Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн
..pdfГ л а в а 1
ОСНОВНЫЕ АЛГОРИТМЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
1. 1. Дисперсионный анализ
Введение. Задачей дисперсионного анализа является исследование влияния различных факторов, на жменчивость^средних значетшй~на'5л10даемых-случайных вели чин. План дйсгГефШбнного анализа предполагает прове дение эксперимента, позволяющее разложить сложную дисперсию на составляющие (при выполнении гипотезы об аддитивности дисперсий изучаемой случайной величи ны). Далее полученные дисперсии оцениваются по опре деленному критерию. Наиболее удобно и оправдано сравнивать полученные дисперсии с ошибкой опытных данных, которую получают по параллельным опытам на каждом (или на некоторых) уровне факторов.
1.1.1. Алгоритм однофакторного дисперсионного ана лиза. Исходные данные. Необходимо выяснить влияние фактора А на выходную переменную у. Предполагается, что результаты наблюдений можно представить мо делью
у\з = У + аг + ец (/ = 1, 2, |
, т, i = 1, 2, .,/?), |
(1.1) |
где у — суммарный эффект во всех опытах (среднее зна чение); ai — эффект фактора А на i-ом уровне; ец — ошибка измерения на £-ом уровне; т — число параллель ных опытов; р — число уровней фактора А.
Очевидно, общее число опытов
N = ^ m i |
(1.2) |
f=i |
|
или при одинаковом числе параллельных опытов |
|
N = рт. |
(1.3) |
Предполагается, что закон распределения случайной величины нормальный, а рассеяние опытов на каждом уровне фактора А не превышает-некоторой величины или дисперсии на каждом уровне однородны.
План эксперимента и подготовительные расчеты пред ставлены в табл. 1.1.
Т а б л и ц а 1.1. Результаты расчетов при однофакторном дисперси онном анализе
Расчет средних:
1
|
|
— общее среднее; |
(1.4) |
|
|
у ~ т г i=i j=i |
|
— |
1 |
m»’ |
(1.5) |
ifi = |
------ V |
tjij — среднее по уровням фактора Л (строкам). |
Расчет сумм квадратов отклонений. Сумма квадратов отклонений, связанная с рассеиванием относительно об щего среднего:
5ост % £ { у ч - у ) г\ |
( 1.6) |
1 = 1 1 = 1 |
|
сумма квадратов отклонений, связанная с рассеиванием между уровнями фактора А (междууровневая):
= I] ";<(</!-7/)2; |
(>7) |
1=1 |
|
сумма квадратов отклонений, связанная с рассеиванием внутри выборки по уровням (внутриуровневая):
SR = SOCT — SAJ |
(1-8) |
сумма квадратов отклонений, связанная с рассеиванием по параллельным опытам на t-ом уровне:
т. |
|
S<= 2 (JW-?<)*• |
(1-9) |
J=i |
|
>Расчет дисперсий. Рассчитанные суммы имеют соот ветственно следующие степени свободы /:
fa = N - p = * p ( m - 1); |
(1.10) |
|
/ост = |
N — 1; |
(1.11) |
и = |
р - 1; |
(1.12) |
f( = mi — 1. |
(1.13) |
|
Из условия (1.8)
N — p = N — \— ( p — \),
т. е. получается тождество. Рассчитаем дисперсии:
2 |
|
— дисперсия фактора А\ |
(1-14) |
S A '= SA![A |
|||
2 |
SOCT/N — 1 |
— остаточная дисперсия; |
(1-15) |
SQCT = |
|||
2 |
SrIN — р — ошибка опыта (дисперсия |
(1-16) |
|
SR = |
|||
|
|
воспроизводимости); |
|
|
2 |
— дисперсия параллельных |
(1.17) |
|
Si = Si/fi |
||
опытов на t-ом уровне.
Проверка однородности дисперсий. Однородность дисперсий на каждом уровне фактора А можно прове рить по критерию Кохрена, расчетное значение которого определяют по уравнению:
G = Si max j |
(1.18) |
i«=l
где s2imax— максимальная из рассчитанных дисперсий
параллельных опытов (построчных дисперсий, см. табл.
V
1.1); 2 s2.— сумма всех дисперсий по уровням факто- i= iг
ра А.
