Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн
..pdfРасчет корректирующего члена, равного квадрату об щего итога, деленное на общее число опытов:
|
|
S5 = |
О2. |
|
(1.50) |
|
|
|
пг |
|
|
Расчет сумм квадратов: |
|
|
|
||
SA = |
S2 — Ss — для строки; |
|
(1.51) |
||
SB = |
S3 — Ss — для |
столбца; |
|
(1.52) |
|
Sc = |
S4 — Ss — для элементов квадрата; |
(1.53) |
|||
50бщ = |
Si — Ss |
— общая; |
|
(1.54) |
|
5ост = 50бщ — (SA + S B H-VSC) — остаточная. |
|
(1.55) |
|||
Расчет дисперсий: |
|
|
|
|
|
|
2 |
SA |
фактора |
Л; |
(1.56) |
|
SA ------------------- |
Р — 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
SB |
фактора |
В\ |
(1.57) |
|
SB ------------------- |
Р — 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Sc |
фактора |
С; |
(1.58) |
|
sc ------------------- |
Р — 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
Socr |
ошибка опыта. |
(1.59) |
||
So ---------------------------------- |
|
|
|||
(Р— 1) (Р — 2)
Оценка дисперсий осуществляется по критерию Фи шера. Составляются дисперсионные отношения (расчет ные)
2 |
2 |
2 |
„ |
|
SA |
SB |
_ Sc |
(1.60) |
|
—~ |
= FpА, — — = |
FpB,—— = |
Fpc. |
|
sl |
sl |
so |
|
|
Принятие решения. Если расчетные значения крите рия Фишера удовлетворяют неравенствам
FpA < F T (/л = р — Г, /о= (р |
— 1) (Р — 2), q = 0,05); |
(1.61) |
РрВ<РА!л, |
fo, q)', |
(1.62) |
Fpc < FT(/A,. /о, q), |
(1.63) |
|
то влияние всех факторов несущественно.
Если какое-нибудь из отношений (1.60) оказывается большим FT, т о влияние этого фактора существенно.
Примечание. Для четырех факторов используется ди сперсионный анализ по схеме греко-латинского квадрата, при большем числе уровней — гипергреко-латинские квадраты и латинские кубы.
1.2. Ранговая корреляция
Введение. Задачей метода ранговой корреляции явля ется оценка связи между упорядоченными объектами ис следования. Для упорядочения объектов используются ранги и тогда задача состоит в том, чтобы по совокупно сти данных экспертами упорядочений составить усред ненное упорядочение, наиболее близкое к истинному.
К решению задачи применяется статистический под ход. Каждая данная экспертом ранжировка считается несовершенным, искаженным субъективными воздейст виями вариантом правильного упорядочения объектов. Тогда к оценке полученных ранжировок можно приме нять статистические критерии, в частности, для согласо
ванности |
мнений экспертов используется к о э ф ф и ц и |
е нт к о н к о р д а ц и и (согласия), который меняется |
|
от нуля (нет согласия) до единицы (полное согласие). |
|
1.2.1. |
Алгоритм метода ранговой корреляции. Исход |
ные данные. Имеются объекты х\,х2, ..., хп. Специалис там, хорошо знакомым с исследуемыми объектами, пред лагается расположить объекты, предположим, в порядке убывания степени их влияния на некоторый показатель, т. е. присвоить ранг гц — ранг для каждого /-го объекта, данный 1-ым экспертом.
Пояснение. Сводная матрица [rZJ] размерами т у п содержит по строкам натуральный ряд чисел, располо
женных в различном порядке. Среднее |
арифметическое |
|||
натурального ряда чисел равно |
|
п + 1 |
|
|
1 |
4- п) |
= |
(1-64) |
|
— (1 + 2 + |
— -— |
|||
п |
|
|
2 |
|
и тогда общее среднее равно |
|
|
|
|
а = - ^ - т( п + |
1). |
|
(1.65) |
|
В матрице [г^] возможны и дробные ранги. Они по являются тогда, когда эксперт не может отдать предпоч
тение двум или большему числу объектов, например, ес ли эксперт не может упорядочить объекты с рангами 4 и 5, то он может приписать этим двум объектам ранг (4+5)/2=4,5.
