Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн
..pdfплана). Из формулы (1. 158) вытекает, что предлагаемые планы (при п > 2 ) экономичнее планов на трех уровнях (обычно N0 = Г),
Большим преимуществом таких планов является то, что их можно получать из планов 2п. Для построения ис пользуется план 2 П, линейная модель по которому при поиске области оптимума оказалась неадекватной. Все проведенные эксперименты остаются, а план пополняется определенным количеством специально подобранных «звездных» точек. Отметим, что дробная' реплика преды дущего плана в новом плане дополняется до полного факторного эксперимента, если /г^.'4; при п > 4 возможно использование дробных реплик. Организованные таким
образом планы называются ц е н т р а л ь н ы м и |
и ком |
|||||||
п о з и ц и о н н ы м и . |
Общий |
вид |
плана |
приведен в |
||||
табл. 1 . 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
1.11. План эксперимента |
|
|||||
|
|
|
|
План |
|
|
|
|
Номер |
*о' |
|
|
|
|
2 |
2 |
Выходная |
опыта |
*1 |
*2 |
*1 |
*2 |
переменная |
|||
|
|
*1 |
*2 |
|
||||
1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ |
1 |
+ 1 |
+ 1 |
l/i |
2 |
+ 1 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
У2 |
|
3 |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
- 1 |
|
+ 1 |
+ 1 |
1/3 |
4 |
+ 1 |
- 1 |
— 1 |
+ |
1 |
+ 1 |
+ 1 |
1/4 |
5 |
+ 1 |
+ “ |
0 |
|
0 |
|
0 |
1/5 |
6 |
+ 1 |
— а |
0 |
|
0 |
CZ3 |
0 |
1/6 |
7 |
+ 1 |
0 |
+ а |
|
0 |
0 |
0? |
У7 |
8 |
+ 1 |
0 |
— а |
|
0 |
0 |
а3 |
1/8 |
9 |
+ 1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1/9 |
Выбор плеча «звездных» точек и числа нулевых точек зависит от критерия оптимальности плана. В инженер ной практике широко применяются ортогональные и ротатабельные планы второго порядка.
1. 6. 1. Алгоритм ортогонального плана второго поряд ка (ЦКОП). Исходные данные. Имеется план ПФЭ 2П. Математическая модель, полученная по этому плдну, неадекватная. Условия (1.126) остаются прежними.
Кодирование. Для получения ортогональных планов второго порядка необходимо провести некоторое преоб разование столбцов квадратичных переменных и столб-
да х0. Это вызвано неортогональностью указанных столб цов матрицы планирования (см. табл. 1 .1 1 ), поскольку
N |
|
i |
(1.159) |
^XouXiu^Q; |
|||
|
2 |
2 |
(1.160) |
2 |
XiuXju Ф 0 . |
||
и=1
Неравенства справедливы, поскольку значения в столбцах х0 и х2. всегда положительны. Заметим, что в
ортогональных планах на количество нулевых точек обычно не накладывают никаких условий, поэтому N0 принимают равным единице.
Для ортогональности исходного плана введем преоб разование
|
хС, —= хJC2“, — |
1 |
|
VУ , |
х2X1,,' = |
х2х] —~**2х2, , |
(1.161) |
|
|
i ~ 1 |
~КГ |
|
х 1и — Л1 xi |
|
|||
тогда |
|
|
/V и= |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
' |
N |
|
|
N |
|
|
|
2 |
х ш х 1и = |
2 |
|
Х ои х 1 — 2 |
* 0 и х \ = |
° - |
||
и = 1 |
и = |
1 |
|
|
и = 1 |
|
||
Если приравнять недиагональный элемент ковариционной матрицы (ХТХ)~1нулю и решить его относительно а, то можно найти его значение, организующее ортогональ ность столбцов х2. (значения а для различных п приведе
ны в табл. 1 . 1 2 ) .
