Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1
..pdf(g о f ) z
ez
lnx
Ln z
In z
sh z, ch z, th z,
cth z
-композиция функций комплексного пере менного /(z ) и g(co), т.е. сложная функция
g (/(z))
- экспоненциальная функция аргумента z e C
-натуральный логарифм числа х > 0 (по ос нованию е)
-логарифм комплексного числа z
-главное значение логарифма комплексного числа z
-гиперболические функции синуса, косину са, тангенса, котангенса комплексного пе ременного
arcsin z, arccos z, - |
обратные функции комплексного перемен |
arctg z, arcctg z |
ного к функциям sin z, cos z, tg z и ctg z |
/(z )~ g (z )
z-*a
/ ■ « = d/.w dz
Эм(л,у)
Эх
a*2 ay2
[/(*)dx
a
-функции /(z ) и g{z) являются эквивалент ными при z->a
-производная функции /(z ) комплексного переменного z
-частная производная функции t/(x,y) по переменному х
-оператор Лапласа
-определенный интеграл от функции f(x)
действительного переменного х с нижним пределом а и верхним пределом р
\f{z)dz |
- |
интеграл от функции f ( z ) комплексного перемен |
||||
|
|
ного z по ориентированной кривой у |
|
|||
<j/(z)dz |
- |
интеграл от функции /(z ) комплексного перемен- |
||||
|
|
ного z по замкнутому контуру L при обходе против |
||||
|
|
хода часовой стрелки (простой замкнутый контур) |
||||
7-В , ч |
|
интеграл от функции f(z) |
комплексного перемен |
|||
f/(z)dz |
|
ного |
по кривой |
у |
между точками ZA |
|
Z.4 |
|
|||||
|
и Z B, лежащими на у и не зависящими от пути ин |
|||||
|
|
|||||
|
|
тегрирования |
|
|
|
|
res f(z) |
- |
вычет функции f{z) комплексного переменного z |
||||
|
|
в точке а еС |
|
|
|
|
f'(z) |
- логарифмический вычет функции f(z) |
комплекс- |
||||
L f{z) |
|
ного |
переменного |
относительно |
замкнутого |
|
|
|
контура L |
|
|
|
|
Рп(z) |
- |
многочлен степени п е N |
|
|
||
Ду Argz |
- |
приращение аргумента комплексного числа z при |
||||
|
|
перемещении на комплексной плоскости по кри |
||||
|
|
вой у |
|
|
|
|
1.ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1.1.Определение гиперболических функций
Наряду с отдельными показательными функциями в мате матике и её приложениях находят применение различные комбинации показательных функций, среди которых особое значение имеют некоторые линейные и дробно-линейные ком
бинации функций ех и е~х, эти функции называют гиперболи ческими.
sh х = -------------в |
—в |
гиперболический синус, |
|
ch х = |
В х |
~г В-X |
гиперболический косинус, |
------------- |
|
||
th х =------- -----в |
—в |
гиперболический тангенс, |
|
|
ех +е х |
|
|
ех +ех
cth х =—— — - гиперболический котангенс.
Выберем на окружно
сти х2 + у 2 =1 (рис. 1.1)
точку М{х,у\ построим
острый центральный угол Z АОМ = t и опустим из
точки М перпендикуляр МВ на ось ОХ
Тогда sin t = ВМ (так
как радиус окружности ОМ =1), a cos / = ОВ. Про
ведя в точках А и Р каса
тельные |
к окружности до |
||
пересечения |
их с |
продол |
|
жением |
радиуса |
в точках С и N, получим: tg t - A C , |
|
ctg t = PN, |
sec t = ОС и соs e c t - ON |
||
Заметим, |
что между |
центральным |
углом t |
(выраженным |
в радианах) и |
площадью |
S кругового |
сектора |
АОМ имеется |
простая зависимость: t = 2S |
Следовательно, аргумент t триго |
нометрических функций sin t, |
cos t, tg i и т.д., который обыч |
но истолковывается геометрически как угол, при желании может рассматриваться как удвоенная площадь кругового сек тора АОМ Именно этим толкованием мы и будем пользоваться в дальнейшем.
