Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн

Метод скорее эвристический, чем обоснованно-стати­ стический, и поэтому пригоден для грубых оценок конку­ рирующих моделей.

2.4.2.Байесов подход к выбору моделей. Выбор моде­

ли строится на основе известной т е о р е м ы Б а й е с а , связывающей априорную и апостериорную вероятности. Априорная вероятность выражается исследователем, как мера его уверенности в распределении параметра 0 соответствующей модели.

Предположим, что модель характеризуется уравне­ нием

вектор-столбец параметров модели; Xt — вектор-столбец факторов; о* — погрешность /-го измерения.

Предположим также, что априорное распределение вектора параметров модели является многомерным нор­ мальным распределением со средним 6 0 и матрицей ко­ вариаций D. Это распределение характеризует степень предварительных знаний о векторе параметров 0.

Если уравнение (2.47) нелинейное, то его можно ли­

е —' вектор погрешности.

Допустим, что вектор погрешности имеет многомер­ ное нормальное распределение с нулевым математиче­ ским ожиданием и матрицей ковариаций Jo2 {I — еди­ ничная матрица). Тогда U имеет нулевое математиче­ ское ожидание и матрицу ковариаций X D X T-+-Уа2 (сло­ жение ошибок возможно вследствие линейности U). Исхода из этих данных, легко рассчитать условную ве-

Дели после (/V— 1)-го эксперимента; t j j ( X э) — прогно­ зируемое значение выходной переменной для условий Хэ и при использовании модели / с оценками параметров 0J, полученных по ( N — 1)-экспериментам (любым под­

ходящим методом).

Условия Хэ, где значение Z(X0) будет максимальным. Дают максимальное различие между моделями и потому следующий JV - ы й эксперимент должен ставиться в этой точке.

Доказано, что перечисленные выше критерии (Рота, Бокса и Хилла,энтропийные) дают идентичные резуль­ таты.

2.5. Алгоритмы идентификации математических моделей

Введение. Задача идентификации математического описания становится в последнее время одной из цен­ тральных задач исследования химико-технологических процессов. Это вызвано необходимостью «привязки» об­ щей математической модели, которая в большинстве случаев существует, к реальному объекту. «Привязка» осуществляется расчетом параметров математической модели по результатам эксперимента на реальном объ­ екте.

Если химико-технологический объект характеризует­ ся /2 -мерным вектором состояния Y(t), /л-мерным векто­ ром управления U(t), то математическое описание про­ цесса можно представить в канонической или нормаль­ ной форме:

стемы, состоящей из коэффициентов системы дифферен­ циальных уравнений; в( / ) — помехи объекта и измери­ тельных приборов; t — время.

Решение задачи идентификации предполагает по данным наблюдения векторов У (/), U(i) и, возможно, при наличии некоторых характеристик помехи е(!/), опре­ деление неизвестных параметров и оценку внутренних, не доступных для измерения выходных переменных объекта (например, концентраций промежуточных про­ дуктов) .

Задача идентификации принадлежит к так называе­ мым некорректно поставленным задачам, и ее решение возможно только приближенно.

Классификация методов идентификации. По мнению В. В. Кафарова и И. Н. Дорохова [12], методы иденти­ фикации удобно разделить на две большие группы по типу математического описания той системы, к которой они применяются. К первой группе относятся все методы идентификации, применяемые только к линейным си­ стемам, ко второй — методы, применяемые как к линей­ ным, так и к существенно нелинейным системам.

Впервую группу можно включить: нахождение ве­ совых функций непосредственным решением интеграль­ ного уравнения свертки; определение параметров диф­ ференциальных уравнений и передаточных функций по экспериментальным функциям отклика на входные воз­ мущения стандартного типа (импульсное, ступенчатое, синусоидальное и др.). Ко второй группе относят: метод адаптирующейся модели; методы статистической теории нелинейных систем; методы теории оптимальной филь­ трации Калмана; методы байесовской идентификации; методы стохастической аппроксимации.

Для объектов химической технологии характерны большие степени нелинейности, распределенность пара­ метров, нестационарность переменных (дрейф основных показателей процесса). В этих условиях для идентифи­ кации объектов исследователи чаще всего применяют методы второй группы. Особенно эффективны методы статистической идентификации объектов на основе тео­ рии случайных процессов и решения задачи поиска импульсной функции по уравнению Винера—Хопфа. Собственно в теории управления применение этих мето­ дов и составляет суть методов идентификации.

Всвязи с этим представляется целесообразным рас­ смотреть основные алгоритмы статистической идентифи­ кации: оценки характеристик случайных процессов,

сглаживания случайных процессов, решения ийтегральиого уравнения Винера—Хопфа, расчета моментов.

2.5.1. Алгоритм оценки стационарности и эргодично­ сти. Введение. Эта оценка осуществляется с целью про­ верки исходных предпосылок теории случайных функ­ ций. Если случайные функции удовлетворяют требова­ ниям стационарности и эргодичности, то в последующих расчетах можно пользоваться более простым математи­

ческим аппаратом (см. приложение 2). Известно, что реальные химико-технологические объекты не могут полностью удовлетворять требованиям стационарности и эргодичности, поэтому задачу оценки необходимо фор­ мулировать так: в какой мере свойства объекта отвеча­ ют требованиям стационарности и эргодичности?

Исходные данные. В результате наблюдения за объ­

Предполагается, что наблюдение возможно (объект оснащен приборам^) и получена достаточно длительная реализация.

Определение. Случайные функции обладают свойст­ вом стационарности, если все их статистические харак­

стики можно рассчитывать по одной достаточно длин­ ной реализации (а не по множеству реализаций).

Допущение J. Если исследуемые случайные процессы стационарны, то статистические характеристики, вычис­

эргодичность, т. е. тот факт, что средние значения слу­ чайных функций и квадратов случайных функций не за­ висят от времени.

Расчеты. 1. Реализация, например у (/), длиной Т (причем Т = N&t, где N — число участков разбиения реализации; Дt — интервал разбиения) делится на п частей так, чтобы каждую из них можно было считать независимой (рис. 2.3).

2.Вычисляются средние значения по i-ым частям^