Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

8.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Любую из обратных гиперболических функций можно вы разить через остальные функции. Ниже приведена соответст вующая таблица.

arsh JC	±arch-\/x2+1 arth	*
	±arch-\/x2+1 arth	*
archx	J.	Vx2 - 1
± arsh 4 x 2	± arth----------
± arsh 4 x 2		X
arth x	±arch—p i =
arsh—p = i=	±arch—p i =
arct x	4 i ^ 7
arct x	± arch , X-—-	arth—
arsh -y—L =	± arch , X-—-	arth—
V*! - i		X

Таблица. 1.2

to * arcth----------

± arcth . X V*2 - l

- 1 arcth—

Легко убедиться в справедливости приведённых в таблице соотношений. Рассмотрим для примера функцию arsh х.

Пример. Пусть у = arsh х, тогда shy = х, следовательно,

chy = yjsh2y +\ = 4 х 2+ 1 ,

откуда
у = ± arch 4 х 2+1 ;	thy =	shy _	х
у = ± arch 4 х 2+1 ;	thy =	л/sh2 +1	4 х 2+1
		л/sh2 +1	4 х 2+1
откуда
у = arth	.	Jsh 2y + 1	4 x 2+ 1
у = arth	cthy = —---- ----- = ----------
		shy	x

откуда

у = arcth Vx2 +1

Аналогично проверяются и остальные соотношения. Суммы и разности обратных гиперболических функций выражаются следующим образом:

arsh х +arsh у = arsh(x-y/l + у 2 +ул]\ +х2),	d-29)
arsh х - arsh у = arsh(x-Jl + у 2 - jyV1+ х2),	(1-30)
arch х + arch у = arch^xy + -J(x2- 1)(y2 - 1)	(1.31)
arch x - arch у =arch^xy - ^{x2 - l)(_y2 - 1)	(1.32)
x + у	(1.33)
arthx + arth у = arth-------,	(1.33)
1+ xy
x —у	(1.34)
arth x - arth у = arth-------.	(1.34)

1-x y

В качестве примера проверим формулу (1. 29).

Введём обозначения arsh х= и, arsh х = v , тогда shu = х ; shv = y; ch y = *Jx2 + 1; chv = -/y2+1

Преобразуем выражение

sh(arsh х + arsh у) = sh(n + v) = sh и ■ch v + ch и ■sh v = = X^jy2 +1+ y ^ x 2 + 1,

тогда

arsh x + arsh у = arsh ^x-Jy2~+1 + y-Jx2+1

Аналогично проверяются остальные формулы.

Подобно тому как гиперболические функции выражаются через показательные, обратные гиперболические функции могут быть выражены через логарифмические.

Рассмотрим конкретный пример.

Пусть	дана функция >>= arshx				отсюда		следует,	что
х ~ shy	а	т.к.	еу -г~у		ТО		еУ- е'У	или
			shy = ----------			X = ----------
е2у - 2х • еу -1 = О
Решая	квадратное уравнение			относительно			еу получим
еу = х +VJC2 -h 1		(знак минус перед корнем не учитываем).
Следовательно,			у = In ^х + л/*2 +1		, а	т.к.	y = arshx,	то,
окончательно
			arshjt = In +	с2 +1 j .			(1-35)
Аналогично получаются следующие формулы:
		archJC= In^JC± л/х2 -1			(x>l),		(1.36)
			a r t h x - i l n y ^ ,		(\х\<1),		(1.37)
			arcthx = - l n —	,	(\|х\|>1).		(1.38)

2х -1

1.4.Дифференцирование и интегрирование гиперболических и обратных гиперболических функций

Формулы дифференцирования гиперболических и обрат ных гиперболических функций можно свести в следующую таб лицу, представленную в работе [10]:

(sh х) = ch х,	(1.39)
(ch х)' = sh х,	(1.40)
(th*)'= 1	(1.41)
ch х

(cthx)' = — -V -,		(1.42)
	sh'*
(arsh х)' -	,-----	(1.43)
	yl + x2
(archx)'=	/—---- ,	(1.44)
	VJC2 -1
(arth x)' -	\ - x z	(1.45)
	\ - x z
(arcthx)’= — г— .		(1.46)
	x2- l

Первые четыре формулы выводятся по определению гиперболических функций. Остановимся на выводе форму лы (1.39).

