Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн

Далее оценка проводится по (1.119), (1.131) и (2.23), (2.24). Табличное значение критерия Стыодента находят для f= N — (я+1) степеней свободы.

Принятие решений не отличается от предыдущего ал­ горитма.

2. 2. 3. Алгоритмы метода случайного баланса (сверх­ насыщенный план). Исходные данные те же, что и в пре­ дыдущих алгоритмах.

В плане эксперимента по методу случайного баланса исследуемые факторы варьируются на двух уровнях — верхнем и нижнем. Для построения матрицы планирова­ ния предлагается «чистый» случайный баланс, при кото­ ром распределение уровней в столбцах осуществляется по таблице случайных чисел, или случайное смешивание двух дробных планов ПФЭ. Один из возможных планов случайного баланса (случайное смешивание ДФЭ 25-1 и

N

26- 1) приведен в табл. 2.5. Условие ^ х и должно выпол-

и — 1

няться всегда. Этот"план может использоваться и для меньшего числа факторов.

Т а б л и ц а 2.5. План эксперимента

У

факторов или их взаимодействий. Выделение осуществ­ ляют визуально. Диаграммы рассеивания строят так: по оси абсцисс откладывают значения факторов для уров­ ней «+» и «—»,. а по оси ординат — значения выходной переменной (рис. 2. 2.).

В каждом столбце Xi диаграммы рассеивания разме­ щены все значения выходной ^переменной, которые раз­ биваются на две группы. Одна из групп соответствует тем опытам, где фактор был на нижнем уровне, другая— где фактор был на верхнем уровне.

Среди опытных данных на каждом уровне находят медиану Me. Медианой называется линия, по обе сторо­ ны которой находится одинаковое число точек. При не­ четном числе точек медиана проходит через среднюю точ­ ку. Разность между медианами ДМе двух уровней харак­ теризует качественное влияние фактора Xi на выходную переменную. Таким образом, построение диаграммы рас­ сеивания позволяет визуально по максимальному значе­ нию ДМе выделить наиболее значимые факторы. Для этой

и т. д. На рис. 2. 2 группы выделяющихся точек отмече­ ны фигурными скобками.

Примечание. Иногда в качестве критерия значимости факторов на диаграмме рассеивания используют произ­

ведение разности между медианами на число выделяю­ щихся точек

Последовательное выделение существенных факто­ ров. Для количественной оценки факторов нужно отде­ лить значимые факторы от незначимых. Процедура вы­ деления такова. Выбирают два-три фактора, имеющие максимальную разность между медианами или макси­ мальное число выделяющихся точек. Строят таблицу с тремя или двумя входами. Допустим, это будут факто­ ры хи х3, х4 (см. табл. 2. 5). В клетки табл. 2. 6 записы­ вают значения выходной переменной для различных ком­ бинаций уровней. Так, в первой клетке (слева/ вверху) записаны значения у4 и у и — те значения, которые полу­ чились, когда Хи х3, х4 были на верхнем уровне и т. д.

Вычисление линейных эффектов производят по форму­ лам, смысл которых ясен из уравнений

Оценки коэффициентов производят по формуле

Эф. Х{

(2.29)

Усреднение в-клетках таблицы приходится делать по­ тому, что в случайно организованном плане эксперимен­ та различным комбинациям уровня соответствует раз­ личное число наблюдений.

Если есть основания к изменению выходной перемен­ ной принять гипотезу нормального распределения, то зна­ чимость эффектов можно оценить по критерию Стыодента

где mi — число наблюдений в i-ой клетке таблицы; s2R —

г

значений у* этой же клетки.

Оценка значимости эффектов по критерию Стьюдента вследствие громоздкости расчетов проводится не все­ гда.

Корректировка исходного вектора матрицы плана.

После выделения эффектов проводят корректировку ис­ ходных данных матрицы плана. Для этого от всех yN в плане эксперимента, где факторы находятся на уров­ не «+», уменьшают на эф. х{. Получают новый вектор результатов эксперимента y lN , освобожденный от влия­

ния фактора Xi. Далее строится новая диаграмма рассеи­ вания и алгоритм повторяется.

Таким же образом производится отсеивание эффек­ тов парных взаимодействий.