План эксперимента представляет собой анкеты, по лучаемые экспертами. Суммарная анкета — таблица, по строкам которой располагаются ранжировки экспертов, а по столбцам — ранги объектов исследования (табл.
1.6).
Т а б л и ц а 1.6. Результаты расчетов методом ранговой корреляции
|
|
|
|
Объекты исследования |
|
|
|
|
|
*2 |
х п |
Номер |
эксперта |
1 |
|
Г12 |
|
|
|
Ги |
Гin |
||
|
|
2 |
Г2\ |
Г22 |
Г2п |
|
|
m |
Гml |
Гm2 |
Гтп |
|
|
|
m |
m |
ш |
Сумма рангов |
|
|
|
Гin |
|
|
|
|
i = l |
1 = 1 |
г = 1 |
Расчет средних: |
|
|
|
||
ап |
/1+1 |
|
|
,, сс. |
|
= --------------- среднее ранжировочного ряда эксперта, |
(l.ob) |
||||
|
2 |
|
|
|
|
где п — число объектов исследования; |
|
||||
|
а = |
пг(п + |
1) — общее среднее таблицы рангов, |
(1.67) |
|
где пг — число экспертов.
Расчет суммы квадратов отклонений. Первоначально рассчитываются квадраты отклонений суммарных ран гов от общего среднего:
d i= ( 1 > / - а)2- |
(1-68) |
1= 1
затем суммы квадратов отклонений:
п |
/ т |
\2 |
|
S (d h = E |
\ E |
ati - a ) |
(1.69) |
j= i |
i= l |
|
|
Расчет максимальной суммы квадратов отклонений.
Доказано, что при полном согласии мнений экспертов максимальная сумма квадратов будет равна:
s (rf/) = - ^ - / n 2 ( « 3 _ rt). |
(1.70) |
Расчет показателя дробных рангов. При наличии дробных рангов максимальная сумма квадратов умень шается на
m j ^ T u |
(1.71) |
t=i
где
с-72)
v=i
е — число строк матрицы, содержащей связанные ран ги; g — число типов связанных рангов в строке; t — ко личество равных рангов в t-ой строке.
Расчет коэффициента конкордации. При отсутствии связанных рангов коэффициент конкордации получается
как отношение рассчитанной |
S(d2.) |
к максимальной |
||
(d 2 ) max* |
|
п |
I m |
|
|
S(d-) |
\ 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
j = 1 |
i = 1 |
(1.73) |
|
|
|
|
|
|
|
|
m2(n3 — n) |
|
|
|
12 |
|
|
при наличии связанных рангов |
) |
|
||
|
n |
/ m |
|
|
«7Р |
i=i |
\=i |
(1.74) |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
Ti |
|
|
т2(п3 — п) — т ^ |
|||
|
72 |
|
i=1 |
|
Оценка коэффициента конкордации. Установлено, что для числа объектов /г > 7 величина [m(n— l)W v] имеет
Х2-распределение (при лг С 7 используются специальные таблицы Кендалла):
X2 = т(п — 1)U7P. |
(1.75) |
Принятие решений. Если расчетное значение ^ “Рас пределения окажется меньше табличного
Х2 < Х 2 |
(f = n _ h q _ о,05) |
(1.76) |
|
р |
т |
|
|
при числе степеней свободы f и заданном уровне значи мости q, то мнения экспертов считают согласованными. В этом случае строят диаграмму рангов (гистограмму), где по оси абсцисс дискретно откладывают объекты ран жирования, а по оси ординат суммы рангов в обратном порядке. Вид сглаженной ранжировочной кривой в ка кой-то мере позволяет решить задачу классификации объектов (при двух классах).
Если неравенство (1.76) не выполняется, т. е. мнения экспертов не согласованы, то одним из решений может быть изменение состава экспертов или их обучение. Ино гда меняют ижоличество объектов.
Примечание. Кроме ранжирования объектов в неко торых случаях приходится с целью разработки весов ран жировать и качественные показатели объектов. При этом алгоритм, естественно, усложняется.
1.3. Регрессионный анализ
Введение. По результатам эксперимента над объек том исследования, входы и выходы которого известны, можно получить математическую модель определенного вида. Полученная математическая модель (если это по лином определенной степени) называется у р а в н е н и ем р е г р е с с и и .