Пример. По определению sh х - ех - е -X			Поэтому
(sh х)' =	е	- е - х \
(sh х)' =		=- ( е х +е' с)= ch х.
		2 х

Аналогично доказываются формулы (1.40-1.42).

Для доказательства формул (1.43-1.46) применим правило

, 1 дифференцирования обратной функции: Ух —~

Пример. Пусть у = arsh х, тогда х = sh у Дифференцируя

по у, получим х' =ch у
1	1	т.к. ch у =
Поэтому у'х - (arsh *)' = — =	J\ + x2 ’	т.к. ch у =
	J\ + x2 ’

= д/l + sh2 у = Vl + х2 Произведя обращение таблицы производ

ных, получим таблицу интегралов:

Jch xdx =sh х + С,

(1.47)

Jsh xdx = ch x + C,	(1.48)
\— z—= th x + C,	(1.49)
Jch2x
\-—j - =-cth x + C,	(1.50)
}sh2x
arsh-j= + C,	при a >0

f—j = =		- ln(x + ylx2 + a) + C = ■
y x 2 + a					arch		+ С,	при	a <0,

					1	x	+ C,	при	\x\<a
f	dx	1 .	x - a		----arth—
				+ C —	a	a
H	—	r = ^ - \|n	x + a		1	x
x	- a	2a						при	Ixl > a,
					— arch— + С,
					a	a

= 2 arctgex+ C.

chx

(1.51)

(1.52)

(1.53)

В качестве примера рассмотрим вопрос о вычислении инте грала от рациональной функции гиперболического синуса и ги

перболического косинуса.
p?(sh х, ch x)dx	вычислим		с помощью подстановки
th— = z Тогда х = 2 arth2 , откуда dx =				, в свою очередь
2			1— 2
	s h -		2 th —	2 th —
shx = 2sh—,ch—= 2— — ch2 —= -----—= --------— =					, ,
2 ' 2	ch±	2	sch^	1-th2-	' - г‘
				1 th2 £
ch x = ch2 — + sh2 —= ch2 —fl + th2 —1 = ---------—= ^ - ^ 7.
2	2	2{	2) х_ А 2Х 1- Z2

Подставляя полученные выражения shx, chx и dx через z в подынтегральное выражение, получим

p?(shx,chx)dx = Ji?	2z	l + z2>	2dz = p?,(z)dz,
	1- z 2	l - z 2	\ —z

где У?, - рациональная функция от z ,

Пример. Вычислить j

(l + ch x)2

dx	—= J—		2 dz		= - f ( i - z 2)cb = l			Z -------	+c =
dx	—= J—		b n : - -		= - f ( i - z 2)cb = l			Z -------	+c =
[								z 3 ^
[	I2	V	.	2 V	2 JV	'	2	b
(l + chx)		\|	1+ z					b

l - z "

= I th * - I t h 3- + C.

2 2 6 2

1.5.Некоторые разложения гинерболических функций

вряды

Рассмотрим разложение показательной функции ех в ряд

по степеням х:
*	х	х2	х3	х”
е	= 1 + — + —		+ —	+ . . . + — + ...	(* )
	1!	2!	3!	л!

Этот ряд абсолютно сходится при всех значениях х. Заменим в равенстве х на -х , получим разложение функции е~х

-X , х X1 X3 . „ х”

е=1 — + ----------+ ... + ( - 1) — + ...

1! 2! 3! л!

Составим полусумму и полуразность рядов (*) и (**); тогда по лучим

,	X	х 3	X5	Х~	1	(1-54)
sh х = —н----- 1----- -				(2л -	• +	(1-54)
	1!	3!	5!	(2л -	1)!

