Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн

где

Наиболее часто пользуются следующими приведен­ ными (каноническими) полиномами:

— полином второго порядка для трехкомпонентной смеси;

+Pl23*l*2*3

—полином неполного третьего порядка для трехкомпо­ нентной смеси;

+Pl23*l*2*3

—полином третьего порядка для трехкомпонентной смеси;

— полином четвертого порядка для трехкомпонентной смеси.

Пояснение. От стандартного полинома, например, вто­ рого порядка

д

к полиному Шеффе (2.3) переходят путем несложных преобразований условия

* 1 + * 2 + *з = 1

в условия

Тогда факторное пространство может быть представ­ лено симплексами с такой же системой координат. Пла­ нирование на симплексах осуществляется равномер­ ным разбросом экспериментальных точек. Получаются {/г,т) -решетки, где п — число компонентов смеси; т — порядок полинома. Примеры {3, т}-решеток с при­ нятыми обозначениями выходной переменной приведены на рис. 2 .1 .

2.1 , а).

2.1. 1. Алгоритм симплекс-решетчатых планов второ­ го порядка для трехкомпонентной смеси.Исходные дан­

ные. Имеется трехкомпонентная смесь. Необходимо по­ лучить зависимость некоторого свойства у от состава смеси в виде (2 . 3) и проверить ее адекватность.

План эксперимента для рассматриваемого случая приведен в табл. 2 . 1 .

В каждой точке решетки проводится одинаковое чис­ ло (/л) параллельных опытов.

Расчет коэффициентов уравнения. Расчет коэффици­ ентов возможен методом наименьших квадратов по урав­ нению P=(ArTAr) - 1 X TY .

Однако, учитывая, что план эксперимента насыщен (число неизвестных коэффициентов равно числу урав­ нений), несложными преобразованиями можно получить следующие расчетные уравнения:

Pij = 4*/ij — 2yi — 2yj} например, Р12 = ^У\2 — 2у[ — 2у2. (2.11)

Проверка адекватности уравнения. Учитывая, что план эксперимента насыщенный, проверка адекватности по критерию Фишера (см. (1.92) — (1.96)) невозможна. Для проверки адекватности необходимо выбрать не­ сколько дополнительных точек плана, провести в них эксперимент и изучить разность между эксперименталь­ ным значением и полученным по уравнению. Эти точки выбирают либо в интересующей исследователя области, либо в точках, которые можно использовать для построе­ ния полинома более высокого порядка. Для получения дисперсии адекватности можно применять уравнение остаточной суммы

*

менной в дополнительных проверочных точках; уи — значения выходной переменной для условий Хэ провероч­ ных точек, полученных по уравнению; g — число прове­ рочных точек; /ад — дисперсия адекватности.

Если g>2, то адекватность можно проверять по кри­ терию Фишера (см. (1.94), (1.95), а ошибку опыта s2

при равном числе параллельных опытов m рассчитать по формулам (1. 138) — (1. 141) (условие однородности дисперсий также необходимо проверять).

Если адекватность уравнения оценивается по одной проверочной точке, то удобнее пользоваться уравнения­ ми, приведенными ниже (их доказательство в [5]). Для оценки используется /-критерий:

где т — число параллельных опытов в каждой точке симплекса; разность Ду (между экспериментальным и теоретическим выходом)

сц = Хг(2х{ — 1); ац = 4 XiXj.

Ошибка опыта s2 определяется также по формулам

(1,138) —(1.141)..

Проверка адекватности производится по неравенству

к <7 = 0,05) (2.16)

для заданного уровня значимости; I — число коэффици­ ентов уравнения регрессии; /0 — число степеней свободы при определении ошибки опыта.

Примечание. В некоторых исследованиях, даже если число проверочных точек оценку адекватности урав­ нения регрессии проводят в каждой точке по формулам (2.13) — (2.16).

свойства непосредственно на симплексе. Графическое изображение зависимостей свойство — состав позволяет решать задачи интерполяции и оптимизации (конечно, если число компонентов в смеси не превышает четырех).

Примечание. Если исследуемая смесевая система не­ однородна, то возникают значительные трудности ее ма­ тематического описания (о методах преодолевания этих

трудностей см. [5]).

2. 1. 2. Алгоритм симплекс-решетчатых планов непол­ ного третьего порядка для трехкомпонентной смеси.

Исходные данные. Имеется трехкомпонентная смесь. Не­ обходимо получить зависимость некоторого свойства от состава смеси в виде (2. 4) и проверить ее адекватность.

План эксперимента для рассматриваемого случая представлен в табл. 2.2 (см. рис. 2.1, б). Как и ранее, предполагается, что параллельные опыты проводятся в каждой точке симплексной решетки.

Расчет коэффициентов уравнения для модели (2. 4) удобно проводить

Оценка адекватности уравнения регрессии осу­ ществляется по формулам (2. 13), (2. 15), (2. 16), а коэф­ фициент g определяется по формуле

При наличии параллельных опытов в каждой точке симплексной решетки ошибка опыта s2 определяется по

формулам (1. 138) — (1. 141).

Коэффициенты уц рассчитывают по формулам

Коэффициенты р^-Л рассчитываются по формулам

Оценка адекватности уравнения регрессии осуществ­ ляется по формулам (2. 13), (2. 14), (2. 16), а коэффици­ ент £ определяется по формуле

Ошибка опыта s120 определяется также по формулам (1. 138) — (1. 141).

Наличие смешанных оценок по этому плану для ре­ шения задачи отсеивания факторов не играет серьезной роли.

Расчет коэффициентов Ь0, Ьи ..., &*, и оценка значи­ мости факторов проводятся по алгоритмам 1. 5. 5 и 1. 5. 2 (в этом случае, естественно, достаточно провести парал­ лельные опыты в одной точке).

Принятие решений. Коэффициенты, для которых оказалось меньше tT (1.91) (/0= N0—1, q = 0,05), отно­ сят к «шумовому» фону, остальные — считают значимы­ ми. Иногда проверку значимости проводят по формуле, эквивалентной условию (1.91):

среднеквадратичное отклонение i-го коэффициента

(2.24)

В этом случае коэффициенты, не удовлетворяющие условию (2. 23), относятся к «шумовому» фону.

2. 2. 2. Алгоритм насыщенного плана Плакетта — Бер­ мана. Исходные данные те же, что и в предыдущем ал­ горитме.

План эксперимента и его построение. Плакеттом и Берманом были сконструированы ортогональные насы­ щенные планы, число экспериментов в которых кратно четырем:

Используя эти планы, можно исследовать объекты, имеющие (4р — 1) факторов. Такие планы более выгод­ ны, чем насыщенные планы ДФЭ, поскольку удовлетво­ ряют условиям исследования через четыре фактора.

Алгоритм построения планов следующий. Факторы изменяются на двух уровнях: +1 и —1.

Первая строка матрицы плана задается таблицей 2. 4, вторая и последующие строки получаются сдвигом всех элементов влево (или вправо) и перестановкой крайнего элемента на образовавшееся свободное место с другой стороны строки. Получаются одинаковые знаки по диа­ гоналям матрицы. Этот процесс повторяется (N — 2) раз.