Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1
..pdfz - zo < |
~ zo |
(2.59) |
Если же ряд (2.57) расходится в некоторой точке z” , то он |
||
расходится во всех точках z, для которых |
|
|
|z - z 0| > |z** -z0|. |
(2.60) |
|
Докажем первое утверждение теоремы. По условию ряд |
||
(2.57) сходится в точке z* Это означает сходимость числового |
||
ряда с общим членом C„(z* - z 0)f |
В силу сходимости этого ря |
|
да его общий член стремится к нулю, |
т.е. C„(z‘ - z 0)-> 0 при |
п —> оо . В силу ограниченности всякой |
сходящейся последова |
тельности заключаем, что существует такое М> 0, для которого
\Cn(z*-zQ n\< M , neN . |
(2.61) |
|
Рассмотрим теперь произвольную точку г, удовлетворяю |
||
щую условию (2.59). Тогда |
|
|
z - zn |
\z- z n |
|
z - z n |
= a < |
|
z -Zn |
|
|
В силу (2.61) имеем
Z-Zn \ п
\ Z ~ 2о )
Z-Zn
\C„(z* ~z0) n\<Mqn
z - Z n
Так как ряд с общим членом Mq" при 0<q < 1 сходится, то по признаку сравнения знакоположительных рядов сходится ряд с общим членом |c„(z-z0)"|, т.е. ряд (2.57) сходится абсо
лютно во всех точках z , удовлетворяющих неравенству (2.59).
Множество всех комплексных чисел z, удовлетворяющих условию |z —*zQ| < R , образует на комплексной плоскости круг радиуса R с центром в точке z0. Этот круг называют кругом сходимости степенного ряда, а его радиус R - радиусом сходи мости степенного ряда. При R = 0 степенной ряд вида (2.57) сходится только в точке z0.
Замечание. Степенной ряд может и не иметь точек расхо димости, тогда он сходится абсолютно во всех точках плоско сти. В этом случае полагают, что R =се, и говорят о бесконеч ном радиусе сходимости ряда.
На границе круга сходимости поведение степенного ряда может быть разным: в одних точках границы он может сходить ся, а в других точках - расходиться.
Обратим внимание на то, что во всех точках границы круга сходимости ряд из модулей членов ряда (2.57), т.е. ряд
i |c , | - |z - z „ r = i |c , | . r ,
/1=0 /1=0
является эквивалентным и не зависит от точки границы.
Чтобы найти радиус сходимости комплексного степенного ряда (2.57), поступают так же, как и в случае действительных степенных рядов [3].
Применим к ряду из модулей радикальный признак Коши.
Если существует предел |
|
lim Ч/|С„|, |
(2.62) |
п —>00 |
|
конечный или бесконечный, то согласно радикальному признаку Коши в точках z, удовлетворяющих условию
lim ^/|C„(z-z0)| = |z - z01• lim |
< 1, |
(2.63) |
сходится ряд из модулей степенного ряда (2.57), а потому сам степенной ряд сходится абсолютно.
В точках z, удовлетворяющих условию
\ z - z 0\lim ^jcjj > 1, |
(2.64) |
/7->сО v |
|
степенной ряд (2.57) расходится. |
|
Обозначим |
|
R = |
(2.65) |
Формулу (2.65) называют формулой Коши - Адамара. Аналогичные рассуждения можно провести, используя
признак Даламбера. Тогда для радиуса сходимости R рассмат риваемого ряда имеем
|
|
R = Пт С„ |
R = Пт |
С„ |
|
|
|
|
(2.66) |
|
|
|
П —>СО С„ + 1 |
Л —>со С +1 |
|
|
|
|
|||
если предел в равенстве существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Пример |
2.9. |
Найти |
круг |
|||
|
|
|
сходимости |
степенного |
ряда |
|||||
|
|
|
с общим |
членом |
(z - |
2i f |
и ис- |
|||
|
|
|
--------— |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3" -п |
|
|
|
|
|
следовать |
сходимость |
ряда |
|||||
|
|
|
в точках г, = 3 + 2/ |
и z2 = 5/ |
||||||
|
|
|
|
Применим признак Далам |
||||||
|
|
|
бера к исследованию |
сходимо |
||||||
|
|
|
сти |
ряда |
из |
модулей |
с общим |
|||
|
|
|
членом |zJ = |
z —2/|” |
|
|
||||
|
|
|
3” |
п |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
lim |
|z - |
2ijn+1 • 3n • п |
|
|z - |
2zj |
|
|
||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л —>00 |
//->003n+1 •(« + l)|z -2 i|n |
|
|
|
|
|
|||
T .K . |
----------- > 1 при n —> 00 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При -—-—- < 1, т.е. при |z - 2/J < 3 исходный степенной
ряд сходится абсолютно. Множество точек z , удовлетворяю щих последнему неравенству, и есть круг сходимости (рис. 2.18). При |z -2 /| > 3 исходный ряд расходится.