Т а б л и ц а 1.12. Величина плеча для ортогональных планов второго порядка
|
|
Число независимых факторов |
|
|
Наименование |
|
|
|
|
элементов плана |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
||||
Ядро плана |
23 |
23 |
24 |
25-1 • |
|
||||
а |
1,00 |
1,215 |
1,414 |
1,547 |
План эксперимента. Ортогональная матрица компо зиционного плана для п = 2 приведена в табл. 1. 13. Зна
чения х' находятся по формуле (1 . 161)
1 — 6/э = % или 0 ■— 6/э = —2/з.
Номер |
|
|
|
План |
Расчетная матрица |
|
||
*0 |
|
|
|
|
|
t |
Выходная |
|
опыта |
|
|
|
|
9 |
переменная |
||
|
|
|
|
*2 |
х х х г |
х. |
X2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ i |
+ |
1 |
+ 1 |
1/3 |
1/3 |
1/3 |
У |
2 |
+ i |
+ 1 |
- 1 |
1/3 |
1/3 |
1/3 |
У2 |
|
3 |
+ i |
—1 |
+ 1 |
1/3 |
1/3 |
1/3 |
Уг |
|
4 |
+ i |
—1 |
—1 |
1/3 |
1/3 |
1/3 |
Уа |
|
5 |
+ 1 |
|
0 |
+ 1 |
1/3 |
1/3 |
- 2 /3 |
Уь |
6 |
+ i |
|
0 |
-*1 |
1/3 |
1/3 |
- 2 /3 |
Уб |
7 |
+ 1 |
+ 1 |
0 |
- 2 /3 |
- 2 /3 |
1/3 |
У7 |
|
8 |
+ i |
—1 |
0 |
—2/3 |
- 2 /3 |
1/3 |
Ув |
|
9 |
+ 1 |
' |
0 |
0 |
—2/3 |
- 2 /3 |
- 2 /3 |
У9 |
Ортогональная матрица композиционного плана для н = 3 приведена в табл. 1.14. Значения х'. находят по
формуле (1 . 161)
1 — 10,94/15 -- - 1 — 0,73, или 0 — 0,73 = —0,73.
Расчет коэффициентов регрессии осуществляется в соответствии с методом наименьших квадратов (см. 1.4.1). Коэффициенты и их дисперсии можно также рассчитывать по формулам
1 |
N |
(U 62) |
|
" |
и= 1 |
||
|
|||
N |
|
|
|
2 |
х1иУи |
|
|
bi = - * = ! ---------; |
(1.163) |
||
2 |
хш |
|
и= 1 |
|
|
N |
|
|
2 |
Х1иХ]иУи |
|
Ъц - |
---------------; |
(1.164) |
2 |
(xiuxju)3 |
|
и=1 |
|
|
N |
|
|
2 |
х1иУи |
|
1 > и = ^ ----------- ; |
(1.165) |
|
Ц= 1
|
|
|
|
План |
|
|
|
Расчетная |
матрица |
|
|
|
Номер |
*0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выходная |
|
опыта |
|
|
хш |
*1 |
X1 |
Xа |
Х \ Х % |
x xxt t |
ХхХя |
перемен |
||
|
|
|
|
|
ная |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
1 |
+ 1 |
+ i |
+1 |
+ 1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
+1 |
+ 1 |
+1 |
У\ |
|
2 |
+ 1 |
—1 |
+ i |
+1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
—1 |
—1 |
+ 1 |
У2 |
|
3 |
+ 1 |
+ i |
—1 |
+1 |
0,27- |
0,27 |
0,27 |
—1 |
+1 |
—1 |
Уъ |
|
4 |
+ i |
—1 |
—1 |
+ 1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
+1 |
—1 |
—1 |
Уа |
|
5 |
+1 |
+ i |
+ i |
—1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
+1 |
—1 |
- 1 |
У5 |
|
6 |
+ |
i |
—1 |
+1 |
—1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
—1 |
+1 |
—1 |
Уб |
7 |
+ |
i |
+ 1 |
—1 |
, —1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
—1 |
—1 |