Если выполняется условие
C p < G T |
(fi = rtii — 1, |
h = p, |
q = |
0,05), |
(1.19) |
||
то гипотеза об |
однородности |
дисперсий |
правомерна. |
||||
GT находят по таблице критерия Кохрена для степеней |
|||||||
свободы fi (максимальная |
дисперсия), |
/2 |
(число |
уров |
|||
ней) и заданного |
уровня |
значимости |
q. |
В технических |
|||
расчетах принят 5%-ный уровень значимости.
Оценка различия дисперсий. Строится отношение ди сперсий фактора А к ошибке опыта и получается расчет ное значение критерия Фишера Fp:
—“ — == Fp. |
(1.20) |
s2 |
|
R |
|
Принятие решений. |
Если расчетное |
значение |
крите |
рия Фишера |
|
|
|
F p > F T (/а == р |
1» [R = p(tn — 1), |
0,05) |
(1.21) |
(FT — табличное значение критерия Фишера для степе ней свободы fAt /я и заданного уровня значимости q), то влияние уровней фактора А существенно. Условие (1.20) означает, что влияние фактора А , разделенного по уров ням, превышает уровень ошибки опытных данных.
Результаты однофакторного дисперсионного анализа удобно представить в виде табл. 1.2, где расчет произво дился по преобразованным формулам (1.6), (1.7) и (1.8).
1.1.2. Алгоритм двухфакторного дисперсионного ана лиза. Исходные данные. Необходимо выяснить влияние двух факторов на некоторую выходную переменную (функцию отклика). Предполагается, что исследуется влияние факторов А и В, варьируемых на р- и 6-ом уров нях соответственно. Математическая модель эксперимен та следующая:
л |
- |
♦ |
р, j = 1, 2, |
k), (1.22) |
Уи = |
У + cti + |
Pj + ец (L = 1, 2, |
где а г и Pj — эффекты факторов А и В соответственно на i- и /-ом уровнях; у — суммарный эффект факторов во всех опытах; ец — ошибка измерения (помеха), имею щая нормальное распределение, нулевое математическое ожидание и определенную дисперсию. Общее число опы тов при однократных наблюдениях
N = p — k. |
(1.23) |
Расчетные |
формулы и значения |
|
Источник |
|
|
изменчивостн |
/ |
|
S |
F P |
Между |
|
s2 |
2 |
уровнями |
5 Л= ^ n i i t f i — N t f |
p — 1 S Л |
SA |
P — 1 |
|||
фактора |
i= l |
|
il |
|
V |
|
|
Внутри |
i= l |
j= i |
|
уровней |
|||
фактора |
P |
- 2 |
|
|
i— 1 |
|
|
|
|
p |
m i |
|
S OCT = ^ |
^ |
У |
|
1 = 1 j= t |
||
p (m — l ) nZ9 |
--- . SR |
n |
p ( m — 1) |
2 _
и — N y 2 N — 1
План эксперимента и некоторые расчеты сумм и сред них представлены в табл. 1.3.
Т а б л и ц а 1.3. План эксперимента и расчеты при двухфакторном дисперсионном анализе
|
Уровни фактора |
В |
Средние по |
|
|
1, 2, |
, |
k |
строкам |
Уровни фактора A |
|
|
|
|
1 |
У 1i/12»• • |
У к |
|
У |
2 |
*/21#22, • • . , у7)1 |
|
У2 |
|
P |
Ур\Ур2, • . . , */pft |
|
7р |
|
Средние по столбцам |
i/ll/2, |
, уй |
|
Общее сред |
|
нее |
|||
Расчет средних. Можно получить следующие выбо рочные средние:
- |
1 |
ft |
yi = |
|
~ сРеДнее по строкам; |
|
|
Л з=1 |
- |
1 |
р |
Уз = |
--- У! </ij — среднее по столбцам; |
|
РPi
=1 V h
У = • |
2 |
^ |
общее среднее. |
Р |
i=i j=i |
|
|
Расчет сумм квадратов отклонений:
SA = |
k ^ i (yi —’y ) 2-, |
|
|
1= 1 |
|
s a = |
(Уз —~у)2; |
|
5ост = |
2 2 |
— У)2; |
|
i= l j=l |
|
— SQCT— SA — SB— |
(i/fj — yi — yj + y)2. |
|
|
i=i j=i |
|
Расчет дисперсий. Рассчитанные суммы 5 A , имеют следующие степени свободы:
U = р — 1;
fa = k - U
Ы = ( р - 1) (А— 1).