Теперь рассмотрим равностороннюю гиперболу х2 - у 2 =1 (рис. 1.2) и проведем такие же построения, что и для окружно сти. Покажем, что sh t = ВМ, ch t = OB, th t = A C , где t есть удвоенная площадь гиперболического сектора АОМ Из черте
жа имеем: t = 2S = 2(SOMB- SAMB , но S0MB = ^О В хВ М = ^ х у ,
где х и у - координаты точки М гиперболы, a SMB можно вы числить с помощью определенного интеграла.
Из уравнения гиперболы х2- у 2 = 1 находим, что для точек гиперболы, лежащих .в верхней полуплоскости у = ^ х 2- 1, то-
со со I----------
гДа SAMB = \у<&= \ у х 2-1 dx. I I
Для вычисления этого интеграла применим способ интег рирования по частям:
и - Vx2 -1 |
dw = |
xdx |
|
л/х2 -] |
|
dv = dx |
|
|
v = x |
|
|
|
|
|
jVx2 -1 dx = x-\/x2 -1 | - |
J- x2dx |
|
|
|
i Vx2 -1 |
Первый член правой части равен ху, а второй преобразуем
следующим образом:
1Vx2 -1 |
1 л/JC2 -1 |
|
1 |
|
1V*2 -1 |
|
Таким образом, исходный интеграл запишем в виде |
||||||
jVx2 -1 dx = ху - |
|VJC2 -1 djc—J |
dx |
||||
1 |
|
|
1 |
|
i Vx2 - l |
|
Выполняя преобразования, разрешим уравнение относи |
||||||
тельно jVx2 -1 dx: |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
jVx2 - 1 dx = —x y - —ln(x + 7 ). |
|||||
|
■ |
|
2 |
^ |
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
f = 2 |
—x y - —xy + —ln(x + y) |
= ln(x + y) |
||||
|
2 |
2 |
2 |
v |
|
|
или, потенцируя, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + у = e* |
|
|
||
Если разделить обе части уравнения равносторонней |
||||||
гиперболы х2 - у 2 =] |
на соответствующие |
части последнего |
||||
уравнения, то получим ещё одно уравнение, связывающее
х и у :
х - у = е-I
Решая полученную систему относительно х и у , получим
х —
2
являются параметриче-
скими уравнениями равносторонней гиперболы с полуосью а - const, выражающими координаты (х, у) декартовой системы через параметр / (см. рис. 1.1).
В заключение этого пункта приведём графики гиперболи ческих функций:
а |
б |
в |
г |
|
Рис. 1.3 |
|
|
Замечание. |
График функции |
у - chx, |
приведённый на |
рис. 1.3, б, называется цепной линией.
1.2. Соотношения между гиперболическими функциями
Различные тригонометрические функции одного и того же аргумента связаны между собой рядом соотношений.
Аналогичные соотношения устанавливаются и для гипер болических функций.
Справедливость этого соотношения легко устанавливается. Имеем
2
ch2x - s h 2х ={ еХ+е' Л
2 J
----------е + е |
+ ---------е - е |
е +е |
V |
м |
1 |
1 |
м |
|
1 |
2 |
J |
- х \
= ех • е~х = 1.