Принятие решений. Процесс выделения существенных

факторов можно закончить, если выполняется условие

о

s2

о

(штрих у коэффициентов bi означает, что они ’имеют размерность). Окончательно получим линейное уравнение

Для определения коэффициентов b'., i= 0, 1, ..., m+1

можно использовать планы ПФЭ или ДФЭ и соответст­ вующие расчеты по алгоритмам 1. 5.

Замечание. Переход от коэффициентов 6,-, получен­ ных по планам ПФЭ или ДФЭ с кодированными факто­ рами, к коэффициентам Ь'., имеющим размерность, осу­

ществляется по формулам

где AXi — интервал варьирования факторов; Хц>— нуле­

вой уровень факторов (см. (1. 127) и (1. 128)).

2. 3. 2. Алгоритм линеаризации кинетики процессов (частный случай). Исходные данные. Предполагается,

что кинетика исследуемого процесса может быть описа­ на дифференциальным уравнением первого порядка

скорости реакции; t — длительность реакции.

Константа скорости реакции в исследуемом диапазо­

Используя планы ПФЭ или ДФЭ, можно определить константу скорости k или длительность реакции в зави­ симости от режимных параметров (скоростей потоков, температуры исходных продуктов и т.-д.).

2.3.3. Алгоритм определения кинетических констант по дифференциальным уравнениям. Исходные данные.

Известен механизм химической реакции. В соответствии с этим механизмом может быть записана система кине­

Известны также начальные условия: t = 0; с0 = А. Константы скоростей реакций можвно определять из

условия минимума функционала

концентраций веществ во времени, полученные числен­ ным интегрированием уравнения (2.39)

лТ

Исходные данные. Кинетика химических реакций описы­ вается системой обыкновенных дифференциальных урав­ нений, содержащих в правой ча£ти суммы членов поли­ номов, линейных взаимодействий и квадратичных — по концентрациям реагирующих веществ. Необходимо опре­ делить константы скоростей реакций, которые в данном случае можно интерпретировать как линейные коэффи­ циенты ,bi (константы скоростей реакций первого поряд­ ка), как коэффициенты взаимодействий bij (константы скоростей реакций смешанного второго порядка), как квадратичные коэффициенты Ьц (константы скоростей реакций второго порядка).

План эксперимента разрабатывается так, чтобы по­ лученные результаты позволили найти независимые оценки всех коэффициентов уравнения регрессии. Это может быть ПФЭ (ДФЭ), есЛи в правой части системы кинетических уравнений имеются только линейные чле­ ны (концентрации) или их взаимодействия; или планы второго порядка (ЦКОП), если имеются реакции второ­ го порядка.

Примечание. Помимо констант скоростей реакций, определяемых экспериментально, возможна оценка пред­ ложенного механизма реакций по адекватности уравне­ ний регрессии.

Расчеты по рассмотренному методу не отличаются от алгоритмов ПФЭ или ЦКОП (1.5.1, 1.6.1), однако в рас­ четах присутствуют некоторые операции, характерные для кинетических исследований (см. гл. 4).

Принятие решений связано с оценкой адекватности системы уравнений, т. е. с адекватностью предложен­ ного механизма реакций.

2.4. Методы выбора моделей химических процессов

Введение. В. В. Налимов и Т. И. Голикова пишут, что развитие математической теории эксперимента нача­ лось с решения вопроса о .хороших оценках, хорошем эксперименте, а теперь возникла новая проблема— что

есть хорошая модель? Зачем предлагать модели, для которых заведомо нельзя получить хороших оценок? Действительно, интерес к качеству моделей сейчас неиз­ меримо возрос. В этом разделе рассмотрено несколько методов сравнения моделей и постановки эксперимента в области наибольшего их различия. Вследствие отсут­ ствия отработанного и. проверенного материала по этим задачам изложение этих методов не алгоритмизировано

ине подкреплено примерами.

2.4.1.Метод выбора модели процесса по взвешенным суммам квадратов отклонений. Для простоты изложения ограничимся двумя конкурирующими моделями:

ные суммы квадратов отклонений можно рассчитать по формулам

где в*, в 2 — оценки параметров моделей, полученные

по N измерениям (о методах оценок парамётров см. 2.5). Если 5, и S2 сильно отличаются друг от друга, то сравнение можно производить по критерию Фишера.

При условии

выбирается модель, имеющая меньшую значимую сумму

ласти экспериментирования, где ожидается наибольшая разница Si) и повторить все расчеты и оценки. Процеду­ ра повторяется до получения значимой разницы между суммами квадратов отклонений.