.	, X12	X4	0-55)
ch JC = 1 + —		+ — + . . . + -------------- + ...

2! 4! (2л-2)!

Ряды (1.54) и (1.55) являются также абсолютно сходящими ся при всех х. Ниже приведём разложение некоторых других функций:

.	х3 2х5	17х7	62х9
thx = x	----- + -------------- + --------- ...+
	15	315	2835	(1.56)
			К	(1.56)
+ 2 <2	-■>. к » . » . .		К	к
+ 2 <2	-■>. к » . » . .		----<х< —
(2п)!			2	2

В формуле (1.56) и во всех последующих Вп - числа Бер

нулли.

1	х		х3	2х5	х		X+
cth х = — +	--------3		+	----------------945	4725	(2л)!	X+	(1.57)
X	--------3		45	----------------945	4725	(2л)!		(1.57)
			(-7t<X<7t, Х*0),
.		,	х7	5х	61х°	71	71 ^	(1.58)
schx = l ----- + ---------------+						... ----- < Х <	—	(1.58)
			2	24	720	2	2 )
1		х	7х3		31х5	(~л<х<л,	х*0),	(1.59)
cshх = —- —+ — -----					+	(~л<х<л,	х*0),	(1.59)

х6 360 15120

	arsh х = х - -		1-3-х5 1-3-5х7
	arsh х = х - -				■+ ...+
		2-3	2-4-5 2-4-6-7
	„ 1-3-5...(2л-1)х			2л+1	(1.60)
	„ 1-3-5...(2л-1)х			2л+1
	+ ( - ! ) '			+ ...(-1< х < 1),
	+ ( - ! ) '	2 -4 -6 —2л(2л + 1)
u	X3	X5	х7	х2^	+ (—1 < х < 1). (1.61)
arthx = х + — + — н-----+ ... + --------					+ (—1 < х < 1). (1.61)
	3	5	7	2л+ 1

Для получения рядов (1.56) и (1.57) найдём сначала разло-

жение вспомогательной функции / (х) = —— в ряд по степе-

е —1

ням х, принявДО) = 1 согласно работе [10].

х	п	в.			+...	(*)
-------—Вп		н----- х + — х2 + ... + — У			+...	(*)
ех -1	0	1!	2!	п\

где в равенстве (*) В0,В],...,В„ - неизвестные коэффициенты.

Сдругой стороны,

х__________________1________________

У -1 , х	У	У	х"	(**)

2!	3!	4!	(л + 1)!

Сравнивая равенства (*) и (**), получим тождество

Вп+ — х +			В2 v-2		Д ,
Вп+ — х +			х	+... +-		- У +
			2!			л!
.	X	X	X			П
X 1	+ — + — + ---- + ...+					- + ...
	2!	3!	4!		(« + 1)!

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, полу чаем бесконечную систему уравнений относительно неизвест ных Д ,,Д ,...,Д , Приравнивая свободные члены, найдём

Во = 1. Приравнивая нулю коэффициент при У -1, получим об щий вид л-ro уравнения системы


— Во н--------		А + . 1	В,	+	1 Дп—1 _
— Во н--------			2!	+	•	= 0. (* * * )
л!	( л - 1)! 1! (л - 2)!		2!		1!	( л - 1 ) !

Покажем, что все числа Вп с нечётными индексами в равенстве

(***), кроме В\, равны нулю.

Заменив в равенстве (*) х на -х, получим

-----------= В0		Д	В	В	Д .
-----------= В0		----- -}х +-2		- У ---- W	+... + (-1)" =BLXn +...
г х - \	0	1!	2!	3!	л!

Путём вычитания из (*) последнего равенства получим

_ 2Д 2Д	-У +...+	2Д
х + -	-У +...+	2fc+l х2*+1 +

ех - \

- 1

(2к + 1)!

х	х _ х	хех	_ х (1 - е х)
ех -1	е~х -1 ” ех -1	1-е*	~ ех -1
Сравнивая	коэффициенты	при	одинаковых степенях х
в правых частях двух последних равенств, получим
2В, = -1 ; ВЗ =В5 = ... =В2к+1 =			= 0 (к= 1,2,3...).

