Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1
..pdfе) |
z„ = {Лп+ 1)- у /, п е Z - второго порядка; |
||||||
ж ) |
z = —лг —второго порядка, zn =nni, не Z - простые; |
||||||
|
простые; |
|
|
|
|
|
|
и) z,, = ± я i -второго порядка, |
|
|
|||||
|
|
zn = (2п +1)ni, |
n e Z - простые; |
|
|
||
к) нулей нет. |
|
|
|
|
|
||
25. a) z„=(4« + l ) ~ , |
n e Z |
- полюсы второго порядка; |
|||||
б) z = 0 - устранимая особая точка; |
|
|
|||||
в) z =-2 - существенно особая точка; |
|
||||||
г) z = 0 - существенно особая точка; |
|
|
|||||
д) z = 0 - полюс второго порядка, |
|
|
|||||
|
z = -1 —полюс второго порядка; |
|
|
||||
е) z = 0 - полюс второго порядка, |
|
|
|||||
|
zn = 2rmi, w е Z - простые полюсы; |
|
|||||
ж) z = 0 - существенно особая точка; |
|
|
|||||
з) z = -1 - существенно особая точка; |
|
||||||
и) z = 0 - существенно особая точка; |
|
|
|||||
к) z = 0 - устранимая особая точка; |
|
|
|||||
|
zn = 2кп, n e Z |
- полюсы второго порядка. |
|||||
26. a) |
res /(о) = 0, |
res / |
4 |
|
|
||
к |
|
|
|||||
|
|
|
|
К*; |
|
|
|
|
|
71 |
|
|
- 8 |
/7 е Z ; |
|
|
res / | — + п% |
|
л2(2л + 1)-(4л + 1) |
||||
|
|
|
|
|
|
||
б) |
res/(0) = ^ - ; |
|
|
|
|
|
|
в) |
- |
/ ( - 0 = |
^ |
cosl, |
res/(/)= |
|
cosl, |
res/ ( 3) = ^ ~ ;
г) |
res/ |
( - \ f ~ |
|
+ n7ij = -- j= eM |
, n e Z ; |
|||
д) res/(o) = — |
|
res /(l) = e; |
|
|||||
е) |
r e s /( - l) = ^ |
, |
res/(2) = ~ ; |
|
||||
ж ) re s/(o )= 0 , |
res/(z,) = — |
|
||||||
|
res / |
й |
= |
1- |
г e |
и т.д.; |
|
|
|
|
|
|
4V2 |
|
|
|
|
з) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
r e s / ( o ) = - — ; |
|
|
|
|||||
и) res/(о) = 0 ; |
|
|
|
|
||||
к) |
|
, |
ч |
4 |
|
|
f i Л |
(е + 2е ')/. |
res / ( - / ) = —sh2z, |
res / |
|||||||
\^ J
27. a) 0;
б) (l-2e_l)jt/;
в) 2(l - е _,) я / ;
г) - - я / ;
Д) О;
е) - —1пЗ-я/; 3
ж) 271г;
з) (cosl + sinl + i(sinl - cosl))- ^ ;
и) я /; к) О.
28. а) 2л / ;
6 )0 ; в) 0;
г) 2 л i e ;
е) 2ni.
29.а) 3; б) нет; в) 5; г) нет;
д) И;
е) 6; ж ) 2; з ) 3; и) 4.
30. а) 3:
6 )6 ; в) - 1 ; г) - 3 ;
Д )-4 .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Александров И.А. Аналитические функции комплекс ного переменного / И.А. Александров, В.В. Соболев. - М.: Высшая школа, 1984.
2.Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплекс ного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Нау ка, 1987.
3.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное ис
числения: в 2 т. / Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1985.
4.Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ: в 2 т. / Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1985.
5.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференци альным уравнениям / Э. Камке. - М.: Наука, 1971.
6.Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций
/Н.И. Ахиезер. - М.: Наука, 1970.
7.Морозова В.Д. Теории функций комплексного перемен ного / В.Д. Морозова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баума на, 2000.
8.Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения: приме ры и задачи / А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. -М .: Высшая школа, 1989.
9.Краснов М.Л. Функции комплексного переменного. Опе рационное исчисление. Теория устойчивости / М.Л. Краснов, А.И. Киселёв, Г.И. Макаренко. -М .: Наука 1971.
10.Янпольский А.Р. Гиперболические функции / А.Р. Янпольский. - М.: Физматгиз, 1960.
11.Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. - М.: Нау ка, 1970.
12.Янке Е. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. - М.: Наука, 1968.
13.Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интеграль ных уравнений с дополнительными главами анализа / П.И. Ли зоркин. -М .: Наука, 1981.