+1 |
У7 |
8 |
+ |
i |
—1 |
—1 |
—1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
+1 |
+1 |
+1 |
У* |
9 |
+ |
i |
1,215 |
0 |
0 |
0,746 |
—0,73 |
—0,73 |
0 |
0 |
0 |
У9 |
10 |
+ |
i |
—1,215 |
0 |
0 |
0,746 |
-0,73 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
•У\о |
11 |
+ |
i |
0 |
1,215 |
0 |
—0,73 |
—0,746 |
—0,73 |
0 |
0 |
0 |
Уп |
12 |
+1 |
0 |
—1,215 |
0 |
—0,73 |
—0,746 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
у \ 2 |
|
13 |
+ |
i |
0 |
0 |
1,215 |
—0,73 |
—0,73 |
0,746 |
0 |
0 |
0 |
У\г |
14 |
+ |
i |
0 |
0 |
—1,215 |
—0,73 |
-0,73 |
0,746 |
0 |
0 |
0 |
Уи |
15 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
—0,73 |
-0,73 |
-0,73 |
0 |
0 |
0 |
У\ь |
|
(1.166)
(1.167)
|
2 |
(XiUXjll)2 |
(1.168) |
|
w- 1 |
|
|
|
N |
(1.169) |
|
|
|
||
|
2 |
(*'i)2 |
|
|
u~1 |
|
|
где s20— ошибка опыта, |
известная по |
полному фактор |
|
ному эксперименту. |
|
|
|
Дисперсия величины |
оценивается |
по уравнению |
|
Оценка значимости коэффициентов проводится по критерию Стьюдента (см. (1.90)), а решения прини маются в соответствии с (1.91). Благодаря ортого нальности плана после отбрасывания незначимых коэф фициентов оставшиеся не пересчитываются.
Проверка адекватности уравнения регрессии осуще
ствляется расчетом S0CT сначала по формуле (1. 92) и
далее по формулам (1.93), (1.94), (1.95).
л
Значение уи определяется по уравнению
У = |
b о + Ьхх х+ |
• • • + |
Ьпх п + |
Ь{оХхх 2+ ••• + |
|
|
+ |
хп + |
Ьп(х\ — х \ |
) Ь Ьпп ( х<1п |
хп^ (^-^1 ) |
||
или |
|
|
|
|
|
|
у = |
Ь о + Ь \ Х \ |
+ |
+ |
ЬпХп + |
&12*1*2 + ••• + |
|
|
Ьп-1, п Xn—lXn Н" |
+ |
... + Ьппх\ |
(1.172) |
||
Переход от (1. 171) к (1. 172) осуществляется ра счетом величины свободного члена по уравнению
Ь0 = Ь/0— Ь1^ — ...~ Ь ппх1, |
(1.173) |
где
X2 = х 2— х'
г i i
Принятие решений “осуществляется в соответствии с (1.96).
1 . 6 . 2 . Алгоритм ротатабельности плана второго по рядка (ЦКРП).Исходные данные те же, что и в алго ритме ЦКОП 1. 6 . 1.
Кодирование и основы построения плана. Построение ротатабельности планов второго порядка — сложная математическая задача, требующая доказательства не скольких теорем. Воспользуемся результатами исследо ваний, где предлагается условия ротатабельности зада вать уравнениями
**2
2 ] |
Xiu = |
NX2, |
i = |
1,2, |
..., |
п\ |
|
u = |
i |
|
|
|
|
|
|
2 3 |
Хы = |
з 2 3 |
x t u X j u |
- 3N X i |
(1174) |
||
u = 1 |
u = l |
|
|
|
|
|
|
|
(i Ф j, |
i, |
j = |
1 , |
2 , ..., |
n), |
|
где n — число факторов; N — число опытов; Х2 и Л4 — некоторые константы, связанные неравенством
7ч п
(1.175)
7.2ti-|- 2
которое является условием невырожденности информа ционной матрицы (Х ТХ ).