Запишем левую часть равенства (**) по аналогии с бино мом Ньютона в символическом виде. Эта формула в раскрытом виде даёт равенство (**), если показатели степени В заменить соответствующими индексами.

Приведём значения нескольких первых чисел В„:

В , - ^ ; В2 - ^ ; Въ- 0;	Д, -		В5- 0 ; В6 -	Вп - 0;
Во = ——; Вд =0;	В,а= — ; В,, =0; Вп =—			•
30	10	66	2730

£ 13= 0 ; В,4 = - ... ит.д.

Числа В\, В2, Въ, ..., В„, ...и т.д. называются числами Бер

нулли. Таким образом, разложение функции										имеет вид
									ех -1
X			X	Вт 7	В4 4				В2п	7„
-------= 1-----+ — х~ + — х							+... + —— X +...
ех -1			2	2!		4!			(2«)!
х		х	х(е*+1)		х	е2 + е - 2			х	, х
Так как -------+ — = — ------- - = --------------- = —cth—, то, заменив
ех - \		2	2{ех -1)		2	-х		i	2	2
						Р 2	— Р — 2
в последнем равенстве — на JC, будем иметь
,	1	~ 2 2п-Втп					1	х	х3	2х5
	х	t \		(2и)!			х	3	45	945

что соответствует приведённой формуле (1.57). Аналогично можно получить и другие соотношения.

Задания к главе 1

1. Проверить справедливость следующих формул:

a) sh2x = 2 th х 1- t h V

б) sh3x = 4sh3x + 3sh x;

в) sh(«+l)x = 2 chxshH x -sh(/?-l)x;

r) ch2x =		1 + th2x1
		1 - t h 2x ’
д) tli2x =		2
д) tli2x =		th x +cth x ’
		th x +cth x ’
е) th3x =		th3jc+ 3th JC
		3th2 x + 1	’
.	x	sh x	ch x -1
ж) tg — =		---------	shx
	6 2	chx + l	shx
2.	Доказать, что

a)(ch x ± sh x)n = ch nx± sh nx;

6)sh2x - s h 2y = sh(x + y )s h (x - y ) = ch2x - 2 y;

в ) с Л х ± , „ ^ Ё ! к ± У 1 , sh x • ch у

3. Найти корни уравнения sh х - 3ch х + 9 = 0.

4.Выразить координаты точки М(х, у) гиперболы х2- у 2= а2 как функцию площади S гиперболического сектора OLM, огра ниченного дугой гиперболы LM и двумя лучами ОМ и OL, где L(x, -у) - точка, симметричная М относительно оси ОХ.

5.Доказать, что

a) arch х = 2 arch	х + 1 =2arsh	х —1
	2	2 ;
б) arth х = —arsh	= —arch ^+ * ■;
2	1- х 2 2	1- х 2
	л
в) arch х = ± In	,(0 < х < 1).

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20223.33 Mб8Формирование гуманитарной среды в вузе инновационные образовательны..pdf
#
15.11.20221.26 Mб2Формирование физической культуры личности студента политехнического..pdf
#
15.11.2022643.13 Кб2Формы и инструкции для подачи диссертации в ProQuest Dissertations and Theses..pdf
#
15.11.20225.22 Mб40Формы существования углерода. Их получение и применение.pdf
#
15.11.20222.99 Mб32Фундаменты основных зданий и сооружений атомных и тепловых электрост..pdf
#
15.11.20228.78 Mб9Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1..pdf
#
15.11.20224.96 Mб3Функции комплексного переменного и их приложения Часть 2..pdf
#
15.11.2022754.37 Кб9Функции комплексного переменного и операционное исчисление..pdf
#
15.11.202212.71 Mб15Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория ус.pdf
#
15.11.2022658.11 Кб20Химическая технология неорганических веществ метод. указания к выпо.pdf
#
15.11.20224.75 Mб132Химическая технология неорганических веществ..pdf