Точки Zj и z2 расположены на границе круга. Для иссле дования поведения ряда в этих точках рассмотрим числовые ря
ды, полученные после их подстановки |
в исходный ряд. |
В точке z, =3 + 2/ получаем числовой ряд |
СО ] |
, который явля |
|
|
лся |
ется гармоническим рядом и, как известно, расходится. Таким образом, исходный степенной ряд в точке z, = 3+ 2/ расходится.
со
В точке z7 = 5/ имеем числовой ряд £ — , который согласно
л=1 п
рассмотренному выше примеру является условно сходящимся, т.е. исходный степенной ряд в точке z2 = 5/ сходится условно.
Пример 2.10. Найти сумму ряда с общим членом гл = z" и сумму ряда с общим членом ю„ = (-1 f
Первый ряд имеет круг сходимости |д) < 1. Можно показать, что круг \z\ < 1 является кругом сходимости и второго ряда
Рассмотрим первый ряд. Для любой точки z в круге
\z\ < 1, учитывая формулу для суммы членов геометрической прогрессии, получим
5'(z)= lim S„(z)= lim(l + z + z2 + ...+z")=
Л-»СО |
Л-+004 |
|
|
|
, _ 7„+1 |
, |
(2.67) |
= lim -—-— = —— , |
|
||
л-усо 1 —2 |
1—z |
|
|
так как при \z\ < 1 имеем |
lim|z|#,+1 = 0 , а значит, |
r ,,+i —>0 при |
|
1 1 |
Л— 1 |
|
|
п —>оо. Для рассматриваемого ряда можно записать
= l + z + z2+... + z"+ ...= |
f y |
|z |< l . |
(2.68) |
1 - Z |
n=0 |
|
|
Аналогично для ряда с общим членом ( - 1)"z" найдем |
|
||
_ L = ] _ z + z2 + ... + (-iy ,z', + ...= |
i ( - l ) nzn,|z | < 1 . |
(2.69) |
|
1 + Z |
л=0 |
|
|
Пределы в формулах (2.65) и (2.66) для радиуса сходимости степенного ряда могут не существовать. В таких случаях круг сходимости можно найти, непосредственно применяя радикаль ный признак Коши или признак Даламбера.
В заключение этого пункта отметим важное в решении за дач свойство степенных рядов.
Теорема. Степенные ряды
S c » (z -z 0)” = C0 + Cl( z - z 0) + ... + C„(z-z0f + ..., |
(*) |
П=О |
|
И |
|
i c n{ z - z 0f ' m= C m + C m+1( z - z 0) + ... + Cffl+n( z - Z o ) " + ... (**)
п~т
имеют один и тот же круг сходимости.
Если ряд (*) сходится в точке z * z0, то в этой точке схо
дится и ряд (**), который назовем его остатком. |
|
||
2.9. |
Двусторонний степенной ряд |
|
|
Рассмотрим ряд |
|
|
|
С-„ |
с .. |
С |
• + ... (2.70) |
|
z - z 0 ( z - z 0)2 |
+ ... + - |
|
H=I ( Z - Z 0 )" |
{ z - z 0)' |
|
|
содержащий целые отрицательные степени z - z0. Сделаем под-
становку со = • 1 , получим степенной ряд с общим членом
Z - Z n
С_„. Если R - радиус сходимости этого степенного ряда, то для всех точек z , удовлетворяющих неравенству |z - z 0| > —, ис-
ходный ряд (2.70) будет являться абсолютно сходящимся. При
I |
I 1 |
|z —z0|< — этот ряд расходится.
R
В точках z на окружности |z - z0| = — ряд может как схо-
R
диться, так и расходиться.
Областью сходимости ряда (2.70) будем называть множество точек сходимости этого ряда. Отсюда следует, что областью сходимости ряда (2.70) является множество точек z ,
для которых |z - z0| > —, дополненное некоторым множеством
R
точек окружности |z - z0| = — (возможно, пустым).
При этом множество |z - z 0| > I представляет собой мно-
R
жество внутренних точек области сходимости ряда (2.70).
Пример 2.11. Найти множество внутренних точек области
3"+1
сходимости ряда с общим членом
(z + 2i)n
3"+1
К ряду из модулей с общим членом jn применим z + 2/j
признак Даламбера. |
Для этого найдем |
iim |
|
|
|г + 2i]"+ (з" + 1) |
Зп+1+1 |
Согласно |
этому признаку при |
lim |
||
jz + 2i\ п-усо 3"+1 |
\z + 2i\ |
|
- < 1, т.е. при |z + 2z| >3 ряд из модулей сходится. Следо
вательно, искомым множеством является внешность окружно
сти |z + 2/| = 3, т.е. множество точек z, для которых |z 4- 2i\ > 3.
В теории функций комплексного переменного часто возни кает необходимость рассмотрения степенных рядов, в которых присутствуют как положительные, так и отрицательные степени (z - z0), причем и тех и других бесконечное количество. Такой
ряд называют двусторонним степенным рядом.