Если ввести несколько точек на сфере с нулевым ра диусом, т. е. несколько точек в центре плана No, то можно рассчитать параметр
n(N0 + N,)
(,п + |
(1.176) |
2 )Ni |
|
где N1 ; N — Nо, и усилить |
неравенство (1.175), по- |
скольку |
|
п |
|
и > |
(1.177) |
ti 2 |
«Звездные» точки ротатабельности планов строят на осях координат факторов с величиной звездного плеча а, рассчитанного по формуле
а = 2П/4, |
(1.178) |
адля дробного факторного эксперимента
п- р
а = 2 2 |
(1.179) |
где п — число факторов; р — определяет дробность реп лики (р = 1 — полуреплика, р = 2 — четверть реплики и т. д.).
Выбор а, числа «звездных» и числа нулевых точек удобно делать по табл. 1. 15.
Т а б л и ц а 1.15. Параметры ротатабельных планов второго порядка
|
|
ПФЭ 2п |
|
|
ДФЭ 2п~р |
||||
Наименование элементов плана |
п=2 |
п= 3 |
|
/2=4 |
|
/2=5 |
|
п=Ъ |
|
|
|
|
|
||||||
Число опытов в ядре мат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рицы |
22 = 4 |
2 е,= 6 |
2 |
4= |
16 |
2б = 32 |
2 5 - |
1 = |
16 |
Число «звездных» точек |
4 |
6 |
|
8 |
|
1 0 |
|
1 0 |
|
Число нулевых точек |
5 |
6 |
|
7 |
|
1 0 |
|
6 |
|
Значение а |
1,414 |
1,682 |
2 |
, 0 0 |
0 |
2,378 |
2 |
, 0 0 |
0 |
План эксперимента совпадает с ЦКОП, но при дру гих значениях параметров a, N0 (см. табл. 1 . 1 1 ).
Расчет коэффициентов регрессии. Обработка резуль татов реализации планов второго порядка требует в це лом значительной вычислительной работы и лучше все го ее проводить на ЭЦВМ по формуле (1. 103).
Специфический характер матрицы (ХТХ) для ЦКРП позволяет получить общие формулы для расчета коэф фициентов. Основная задача вычислительной машины в этом случае — выдача на печать следующих элементов обращенной матрицы:
N |
|
N |
|
|
2 уи= |
(о#).. |
2 |
Х1иУи = |
|
и- 1 |
|
и= 1 |
|
|
2 Х1иУ“ |
(/70)» |
2 |
Х1и?]иУи = (УУ)- |
(1.180) |
« = 1 |
|
И- |
1 |
|
Если обозначить
-П--------- = С , (1.181)
2Х4[(л + 2)Х4 — п]
2 W .
то с учетом (1. 176), (1. 180) и (1. 181) коэффициенты
регрессии можно определить по формулам |
|
|
||||
, |
|
|
N |
|
|
|
*о = 4 |
[2X2 (д + 2)(0у) - 2Х4С ^ |
Ш |
\ \ |
(1-182) |
||
14 |
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
= |
(<</); |
|
|
(Ы83) |
Ъи = 4-{С *[(Л + |
2)Х4 - n](iiy) + |
<7(1 - Х4)} 2 |
т у , |
(1-184) |
||
™ |
|
|
|
1=1 |
|
|
|
bij = |
|
(ЧУ)- |
|
|
(1-185) |
Для п = 3 приведенные формулы имеют вид |
|
|
||||
Ь0 = 0,1633(0*/) — 0,05679 |
(***/); |
|
1.186) |
|||
|
bt = |
0,07322(1»; |
|
|
(1.187) |
|
Ь ц = 0,0625 |
(Ну) + |
0,06889 (***/) — 0,05679(0*/); |
(1.188) |
|||
|
bi5 = |
0,125 (ijy). |
|
|
(1.189) |
|
Оценка значимости коэффициентов регрессии. Дис персии для коэффициентов регрессии рассчитываются по формулам
sz = ■ 2АК^(п + |
2) So |
(1.190) |
|
N |
|
|
|
|
|
(1.191) |
|
А [ ( п + 1)X4— (n— l)]C2so |
(1.192) |
||
N |
|||
|
|||
C2s02 |
|
(1.193) |
|
NX4 |
’ |
||
|
|||
где s20— дисперсия опыта.
