Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1

если

Пусть теперь функция f(z) комплексного переменного z

определена в некоторой окрестности точки a s С. Определение. Функцию со = /(z) комплексного переменного

z называют непрерывной в точке z = а, если

и только тогда, когда функции и(х, у) и v(x, у) непрерывны в точ­ ке (х0,у 0).

Функцию комплексного переменного, непрерывную в каж­ дой точке множества М по множеству М, называют непрерыв­ ной на множестве М. Укажем свойства функций комплексного переменного, непрерывных на ограниченном замкнутом множе­ стве К с С [4,7].

1. Если функция /(г) непрерывна на множестве К, то эта функция ограничена на множестве К, т.е. существует такая кон­ станта С\ > О, что |/(z)| <C\,z е К.

2. Модуль всякой функции /(г), непрерывной на множестве К, достигает на К своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют такие точки zb z2 е К, что \ f (z)| < |/(z,)|

H | / ( Z ) | > | / ( Z 2) | , Z 6 K .

3. Любая функция /(z), непрерывная на множестве К, рав­ номерно непрерывна на этом множестве, т.е.

Ve > 0 35(e) V zu z2 е K(jz, - z2|) < 5 => |/(z,) - /( z 2)j < s .

Эти свойства вытекают из общих теорем о функции, непрерыв­ ной на компактном множестве в метрическом пространстве [6].

Пример 2.16. Доказать, что функция co=z2 непрерывна при любом значении z еС.

Возьмем произвольную точку г = г0 и произвольное число е > 0. Так как значение функции fiz) = z2 в точке z = z0 равно flzo) = z0\ покажем, что существует число б(е) > 0 такое, что

|z2 -Zo| < е при \ z - z 0\ < 8 .

Если z —*■г®, то найдется такое число М > 0, что |zj < М

и |z0| <М . Тогда

|*2 - 2 о| = |(^ + z0) (z - z 0)| = Jz + z0fz - z 0| < 1М |z - z0j-

Пусть 5 = , тогда из неравенства Jzz0| < 8 будет сле­

довать, что |z2 - z\ | < 2Mb < e , т.е. при любом z0 функция o> = z?

является непрерывной.

2.12. Элементарные функцин комплексного неременного

Рассмотрим основные элементарные функции для ком­ плексного переменного.

Учтем, что для действительных значений X E R справедли­

вы разложения функций е1, sin х и cos х ряд Маклорена, который сходится абсолютно для любого z e C .

Рассмотрим некоторые свойства введенных функций. 1. При z\, z-i е С

Отсюда следуют, что |е“ j = ех, а одно из значений arg е: есть у.

Таким образом, (2.98) позволяет вычислить значения показа­ тельной функции ez комплексного переменного z при любых его значениях (ег* 0, z е С ).

2. Функция ez периодическая, с периодом Т ~ 2in . Прове­ рим это утверждение. Для Дг) = е2имеем

f ( z + 2ni) = ez+2ni - е 2 ■е2п1 = ez(cos27i + /sin27i)„ =е2

Отметим, что если Т = Т\+ T2-i является комплексным перио­

дом функции е2 , то е2+т= ez является комплексным, откуда, используя условие равенства комплексных чисел в тригономет­ рической форме, приходим к соотношениям

Итак, число 2 л / действительно является периодом показа­ тельной функции.

3. Если m - целое число, то с учетом (2.98) имеем

(е2^ = (ех(cos у + /sin у))"' = emx(cos mx + i sin my) =

_ е"'(.х+’У) _

Для этих функций остаются в силе тригонометрические тождества:

sin2z + cos2z = 1;

cos(zi+r2) = coszlcosz2 - sinzlsinz2;

sin(z,+z2) = sinz|Cosz2 + coszisinz2.

Докажем, например, первое тождество

Как и в случае действительного переменного, через синус и ко­ синус определяют еще две функции комплексного переменно­ го - тангенс и котангенс:

В главе 1 подробно рассмотрены свойства гиперболических функций. Здесь кратко приведем основные соотношения, связы­ вающие гиперболические функции с тригонометрическими функциями комплексного переменного

sin iz = /sh z, shr z = isin z,

cos iz = ch z, ch/ z = cos z,

ctgz z = -icth z, thi z = itg z.