Степень приближения уравнения регрессии к реаль ному объекту зависит не только от экспериментальных данных, но и от метода построения полинома. В качест
ве такого метода обычно выбирают м е т о д |
н а и м е н ь |
|
ши х к в а д р а т о в , |
являющийся частным |
случаем ме |
тода м а к с и м у м а |
п р а в д о п о д о б и я |
для случай |
ных переменных с нормальным распределением. Уравне ние регрессии, полученное по методу наименьших квад ратов, подвергается с т а т и с т и ч е с к о м у а н а л и з у ,
основанному на оценках дисперсий: проверяется одно
родность дисперсий, значимость коэффициентов |
и адек |
ватность уравнения регрессии. Это и есть р е г |
р е с с и |
он н ы й а н а л и з 1.
Воснове регрессионного анализа лежит несколько статистических предпосылок, выполнение которых га рантирует достоверность анализа полученной математи ческой модели:
1.Выходная переменная — случайная величина с нормальным распределением; факторы — суть неслучай ные величины; практически это означает, что ошибки в управлении факторами по крайней мере на порядок меньше ошибок при измерении выходной переменной.
2.Связь между факторами отсутствует.
3.Дисперсии выходной переменной однородны (рав ноточны) в любой точке факторного пространства.
4.Исследуемый объект лишен динамических свойств (рассматриваются стационарные режимы объекта).
1.3.1.Метод наименьших квадратов (МНК). Исход ные данные. Имеется выборка эксперимента объемом N. Задан некоторый класс функций f(x) с числом связей /, равным числу коэффициентов, которые необходимо опре делить. Требуется найти уравнение регрессии.
Пояснение. Наилучшее уравнение регрессии дает та функция из рассматриваемого класса, для которой сум ма квадратов
S = £ [ y u - f ( x u ) ] > |
(1.77) |
имеет наименьшее значение.
Если
1(хи) = у = f(xu, b0f bi, b2t ) |
(1.78) |
дифференцируема и требуется найти |
|
N |
(1.79) |
s = ^[Уи — f(Xu, bo, b1, b2, . . . ) ] 2 —. mi n , |
|
u = 1 |
|
1 Иногда не совсем обоснованно в регрессионный анализ вклю чают метод наименьших квадратов как средство получения уравне ния регрессии.
то необходимым условием минимума S является выпол нение равенств
dS |
dS |
|
|
( 1.80) |
-----= 0,------- |
|
|
||
db0 |
дЬ\ |
|
|
|
или |
|
|
|
|
N |
|
Щ Хи) _ Q |
|
|
£ 2 [y u — f(xu, bo, bu Ьъ |
|
|||
db |
|
|
||
u= l |
|
( 1.81) |
||
N |
|
df(xu) |
||
£2[</„ — /(*„, b0, |
bi, b2, |
|
|
|
db |
|
|
||
u=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система (1.81) состоит из уравнений, число которых |
||||
равно числу неизвестных коэффициентов Ьо, |
Ь\, Ь2, |
и |
||
называется с и с т е м о й |
н о р м а л ь н ы х |
у р а в н е |
||
ний. |
|
|
|
|
Выбор полинома f(xu, bo, bь ...) зависит от имеющей ся у исследователя априорной информации и является в значительной степени искусством.
Исходные данные (продолжение). Предположим, что полином (1.78) имеет вид
^ = Ь0+ biX. |
( 1.82) |
Требуется найти коэффициенты Ьо и Ь\ (в данном случае число связей 1=2).
План эксперимент. В целом регрессионный анализ не обязательно рассчитан на планирование эксперимен та, хотя использование планирования, как будет показа но в дальнейших алгоритмах, значительно расширяет его возможности. Здесь план эксперимента не использу ется. Выборка N получается пассивным наблюдением за объектом, хотя наблюдение и ведется по плану.
Расчет коэффициентов регрессии. Исходя из (1.81) для полинома (1.82) получим:
|
N |
|
N |
Nbo + b1 ^ |
хи = ^ |
||
|
tz=l |
|
U= 1 |
|
|
|
(1.83) |
N |
N |
2 |
N |
Ьо2 Xu+ b\ ^ Хи = 2 |
ХиУиу |
|
и=1 |
и=1 и= |
1 |
£УчЛХи-ЕХи%ХиУ>
(1.84)
N |
N |
N |
N 2 ] ХиУи — S |
S ^ |
|
(1.85)
1*3.2. Статистический анализ уравнения регрессии.