(1.24)
(1.25)
(1.26)
(1.27)
(1.28)
(1.29)
(1.30)
Д в,
(1.31)
(1.32)
(1.33)
Тогда дисперсии можно рассчитывать по формулам:
&а |
II Со |
(1.34)
SB = Ss/fBl |
(1.35) |
Sn = Sn/fn. |
(1.36) |
Оценка отношений дисперсий. Строятся отношения дисперсий факторов А п В к ошибке опыта и получаются расчетные значения критерия Фишера:
2 |
2 |
|
SA |
SR |
(1.37) |
Ррл = — — ; FpB = |
— — • |
|
S R |
S R |
|
Принятие решений. Если расчетные значения крите рия Фишера
FpA или FpB > FT (/а = р — 1, или
/в = k — 1, fR = ( р - 1) ( k — 1), q = 0,05), |
(1.38) |
(FT — табличное значение критерия Фишера для степе ней свободы fA или fB и заданного уровня значимости q), то влияние факторов А и В на выходную переменную су щественно (при выбранных р- и &-ом уровнях).
Результаты и расчеты двухфакторного дисперсионно го анализа удобно представить в виде табл. 1.4.
Примечание. Линейная модель (1.22) справедлива, если между факторами А и В отсутствует взаимодейст вие, т. е. дисперсия s2AB= 0. Если такое взаимодействие
имеется, то s2AB входит в дисперсию ошибки опыта s2R и
выделить ее можно только при наличии параллельных опытов по уровням факторов А и В. Такой алгоритм хотя принципиально и не отличается от приведенного выше, но имеет особенности.
1.1.3. Алгоритм дисперсионного анализа при исполь зовании схемы латинского квадрата. Введение. В преды дущих алгоритмах число необходимых опытов определя лось произведением уровней исследуемых факторов. Ес ли предположить, что число уровней одинаково, то в двухфакторном дисперсионном анализе необходимо про вести N = p 2 (при p = k ) опытов. Все возможные сочета ния уровней и факторов дают так называемый п о л н ы й ф а к т о р н ы й э к с п е р и м е н т (ПФЭ). Так, для двухфакторного дисперсионного анализа ДА на трех уровнях ПФЭ дает N = 32 = 9 опытов, для трехфакторно го ДА на трех уровнях ПФЭ. дает N = 3*= 27 опытов
и т. д.
Возможно сокращение количества опытов и исполь зование д р о б н о г о ф а к т о р н о г о э к с п е р и м е н та (ДФЭ). Количество опытов в дисперсионном анали-
Источник
изменчивости
Фактор А
Фактор В
Ошибка
опыта
Расчетные формулы и значения
|
|
|
5 |
|
|
|
|
Р |
2 |
|
|
|
1 |
|
— pktf |
|
|
|
|
SB = |
|
|
У?— |
|
|
|
j= i |
|
|
— pky2 |
|
|
||
|
P |
h |
|
|
s * = |
E |
|
2 > i - |
|
|
i= i j= |
1 |
||
|
P—o |
|
||
- A |
2 |
> |
- |
|
|
1 = 1 |
|
|
|
P 2 ] |
m + |
pky2 |
||
3= 1 |
|
|
||
5 0CT = |
SA + |
SB + |
||
+ 5д |
|
|
|
|
/ |
|
|
F |
|
|
2 |
|
p - 1 |
2 |
SA |
— FpA |
6’A |
S2 |
||
|
|
11 |
|
|
|
2 |
|
k — \ |
2 |
SB |
= FpB |
|
SB |
|
|
в
(p— 1) (A— 1) |
2 |
2 |
SR = |
Sо |
pk --- 1
зе сокращается в l/р раз, если использовать в плане эк сперимента латинский квадрат.. Так, трехфакторный ДА
по плану ДФЭ даст всего — *33 = 9 опытов.