14.Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравне ния / Ф. Хартман. - М.: Мир, 1980.
15. Эмануэль Н.М. Курс химической кинетики / Н.М. Эмануэль, Д.Л. Кнорре. -М .: Высшая школа, 1974.
16.Безденежных А.А. Инженерные методы составления уравнений скоростей реакций и расчёта кинетических констант /
А.А.Безденежных. - Л.: Химия, 1973.
17.Аналитические и численные методы решения диффе ренциальных уравнений, описывающих кинетику химических реакций: учеб, пособие / А.М. Федосеев, В.Н. Кетиков; Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 2004.
Приложение
Варианты типовых расчетов
Задание 1. Найти все значения корня из комплексного чис
ла z, если z - tlja + i-b
Номер варианта |
а |
Ь |
п |
1 |
1 |
3 |
4 |
2 |
-1/2 |
1/2 |
3 |
3 |
4 |
-1 |
3 |
4 |
1 |
-2 |
5 |
5 |
0 |
-3 |
4 |
6 |
-3/4 |
1/4 |
3 |
7 |
0 |
-5 |
3 |
8 |
5 |
-5 |
4 |
9 |
3/2 |
-1/2 |
4 |
10 |
5/2 |
3/2 |
3 |
11 |
-3/2 |
1/2 |
4 |
12 |
0 |
-3 |
4 |
13 |
1/4 |
-3/4 |
3 |
14 |
-2 |
-2 |
4 |
15 |
0 |
-1 |
5 |
16 |
-3 |
-4 |
3 |
17 |
2 |
-2 |
4 |
18 |
-5 |
5 |
3 |
19 |
0 |
-5 |
4 |
20 |
-1 |
-1 |
5 |
21 |
1 |
-1 |
4 |
22 |
-2 |
1 |
3 |
23 |
3 |
-2 |
4 |
24 |
0 |
5 |
5 |
25 |
-3 |
2 |
3 |
26 |
|
4 |
4 |
27 |
-1 |
1 |
5 |
28 |
2 |
3 |
4 |
29 |
-2 |
-3 |
3 |
30 |
3/4 |
-1/4 |
4 |
Задание 2. Вычислить значение данной функции^) в точке z 0 и найти значение модуля и главное значение аргумента в ука занной точке, если
f(z ) =(o,z0=a + bi.
Номер варианта |
СО |
a |
|
В |
|
1 |
COS Z |
. jt/2 |
|
In 2 |
|
2 |
shz |
-71 |
|
-In 2 |
|
3 |
zez |
0 |
|
P |
|
4 |
ch2z |
0 |
|
Ln 3 |
|
5 |
sin z |
n/3 |
|
-1 |
|
6 |
cos z |
2 |
|
7L/4 |
j |
7 |
shz |
ji/4 |
|
I |
1 |
8 |
tgz |
n/6 |
|
-2 |
i |
9 |
cthz |
1 |
|
-зг/4 |
|
10 |
tgz |
JI/4 |
|
1 |
|
11 |
ch z |
-1 |
|
я/4 |
|
12 |
cosz |
-n/2 |
|
-3/2 |
|
13 |
chz |
1 |
|
7L/3 |
|
14 |
thz |
3 |
|
4 |
|
15 |
Ctgz |
0 |
|
-3 |
|
16 |
sin z |
-1/2 |
|
-id2 |
|
17 |
cthz |
2 |
|
-я/З |
|
18 |
chz |
-2 |
|
|
|
19 |
sinz |
1 |
|
—я/2 |
j |
20 |
thz |
7l/2 |
|
-1 |
|
21 |
sinz |
______ 1______ , |
я/3 |
; |
|
22 |
e‘z |
2 |
i |
я/з |
|
23 |
thz |
-0/4 |
|
-1 |
! |
24 |
ch (z-i) |
0 |
|
я |
i |
25 |
zez |
-1 |
|
-2я/3 |
|
26 |
chz |
0 |
|
-1пЗ |
|
27 |
2Z |
'/2 |
|
кГ2 |
|
28 |
z+z2 |
0 |
|
Зя |
|
29 |
sin z |
-nil |
|
-1 |
! |
30 |
ch z |
2 |
|
- я :6 |
i |
Задание 3. Найти предел функции /О ) = Щг) (V(z)*0) V(z)
в точке z0 = a +ib, используя запись Нш / (z)
Z - > Z Q
Номер |
т |
|
варианта |
||
zl + 3iz -2 |
||
1 |
2sin iz
3eiz- 1
41+sin z-cos z