Некоторые важные соотношения могут быть получены непосредственно из определения гиперболических функций и из формулы (1.1):
sh х |
, |
(1.2) |
-----= thx, |
||
chx |
|
|
ch* |
A |
(1.3) |
----- = cth x , |
||
shx |
|
|
thx cthx = l , |
(1.4) |
|
1 |
. |
(1.5) |
-----= esc h x , |
||
shx |
|
|
—— = schx, |
(1.6) |
|
chx |
|
|
l - t h 2x = sch2x, |
(1.7) |
|
cth2x - l |
= csch2x. |
( 1.8) |
Пользуясь этими восемью формулами, можно, как и для тригонометрических функций, любую гиперболическую функ цию аргумента х выразить через любую другую гиперболиче скую функцию того же аргумента. Ниже приведём соответст вующую таблицу.
shx |
|
± Vch2x - 1 |
thx |
|
|
|
V l-th 2x |
Vcth2x -1 |
|
|
|
|
||
chx |
Vsh2x + 1 |
|
1 |
cthx |
|
|
V l-th x |
|
|
|
|
|
Vcth2x - l |
|
thx |
sh x |
+ Vch2x - l |
|
1 |
|
|
|
cthx |
|
|
Vsh2x + 1 |
chx |
|
|
|
|
|
||
cth x |
л/sh2x + 1 |
chx |
1 |
|
|
|
thx |
|
|
|
sh x |
Vch2x - l |
|
Легко также вывести формулы для гиперболических функ ций суммы и разности аргументов, двойного и половинного ар гумента, а также для сумм, разностей и произведений гипербо лических функций.
Приведём сводку этих формул:
sh (x + y) = sh x • ch у + ch x • sh y, |
(1.9) |
|
sh (x - y ) = sh x -ch y -ch x -sh y , |
( 1.10) |
|
ch(x + y) = chx -chy+ shx shy, |
( 1.11) |
|
ch (x - y) =ch x • ch у - sh x • sh y, |
(1.12) |
|
*.(*+>)= |
'k x + 'h > ' , |
(1.13) |
' 1+ th x th y |
|
|
th ( * - ,) = |
, |
(1.14) |
|
1- thx thy |
|
ch2x = ch2x + sh2x = 2sh2x +1 = 2ch2x - 1, |
(1.15) |
|
sh2x = 2sh x ch x, |
(1.16) |
|
, |
2th x |
(1.17) |
th2x =-------r - , |
||
l + th2x
sh—= ± J ———-, |
(1.18) |
||||
2 |
|
V |
2 |
|
|
ch* J |
ch* + 1, |
0-19) |
|||
2 |
V |
2 |
|
|
|
t.hx= ± |
Ichx-l |
(1.20) |
|||
2 |
|
ychx + l |
|
||
shx + shy = 2s h ^ -i-^ c h ———, |
(1.21) |
||||
|
|
|
2 |
2 |
|
s h x -sh y = 2sh -——• ch * + ^ , |
(1.22) |
||||
|
|
|
2 |
2 |
|
chx + chy = 2ch--------ch----- —, |
(1.23) |
||||
|
|
|
2 |
2 |
|
chx - c h y |
= 2sh--------sh----- —, |
(1.24) |
|||
|
|
|
2 |
2 |
|
t h x ± t h ^ s h (i± ,,), |
(1.25) |
||||
|
|
|
chx |
chy |
|
sh x • sh у = ~(ch (x + y ) - ch (x - y)), |
(1.26) |
||||
sh x ■ch у = |
(sh (x + y )+ sh (x - у)), |
(1.27) |
|||
chx chy = -^(ch(x + y)+ ch (x -y )). |
(1.28) |
||||
1.3. Обратные гиперболические функции
Для простоты рассуждений будем считать, что одному зна чению у соответствует только одно значение х Если х - sh у, то, желая выразить зависимость у от х, обозначают у символом arsh х (читается «ареасинус гиперболический») или, более под-
робно: у есть площадь, гиперболический синус которой равен х (area - в переводе с латинского означает площадь). Подобным образом определяются и другие обратные гиперболические функции, а именно:
у = arch х |
- ареакосинус гиперболический; |
у = arth х - ареатангенс гиперболический; |
|
у = arcthx - арсакотангенс гиперболический. |
|
Графики |
обратных гиперболических функций приведе |
ны ниже.
Рис. 1.4