о
Определение. Л а т и н с к и м к в а д р а т о м н а з ы в а е т с я т а к а я к в а д р а т н а я м а т р и ц а р Х Р из р э л е м е н т о в , ч т о к а ж д ы й из э л е м е н т о в в с т р е ч а е т с я в к а ж д о й с т р о к е и к а ж
дом |
с т о л б ц е т о л ь к о |
о д и н |
раз . |
Из |
трех элементов образуется |
латинский квадрат |
|
3X3: |
|
|
|
|
ARC |
193 |
|
|
ВС А |
или 2 3 1; |
(1.39) |
|
С А В |
3 12 |
|
A B C D |
1 2 3 4 |
(1-40) |
B C D А или |
2 3 4 1 |
|
C D A B |
3 4 1 2 |
|
D А В С |
4 12 3. |
|
В дисперсионном анализе используются стандартные латинские квадраты [см. формулы (1.39), (1.40)], у ко торых первая строка и первый столбец построены в ал фавитном порядке (элементы — буквы) или в порядке натурального ряда (элементы — цифры). Способ построе ния таких квадратов — одношаговая циклическая пере становка.
Применение. К планированию эксперимента по схеме дисперсионного анализа с латинским квадратом прибе гают обычно при исследовании влияния на процесс трех дискретно-меняющихся факторов А, В, С. При этом фак торы Л и В могут быть связаны с переменными, а фак тор С — с помехами.
Исходные данные. Необходимо выяснить влияние трех источников изменчивости — факторов Л, В, С: фак тор Л — строка плана, фактор В — столбец плана, фак тор С — элемент плана. Результаты эксперимента мож но представить моделью
д
Уик = Ц + а, 4- (3j + у/, 4- а,р, -f- агул + Р,y/t -I- (Zif^y/i 4- Cijh, (1.41)
в которой имеются кроме линейных эффектов еще три парных эффекта и один тройной эффект взаимодействия факторов; вщ — ошибка с нормальным распределением. Если предположить, что взаимодействия факторов незна чимы, то результаты эксперимента можно представить моделью
tjijh — И 4- ct; 4- PJ 4- y/i 4- eijh, |
(1.42) |
где p = y — общий эффект во всех опытах; а ; — эффект фактора Л (строки); Pj — эффект фактора В (столб ца); ук — эффект фактора С (элемента квадрата).
План эксперимента без повторных опытов представ лен в табл. 1.5.
Расчет итогов по строкам Л,-, столбцам Bj и элемен там квадрата Ск:
А\ — У\ Уг 4* Уз. ^ 2 = У\ "Ь 1/5 -f- Уъ\ 4з = У~ -Ь Уз 4-1/9: 0*43)
Фактор |
В |
Фактор Л |
Итоги по |
строкам |
|
Ьх |
Ъя |
01 |
*1 |
С2 |
|
сг |
|
|
л, |
|
i/l |
|
У2 |
Уз |
|
||
|
|
|
|
|
|||
02 |
С2 |
Сг |
|
Cl |
|
|
л2 |
|
1/4 |
|
Уъ |
Уъ |
|
||
|
|
|
|
|
|||
0з |
Съ |
Ci |
|
С2 |
|
|
Лз |
|
1/7 |
|
1/8 |
1/9 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
Итоги по |
|
|
|
|
Вз |
|
|
столбцам |
|
в , |
в 2 |
|
Общий |
||
Итоги по |
|
|
|
|
|
итог |
|
|
Cl |
|
|
Сз |
|
|
|
элементам |
|
Сг |
|
|
|
||
В\ = |
У + </4 + |
<Ji', Вг — У2 + |
уъ + |
Уз; Вз = |
уз -Ь Уз + |
Уз', |
(1-44) |
Ci = |
</i+l/6+ Уз; С2 = уз + |
у4 + |
уз; С3 = |
у3 + у5+ у7. |
(1.45) |
||
Расчет суммы квадратов всех наблюдений: |
|
|
|||||
|
5, |
= |
= |
£(</.•;*)2. |
|
(1.46) |
|
|
|
i=l ;=1 |
|
1=1 |
|
|
|
Расчет сумм квадратов итогов по строкам, столбцам и элементам квадрата, деленных на соответствующее число элементов:
|
1 |
р |
.2 |
(1.47) |
s2= — |
T . A i ; |
|||
|
р £ |
|
|
|
S3 = |
— |
£ |
в г , |
(1-48) |
|
Р |
|
|
|
S4 = |
— |
У . d . |
(1.49) |
|
Р £ 1