Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1

В этом случае говорят о лорановском разложении функции f(z) в окрестности особой точки z = а, причем ряд в правой час­ ти представления (2.214) называют рядом Лорана в окрестности этой особой точки. Ряды

t x { z - d f ’

на которые разделяется ряд Лорана, называют соответственно правильной и главной частью лорановского разложения (2.214) функции / (z) в окрестности точки z = а.

Используем ряды Тейлора для косинуса и синуса и учтем, что | z - 1 | > 0:

Определение 5. Порядком полюса z = aeC функции f{z)

называют число т е N , при котором существует конечный от­ личный от нуля предел:

Полюс порядка т = 1 называют простым.

Теорема 4. Точка z = а является полюсом функции /(г) порядка т тогда и только тогда, когда эта точка является нулем

функции —-— кратности т.

в окрестности точки а содержит бесконечное число отличных от нуля слагаемых.

Теорема 6 (теорема Сохоцкого). Пусть а е С - существен­ но особая точка функции / ( z ) . Тогда для любого А е С най­ дется последовательность {zn} точек zneC , сходящаяся к точке

z - а и такая, что f ( z n) —>А при п —>оо.

Теорема 7 (теорема Пикара). Если z = а - существенно осо­ бая точка функции / ( z ) , то для любого комплексного числа А

(за исключением, возможно, одного значения), можно указать такую последовательность {zn } -» а , что f (z n) = А, п е N .

цией в проколотой окрестности этой точки, а во-вторых, с уче­

том стандартных разложений для функции ех и cos z имеем

предела при z —►оо, можно причислить точку z = оо к точкам аналитичности функции.

Определение 3. Лорановским разложением функции f(z)

в окрестности изолированной особой точки z = оо называют ряд Лорана функции /(z ) по степеням z, в который эта функция

разложена в области |zj > Л, т.е. вне круга достаточно большого радиуса R с центром в точке z = 0.

Итак, если

ности бесконечно удаленной точки. Из определений 1-3 следует, что изолированная особая точка z = оо функции /(z ) является:

1) устранимой особой точкой, если лорановское разложе­ ние функции /(z ) в окрестности не содержит положи­ тельных степеней z (отсутствует его главная часть), т.е.

2)полюсом, если лорановское разложение функции /(z)

вокрестности z = оо имеет конечное число ненулевых слагаемых

сположительными степенями z, т.е.

где т > 0 и Ст* 0 . Целое число т называют порядком полюса

z = оо функции / (z) ;

3) существенно особой точкой, если лорановское разлож ние функции /(z ) в окрестности z = оо содержит бесконечное

число ненулевых слагаемых с положительными степенями z, т.е.

= —------ (включая бесконечную удаленную точку) и выяснить

z —Z

их тип.

Особыми будут бесконечно удаленная точка z = оо и нули

и z2 =-1 - простыми полюсами рассматриваемой функции, так

как для ее знаменателя эти точки являются нулями.

Поскольку — —- -» 0 при z —» оо, то в силу определения z —Z

бесконечно удаленная точка z = оо будет нулем рассматривае­ мой функции, причем кратность этого нуля т = 5, так как

е~

Пример 2.50. Исследовать функцию / (z) =

z 2( z 2 + 9 )

Точка z0 = 0 является полюсом второго порядка, а точки

z, 2 = ±3/ - простыми полюсами, так как числитель дроби -

функция ez - не обращается в нуль, а знаменатель дроби - мно­

гочлен z2(z2 +9) - имеет нуль кратности 2 в точке z0 и нули

кратности 1 в точках г, 7. Точка z = оо является существенно

особой точкой этой функции, так как не существует ее предела (ни конечного, ни бесконечного) при z -> оо. Действительно,

Следующий по простоте класс составляют целые функции, не имеющие конечных особых точек и аналитические на всей комплексной плоскости С. Для целой функции /(z ) точка

/ (z) = const. Если же z = oo - полюс порядка т е N функции

/(z ) , то главная часть Лорановского разложения функции f(z)

Вычитая из /(z ) эту главную часть, получаем также целую функцию (p(z) = /(z ) - g(z) , но с лорановским разложением в

окрестности точки z = oo, не содержащим слагаемых с положи­ тельными степенями z. Для такой функции z = °o будет устра­ нимой особой точкой ( ср(z) = const).

Целые функции, для которых z = оо является существенно особой точкой, называют целыми трансцендентными. Таковы,

например, функции е \ cos z, sinz.

Определение 4. Функцию, не имеющую в комплексной плоскости С помимо полюсов других особых точек, называют мероморфной.

Теорема 2. Если функция имеет конечное число изолиро­

ванных особых точек в расширенной комплексной плоскости С и все они - полюсы, то эта функция рациональная (рациональ­ ная функция - это функция отношения двух многочленов).

Приведем краткое доказательство теоремы 2. Пусть

главную часть лорановского разложения функции f(z) в окре­ стности точки z —оо. Если z =оо является устранимой особой точкой для / ( z ) , то полагаем g(z) = 0 .

-Z ^ » ( z ) . »'=I

Она является аналитической функцией на всей расширен­ ной плоскости С и, следовательно, cp(z) = const = с0, таким об­ разом,

2m L

где L - некоторый замкнутый простой кусочно-гладкий контур,

Отметим сразу, что если z = а является точкой аналитичности функции /( z ) , то по теореме Коши для односвязной области

вычет этой функции в точке z - a равен нулю.