Исходные данные. Получено уравнение регрессии (1.82) с коэффициентами (1.84) и (1.85). Необходимо провести статистический анализ коэффициентов и уравнения в
целом.
Пояснение. Статистический анализ уравнения регрес сии включает три этапа: проверку однородности диспер сий в каждой точке экспериментальной выборки /V, оценку значимости всех коэффициентов регрессии, про верку адекватности уравнения регрессии эксперимен
тальным данным. |
. |
Учитывая, что при пассивном эксперименте наблюде |
|
ния дублировать принципиально |
невозможно, проверку |
однородности дисперсии провести |
нельзя. Таким оора- |
30Mj нарушается одна из предпосылок регрессионного анализа, что влечет за собой ряд трудностей. В частнос ти, невозможно точно оценить значимость коэффициен тов и адекватность уравнения. Однако иногда удается получить два-три' наблюдения для идентичных значении факторов (в одной точке факторного пространства). И хотя это не дает возможности проверить однородность
дисперсий, но позволяет сделать другие оценки.
Оценка значимости коэффициентов регрессии произ водится по критерию Стьюдента, однако сначала необ ходимо рассчитать дисперсию воспроизводимости (оши
ку опыта):
( 1.86)
где you — значение переменной в точке факторного про
странства; iV0 — число параллельных опытов в этой
точке;
|87><
— среднее значение переменной в этой точке; среднеквадратические отклонения коэффициентов ре
грессии
V |
_________ * |
-------- |
(1.89) |
u = l |
U =1 |
|
|
|
|
||
Расчет ^-критерия Стьюдента: |
|
|
|
|
Sb{ |
|
(1.90) |
|
|
|
|
где bi — i-ый коэффициент регрессии. |
|
||
Принятие решений. Если окажется, что |
|
||
|
> M f o = tfo— l, < = |
°>05) |
(1.91) |
для числа степеней свободы /о и заданного уровня значи мости q, то /-ый коэффициент признается значимым х. Незначимые коэффициенты могут исключаться из урав нения регрессии. Оставшиеся коэффициенты пересчиты ваются заново.
Проверка адекватности уравнения регрессии. Для проверки необходимо рассчитать остаточную сумму ква дратов
SOCT = £ (Уи-^иУ, |
0-92) |
U= 1
где уи — экспериментальные значения выходной пере-
Л
менной; уи — значения, рассчитанные по уравнению ре грессии.
1 В принципе использование /-критерия здесь некорректно, по до пустимо.
Число степеней свободы
где / — число связей, равное числу коэффициентов урав нения, оставшихся после проверки их значимости. Тогда дисперсия адекватности
2 |
(1.94) |
5ад — |
|
|
/ад |
адекватность уравнения |
проверяется |
по критерию Фи |
|
шера: |
|
|
|
|
2 |
|
|
FP |
5ад |
|
(1.95) |
|
|
||
Принятие решений. Если расчетное значение |
крите |
||
рия Фишера |
|
|
|
F p < F T(/a« = N - l , |
fo = No — 1, |
q = 0,05) |
(1.96) |
для степеней свободы /ад, /о и заданного уровня значимо сти, то уравнение считается адекватным. Если условие (1.96) не выполняется, то уравнение считается неадек ватным и требуется изменение полинома f(xu) — вво дятся новые факторы, изменяется порядок полинома.
1.4.Регрессионный анализ и МНК
вматричной форме
Введение. Регрессионный анализ в матричной форме удобен для расчетов на ЭВМ, поскольку в программном обеспечении современных ЭВМ всегда есть такие проце дуры, как обращение, умножение матриц и др^ Кроме то го, алгебра матриц уже стала универсальным языком современной науки и техники, позволяющим компактно
иинформативно представлять получаемые результаты.
1.4.1.Метод наименьших квадратов (МНК). Исход ные данные не отличаются от предыдущих, только урав нение регрессии представляют в виде
y = jr b iXu i = 0,1, . . . , п, |
(1.97) |
i*=l