5
6cos 2z
71 - ch iz
8z2- 17i z - 70
9
10ch z
11sin
12z
13th 2z
14е'Л- 1
15z3 + 3zz2 —3z —/
16e2z+\
17z + 2i
18zl + 5/z + 6
19
20г212Й + 36
21z2+ 8 /z - 16
22z2 - 4z'z- 3
23z - 5z
24е,г+ 1
25cthz
Viz) |
a |
b |
z + 1 |
0 |
-1 |
ch z + i sh z |
0 |
я/4 |
ez- l |
0 |
0 |
1 -s in z -c o s z |
0 |
0 |
1 |
oo |
0 |
chi z + i sh iz |
7C/4 |
0 |
zL |
0 |
0 |
z - l i |
0 |
7 |
i |
OO |
0 |
z |
0 |
0 |
sh iz |
0 |
0 |
1 |
00 |
0 |
ez- 1 |
0 |
0 |
z - 2 i |
0 |
2 |
z + z |
0 |
-1 |
ez+ i |
0 |
-jt/2 |
3z + 7/ |
oo |
0 |
z + 6/ |
0 |
-6 |
1 |
00 |
0 |
z - 6 i |
0 |
6 |
z + 4i |
0 |
-4 |
z - i |
0 |
1 |
2z - 7/ |
oo |
0 |
eIZJ2- i |
71 |
0 |
1 |
00 |
0 |
Номер
U(z)
варианта
26COS z
27ch 2iz
28z2- 8iz —15
29 z + 6z2 + 12z -r 8
30 |
еъ,+ 1 |
m |
a |
b |
1 |
|
|
i |
|
ch iz |
0 |
0 |
|
COS z |
0 |
0 |
|
z - 5/ |
0 |
5 |
|
z + 2 |
-2 |
0 |
|
e/z + i |
7t/2 |
0 |
1 |
Задание 4. Проверить, может ли функция U(x,y) (У(х,у))
быть действительной (мнимой) частью аналитической функции flz) и, если может, восстановить эту функцию.
Номер
варианта i
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
Щх,у) |
|
Номер |
V{x,y) |
|
|
варианта |
|
||
|
|
-е~хП siny/2 |
|
|
ex' y |
|
2 |
|
|
X |
|
4 |
sh 3JC • sin 3,v |
|
x2 + у 2 |
|
|||
|
|
I |
||
|
|
|
|
|
s h ^ -s in ^ |
6 |
-ln(x2 -r y2 |
! |
|
2 |
2 |
|
|
|
3х2- / |
8 |
||
|
X |
10 |
|
х2+у2 |
|||
|
|||
sin у |
ch JC |
12 |
|
e'x• sin у |
14 |
||
arctg уlx |
16 |
||
e~y |
COSJC |
18 |
|
-sin у • ch x |
20 |
||
r b -sin 2у |
22 |
||
2xy |
24 |
||
X2 +y 2 |
|||
|
|||
e2y'S\n 2x |
26 |
||
2sinx • chy - x |
28 |
||
x2 —y2 + 2x |
30 |
||
ch 2x ■cos 2y
ev*sin x
e ' |
cos 2x |
; |
д:3 - |
Зху2 |
' |
e • ch у |
|
|
sh 2x • cos 2у |
|
|
sh jc sin ^ |
, |
|
e^-sin^y |
|
|
sh у • sinx |
|
|
2(chx • sin _y-x>*) |
|
|
2(2sh x ■sin у + xy) |
; |
|
-2sin 2x |
sh 2y - у |
|
Задание 5. Найти радиус сходимости степенного ряда
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
со
£ a - z '’, / = 0,1.
|
а |
Номер |
|
|
варианта |
||
|
|
||
|
1 |
16 |
|
о - / ) ” |
|||
|
|||
(и+0 |
17 |
||
|
1 |
18 |
|
(/«)” |
|||
|
|||
г |
19 |
||
ет |
20 |
||
„т/п |
21 |
||
е |
|
||
|
1 |
|
|
|
п |
22 |
|
{ту |
|
||
ch Уп |
23 |
||
1 |
24 |
||
(1пш)" |
|||
|
|||
*7/2+1 |
25 |
||
|
|
||
sin пУп |
26 |
||
п |
ni |
27 |
|
COS |
—r= |
||
1 |
28 |
||
sin(l + in) |
|||
|
|||
{n-lf |
29 |
||
cos in |
30 |
||
a
е '(л+1)2
к
e>2n
1
(/In и)"
sh i/3n
(шУ
“M 2
1
(sin(l + in))"
ch i/(2+n)
1
1п(еш)л
1
л(1 +/У
(и + 21n i f n
(in f
1 (3 + 4/У
1
2n+1
1
( « - 2 i f