Его можно разделить условно на два самостоятельных ря
да: первый с неотрицательными |
степенями ( z - z 0) , |
второй |
|||
с отрицательными |
степенями |
(z - z0) |
В дальнейшем |
будем |
|
считать, что |
|
|
|
|
|
i c , ( 2 - z „ r = l - r ^ Y + |
= |
|
|||
п--СО |
/7 = 1 ^Z |
— Z Q J |
/7=0 |
|
|
= ••• + 7— =£1уГ+ --- + — — + C0+ C ,(z -z 0)-t- |
(2.71) |
||||
{ Z |
- Z j |
Z Z Q |
|
|
|
+... + C„(z-zoy + ...
Ряд (2.71) называют сходящимся в точке z, если в этой точке сходятся оба составляющих его ряда (2.70) и (2.57). Пусть мно жеством внутренних точек области сходимости степенного ряда вида (2.57) является внутренность окружности радиуса R с цен тром в точке zQ, а ряда (2.70), расположенного по целым отрица тельным степеням (z - z 0\ - внешность окружности радиуса г с центром в той же точке. Напомним, что радиусы г и R могут быть вычислены по формулам
г = Игл 1с — .1 |
R = Пт |
(2.72) |
/7—>сО к \ |
П—>QO |
|
ИЛИ |
|
|
г= Пт ч/|С_„|, |
R= Пт |
(2.73) |
|
Я-»оо |
с . |
Тогда:
1) при г > 7? ряд (2.71) расходится всюду;
2) при г < R множество внутренних точек области сходи мости ряда (2.71) - это кольцо г < \z - z o\< R,r>0, 0 < Д < +да
(кольцо сходимости ряда).
В последнем случае возможны так называемые вырожден ные (исключительные) варианты:
а) г > О, R =да (это означает, что кольцом сходимости ряда
(2.71) является внешность окружности | z - z0 | = г );
б) г = О, R = оо (кольцом сходимости является вся ком плексная плоскость, за исключением точки z0);
в) г = 0, 0 < R < +оо (в такой ситуации кольцом сходимости
ряда (2.71) является проколотый круг 0 < | z - zQ| < R ).
Приведем пример.
Пример 2.12. Определить кольцо сходимости рядов:
а) Z |
2” -1 , £ ( * + # . |
л=1 (Z+ l)" л=о(/ + n f |
|
6 ) £ b i + z / ; -
|
|
2" -1 |
а) Применяя к ряду из модулей (общий член--------) при- |
||
знак Даламбера, вычисляем |
|
М " |
|
|
|
^ - i W |
1 |
. 2 ~ { п = 2 |
«-*00 |z + l|"+,(2n - l ) |
|2 + l|"->c0 i _ i n :^+ l; |
|
|
|
2 |
Таким образом, при |
<1, т.е. при \z + 1| > 2 , что соот- |
|
\z + |
|
|
ветствует г = 2, ряд с общим членом |
2" -1 абсолютно сходит- |
|
ся, а при \z +1| < 2 - расходится. |
(*+1Г |
|
|
||
Для исследования сходимости ряда из модулей с общим
членом и+1|” удобнее применить признак Коши. Находим
\l + n\
z + ll" |
|z + l| |
1 |
lim " ------- = lim г— г = lim < |
Z +1| = 0 . |
|
П-+со \1+П\ |
|/ *f П\ п-+сс\ \ |
+ п |
Это означает, что ряд с общим членом ( -----* + У1 сходится абсо-
^ J—
(' + «У
лютно на всей комплексной плоскости (R = да). Итак, кольцом сходимости исходного ряда является внешность окружности
|z + 1| = 2 , т.е. множество точек z, для которых |z + 1| > 2 (выро
жденный случай кольца, при котором R = да).
б) Для того чтобы найти кольцо сходимости ряда с общим
членом ——Н У—г , вычислим hm - |
z\I" -п* |
,1 |
|
in+1 |
= Г 7 lim |
|
|
z ■n |
(«+1У |
\Z\ n->ao |
(я+1)4 |
|
|
Следовательно, при 77 <1, т.е. при |z| > 1 , этот ряд абсо
лютно сходится, а при \z\ <1 - расходится.
Аналогично для ряда с общим членом —— вычислим 2" п
|z|”+1 • 2" • я |
\z\ |
п |
\z\ |
\z\ |
|
lim —Ч-т----- |
77*77 = 4Ч н п |
---- ~ = Ьг> 4X0 означает: |
при ir < l , |
||
п-юо 2л+| -(n + l)- z |
2 п^оои + 1 |
2 |
2 |
||
т.е. при |z| < 2 , этот ряд сходится абсолютно, а при jz| > 2 - рас ходится. Таким образом, кольцом сходимости исходного ряда является кольцо 1 < jz| < 2 .
2.10. Основные понятия н определения функции комплексного переменного
На множестве D c C задана функция комплексного пере менного z, если задан закон f по которому каждой точке z е D поставлено в соответствие единственное комплексное число