Проверим, например, первое из соотношений (2.99)

Из (2.99) и основных тригонометрических тождеств можно получить

cos(x±zy) = c os xch y + /sinxsh. v.

Отсюда

|sinz| = д/sin2 х -ch2>' + cos2x • sh2.y =

= д/sin2* + sh2.y = s J c h 2y - c o s 2x,

|cos z| = д/cos2 x- ch2 y + sin2 x- sh2 у =

= д/cos2 x+ sh2 у = д/сЬ2у - sin2

Поэтому |sh < |sin ^ ch v и |shy|<|cosz|<chy.

Замечание. Так как функция sh2y может принимать сколь угодно большие значения, то последние неравенства показыва­ ют, что sin z и cos z не являются на комплексной плоскости С ограниченными по модулю функциями.

Отметим попутно, что при больших значениях |у|

Остановимся в заключение на вычислении значений функции

1+ 1

поскольку

2.13. Многозначная функция Arg z. Логарифмическая функция

Если каждому числу z € Е а С поставлено в соответствие несколько комплексных чисел, обозначаемых оо = /(z ), то гово­ рят о многозначной функции комплексного переменного, задан­ ной на множестве Е. Говорят, что в области D с= Е выделена од­ нозначная ветвь многозначной функции Яг), если в каждой точ­ ке этой области выбрано одно из возможных значений многозначной функции Дг), причем так, что полученная одно­ значная функция является непрерывной в области D.

В теории функции комплексного переменного особую роль отводят многозначной функции Arg z. Остановимся на ней под­ робнее.

Согласно определению аргумента комплексного числа ка­ ждому числу z = х + iy 0 можно поставить в соответствие бес-

численное множество значений ср = Arg z, которые отличаются

друг от друга на слагаемое, кратное 2 7с. Эти значения опреде­ ляются соотношениями

Однозначные ветви многозначной функции можно выде­ лить, анализируя приращение функции вдоль непрерывной кри­ вой. Пусть кривая у не проходит через точку z - 0. Геометриче­

ски аргумент комплексного числа z на кривой представля­ ет собой угол наклона радиусвектора точки z на комплекс­ ной плоскости к оси ОХ, а приращение аргумента при движении точки по кривой у

есть угол поворота радиусвектора. Угол поворота ради­ ус-вектора точки z при ее движении вдоль кривой у от

начальной точки А до конеч­

формулу для приращения ар­ гумента вдоль кривой. Усло­

вимся считать, что AyArg z - однозначная ветвь многозначной функции. Тогда из формул

х = rcosq), у = rsincp,

имеем

dx = coscpdr -rsincpdcp,

dy = sincpdr - rcoscpdcp,

откуда rdcp = -sincpdx + coscpdy. Следовательно,

dcp = d Argz = - ydx + xdy x2+y 2

Рассмотрим интеграл от dq> вдоль кривой у, равный разно­ сти значений аргумента z в конечной и начальной точках кривой у , или приращение аргумента Ду Arg z вдоль кривой у.

Итак,

Таким образом, свойства приращения аргумента оказались связанными со свойствами криволинейного интеграла, стоящего в правой части равенства (2.102). Перечислим их:

1° AyA rgz = - A _ yA rg z, где - у обозначает кривую у,

на которой направление обхода изменено на противоположное. 2° Если кривая у составлена из двух кривых у{ и у2 так,

что конечная точка кривой у, является начальной точкой кри­ вой у2 , то

ДуArgz = Ду1Argz + Ду2 Argz

3° Ду] Argz = Ду2 Arg z для любых двух кривых у, и у2,

имеющих общие начальные и конечные точки.

4° Приращение аргумента вдоль любой простой замкнутой кривой у в области D, окружающей точку z = 0, которая обхо­ дится против часовой стрелки, равно 2 тс:

AyArgz =2я.

Проиллюстрируем применение перечисленных выше свойств на конкретных примерах (2.19, 2.20).

Перейдем теперь к рассмотрению многозначной логариф­ мической функции.

Рассмотрим произвольное комплексное число z * 0. Если

е“ = z, то ш называют логарифмом комплексного числа z и обо­ значают