0,е) точки z0 e C в евклидовой
метрике понимают открытый круг радиуса s с центром в этой точке, т.е.
I/(z0,e)={z€ C :d(z,z0)<e}. |
(2.38) |
Под 6 -окрестностью точки z0 е С в сферической метрике |
|
понимают множество |
|
{zeC:p(z,z0)<e}. |
(2.39) |
Рассмотрим на плоскости С ограниченное множество
М = {z е С : \z\ <Я},
где 0 < R < оо . В силу неравенства
(zi.z2)< | z,-z,| , Z,,Z2 6 М |
(2.40) |
1 + Я
получаем: в каждой е-окрестности точки z0 e C в евклидовой метрике содержится некоторая в*-окрестность этой точки в сферической метрике, и наоборот. Из (2.37) следует, что нера-
венство |
p(z,oo)< 6 |
равносильно |
неравенству |
\z\> Е = |
Следовательно, е |
-окрестности |
бесконечно |
удаленной точки |
|
2 =оо на |
расширенной комплексной плоскости в евклидовой |
|||
метрике соответствует внешность круга радиуса Е с центром в начале координат, т.е. множество
[/(oo,£,)= |z G C :jz|> ^ } , Е> 0. |
(2.41) |
С увеличением параметра Е окрестность бесконечно удаленной точки сужается. В дальнейшем будем использовать окрестности точек в евклидовой метрике (2.38) и (2.41).
На расширенной комплексной плоскости введем такие по нятия, как внутренняя и граничная точки множества, открытое и замкнутое множества и т.д.
Точка z0 е М с С является внутренней точкой множества
М, если существует е -окрестность этой точки, целиком вклю
ченная в множество М. Множество М с С открытое, если каж дая точка z0 е А/ является внутренней точкой М. Любое откры тое множество, содержащее данную точку z0, рассматривают как окрестность этой точки, такую окрестность обозначают
U{z0)
Точка z0 является граничной точкой множества М с С
если в любой ее в -окрестности есть точки как принадлежащие М, так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек множества образует границу этого множества (обознача ют д М ). Точка ZQ является внешней точкой множества М, если
у нее есть окрестность, не пересекающаяся с М.
Точка z0 e C является предельной точкой множества
М с С , если в любой ее окрестности есть точки множества М, отличные от z0 Предельные точки множества, как и его