Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1

ру. Это правило чаще всего задают при помощи формулы, уста­ навливающей зависимость значения п-то элемента последо­

Определение. Комплексное число а называют пределом по­ следовательности {z„} комплексных чисел и записывают

lim zn = а , если для любого произвольного е > 0 можно найти

/7—>00

натуральное число N, такое, что при всех п > N все элементы по­ следовательности попадают в некоторую е-окрестность точки а, или кратко записывают

limz„ = a : V e > 0 3N = N(e) е N : (п > N =>| z„ - а |< г). (2.42) П—>00

Геометрический смысл предела последовательности ком­ плексных чисел состоит в том, что круг любого радиуса г

сцентром в точке а содержит все элементы этой последователь­ ности за исключением их конечного числа. Точки zn, начиная

снекоторого номера, лежат в круге радиуса 8 с центром в точке

акомплексной плоскости (Z), точка аеС является пределом

последовательности {zn}.

Определение предела последовательности {zn} комплекс­ ных чисел формально такое же, как и определение предела по­ следовательности действительных чисел [3].

Пусть zn =xn +iyn , а - а + /р Последовательности {*„}

и {уп} действительных чисел называют, соответственно, после­ довательностями действительных и мнимых частей для данной последовательности {zn} комплексных чисел. В силу неравенст­ ва треугольника имеем

Учитывая эти неравенства и определение предела последо­ вательности действительных чисел [3], можно дать следующее

П—>ао

Последовательность {zn} комплексных чисел, имеющую своим пределом комплексное число д е С , называют сходящейся к точке а. Это число может оказаться действительным или

чисто мнимым. Если \vmzn = 0 , то последовательность {zn} Ha­ rt-* со

зывается бесконечно малой. В этом случае записывают

Vs > 0 3N = N(e) е N : (л > У => |znj < е).

Если же последовательность {zn} не имеет конечного пре­ дела, то ее называют расходящейся.

Определение. Последовательность {zn} комплексных чисел называют стремящейся к бесконечности, или бесконечно боль­ шой. если

Условие (2.46) означает, что, начиная с некоторого номера У + 1, все точки комплексной плоскости (Z), составляющие по­ следовательность {zn}, располагаются вне круга большого ра­ диуса Е с центром в начале координат. Поэтому сферические изображения членов последовательности {z„}, начиная с неко­

торого номера, попадают в окрестность «северного полюса) сферы Римана (см. рис. 2.6).

Замечание. Из геометрической интерпретации предела по­ следовательности комплексных чисел следует, что всякая схо­ дящаяся последовательность ограничена. Обратное утвержде­ ние, вообще говоря, неверно.

Теорема Больцано - Вейерштрасса. Из всякой ограни­ ченной последовательности можно выделить сходящуюся под­ последовательность.

Примем эту теорему без доказательства. Доказательство её можно найти, например, в работах [3,7].

С последовательностью {zn} комплексных чисел можно также связать последовательность |z„|} модулей и последова­ тельность {argz^} аргументов этих чисел. Сформулируем неко­

торые свойства этих последовательностей.

1. Из определения предела последовательности комплекс­

и cpn = argzn, следует достаточное условие сходимости последо­

= p(cos© + /sin©).

Для бесконечно больших последовательностей справедли­ вы следующие свойства:

Если z п 5*0, п е N, то lim zn =<ю тогда и только тогда, ко­

и lim — = 0 . /7->00 2п

тельность имеет предел только в том случае, если ф = 0, но то­

гда а = 1.

Итак, рассматриваемая последовательность является схо­ дящейся при |а| > 1, |а| < 1 и а = 1.

2.7. Степенные ряды

Пусть дана последовательность {Z„} комплексных чисел. Тогда суммы 5, = z,, S2 = z, + z2, S3 = z,+z2+z3 и т.д. называ­ ются частичными суммами ряда, обозначаемого

/7=1 /7=1

и обычно называемого комплексным числовым рядом. Сумму S„ = z, + z2 +... + zn называют, как правило, и-й частичной сум­ мой ряда (2.52), a z„ - общим (п-м) членом комплексного

числового ряда.

Определение. Комплексный числовой ряд (2.52) называют сходящимся, если последовательность {Sn} его частичных сумм является сходящейся при неограниченном увеличении п. Конеч­ ный предел S этой последовательности называют суммой данно­ го ряда.

Согласно определению запишем

Из свойств сходящихся последовательностей вытекают приведенные ниже утверждения (доказательство этих утвер­ ждений можно найти, например, в работах [7,9]).

Утверждение 1. Для сходимости ряда (2.52) с комплексны­ ми слагаемыми Z„=x„+iy„ необходимо и достаточно, чтобы сходились оба ряда

Ряд (2.52) называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Сходящийся ряд (2.52), которому соответствует расходя­ щийся ряд (2.55) из модулей, называют условно сходящимся.

Утверждение 2. Ряд (2.52) абсолютно сходится тогда и только тогда, когда абсолютно сходятся оба ряда (2.54).

Утверждение 3. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Замечание. Необходимое условие (необходимый при­ знак) сходимости комплексного числового ряда (2.52) с комп­

Иначе говоря, если нарушается условие (2.56), то ряд рас­ ходится.

Одной из важнейших задач в теории комплексных рядов является исследование ряда на сходимость. При таком исследо­ вании выясняют, сходится ряд или расходится. Если ряд схо­ дится, то определяют, сходится ли ряд абсолютно. Исследова­ ние комплексного ряда (2.52) на сходимость целесообразно

расходится. Во-вторых, если ряд (2.55) расходится на основании признака Даламбера или радикального признака Коши, то это означает нарушение необходимого условия сходимости для этого ряда.