Оценка значимости коэффициентов регрессии прово дится так же, как и в ЦК.ОП.
Принятие решений. Если незначимым оказался один из квадратичных эффектов, то после его исключения уравнение регрессии необходимо посчитать заново (это связано с неортогональностью квадратичных столбцов матрицы планирования). Остальные незначимые коэф фициенты упускаются без пересчета уравнения.
Проверка адекватности уравнения регрессии. Преоб разования ротатабельного плана несколько изменили формулы расчета дисперсий.
Так, сумму квадратов отклонений в центре плана можно подсчитать по формуле
|
So = ^ (Уок— Уо),!о = Мо— 1, |
(1-94) |
|
Ь= 1 |
|
где |
f0— число степеней свободы этой |
суммы; k = |
= |
1 , 2 ,..., W0. |
|
Дисперсия опыта получается делением суммы (1 . 194) на /0:
sj = SQ/NO— 1. |
(1.195) |
Остаточная сумма квадратов вычисляется так:
|
SOCT = £ ( у и - у и ) \ f0c* = N — |
(П +2^П + — , |
(1.196) |
|
U=l |
|
|
ИЛИ |
S OCT = (уу) — ь0(0у) + J^bi(iy) + ^biiiijy). |
(1.197) |
|
|
i=l |
i<j |
|
Сумма квадратов 5ад, оценивающая адекватность мо дели, подсчитывается по формуле
SaH= SocT-50, /ад = ЛГ------ |
(» + 2)(*+1) (#„+!), (1.198) |
Расчетное значение критерия Фишера, как и ранее, формируют как отношение дисперсии адекватности к дисперсии опыта (1. 94) и (1 . 95) и сравнивают с таблич ными значениями FT для степеней свободы /ад и / 0 по из вестным равенствам (см. (1.96)).
Принятие решений. Если условие ( 1 . 96) не выполня ется, то нелинейная модель, полуденная по плану ЦКРП, неадекватна. В этом случае требуется изменение поряд ка полинома (переход к полиному третьего порядка), добавление факторов в уравнение регрессии или тщатель ный анализ ошибок в эксперименте (получающихся, на пример, вследствие временного дрейфа).
Г л а в а 2
СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ЗАДАЧ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА
2.1. Факторный эксперимент при изучении смесевых систем
Введение. Задача факторного эксперимента при изу чении смесевых систем не отличается от задачи фактор ного эксперимента второго порядка, изложенной в 1 . 6 . Однако при изучении свойств смесей, зависящих только от соотношений компонентов, желательно учитывать условие
£ * г = 1 , |
(2 .1 ) |
i = 1 |
|
где Xi — относительные концентрации компонента
^0 ); п — количество компонентов ( п ^ 2 ) .
Условие (2. 1 ) не позволяет использовать планы ПФЭ и модели типа (1 . 97) — матрица (ХТХ)~1 оказывается вырожденной.
Шеффе ввел каноническую, форму полинома степе ни п:
у = 2 |
Рю + 2 |
[ 2 |
- xj)m~2 ] + |
i= 1 |
m= 2 |
1< K K q |
|
|
P |
|
|
+ S t |
rs *i |
X Si 2. . . X Sm ) % |
1г im 19 |