Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн

Соответственно найдены среднеквадратические от­ клонения коэффициентов регрессии

и по формуле (1.90) рассчитаны значения ^-критерия. Оценка значимости для /т=2,01 ( f o = 50, <7=0,05) пока­ зала, что коэффициенты Ьп, &2 з> Ьц, Ьц, Ьз4, Ьц незначи­

мы. Дисперсия s2b — 3,133 найдена по формуле (1.170),

О

а 60 = 79,93 — по формуле (1.173). Свободный член ока­ зался, естественно, значимым.

Учитывая, что расчетные значения /-критерия для ко­ эффициентов Ъ12 и & 4 4 мало отличаются от /т, принимаем решение считать их значимыми коэффициентами. Тогда уравнение регрессии примет окончательный вид

у = 79,93 -f- 5,6*1 “Ь 3,6*2 + 16,92*з + 1,84*4 — 0,853*1*2 —

— 7,30*1*з — 9,46*2 — 5,40*2 — 10,90*2 — 0,884*2.

Адекватность проверяется в соответствии с формула­

т. е. FP< F T, а значит уравнение регрессии адекватно экс­ периментальным данным.

Для окончательного решения основной задачи — до­ стижения оптимума — воспользуемся каноническим пре­ образованием уравнения регрессии и, в зависимости от вида поверхности отклика, решим, какой метод поиска оптимума использовать.

Воспользуемся алгоритмом 2.6.3. Перенесем начало координат в новую точку факторного пространства S. Для этого продифференцируем уравнение регрессии и решим систему относительно XiS:

ду

— — = 5,6 — 0,853*2 — 7,30*3 — 9,46.2*1 = 0;

d*i

ду

0,36 — 0,853*, — 5,4 • 2*2 = 0;

дх2

В соответствии с классификацией (см. табл. 2.9) по­ верхность отклика представляет собой действительный гиперэллипсоид и, следовательно, выход продукта в его центре максимальный (г/тах=88,06%). Отсюда следует, что каноническое преобразование уравнения регрессии позволило определить оптимум процесса, не прибегая к методам оптимизации.

Экспериментальное определение выхода пиперазина в условиях, заданных координатами центра, показало со­ впадение опытных и расчетных данных (опытное значе­ ние выхода пиперазина составляет 85,2%).

Таким образом, оптимальный режим процесса катали­ тического синтеза пиперазина в экспериментальном ре­ акторе, при котором был достигнут ВЫХОД t/max=85,2%, определяется следующими значениями факторов: темпе­ ратура — 180°С, давление 4,5 МПа, время пребывания — 2,7 ч, мольное отношение аммиака к ДЭТА — 3,5.

Основные свойства плотности распределения:

1.Плотность распределения есть неотрицательная функция

№> о.

2.Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределе­ ния равен единице:

f f ( x) dx = 1.

—оо

Центр группирования значений случайной величины X характери­ зуется числовой характеристикой — м а т е м а т и ч е с к и м о ж и ­ д а н и е м М[Х]), которая определяется выражением

М[Х] = 2?piXi i=1

для дискретной случайной величины и

М[Х] = f°°xf(x)dx

— ОО

для непрерывной случайной величины.

Свойства математического ожидания:

если X и У — независимые случайные величины.

Степень рассеивания значений случайной величины вокруг цент­ ра группирования характеризуется дисперсией. Для непрерывной случайной величины дисперсия равна

D[X] = f ~ ( x - M [ X ] m x ) d x ,

для дискретной

а д = 2 ~ ( * - в д ) ’р,-.

i = 1

Дисперсию можно рассматривать как математическое ожидание квадратов отклонений

D[X] = М(Х — М[Х])2.

Свойства дисперсии:

1) D [с] = 0, если с = const;

2)D[cX] = сЮ[Х]\

3)D[X] = М[Х2] — (М[Х])2;

4)D[X + Y] = D [ X ] + D[Y],

если X и У — независимые случайные величины.

Величина, равная квадратному корню из дисперсии, называется с р е д н и м к в а д р а т и ч е с к и м о т к л о н е н и е м .

Если значение случайной величины есть результат действия многочисленных независимых и примерно одинаково малых факто­

ах]/2я

практической ценностью, если она характеризуется свойствами: не­ смещенностью, состоятельностью, эффективностью.

Оценка а называется несмещенной, если при любом N ее мате­ матическое ожидание равно истинному значению параметра а:

M[aN] = а.

Оценка aN параметра а называется состоятельной, если при не­ ограниченном увеличении N ее значение с вероятностью, равной еди­ нице, стремится к истинному значению параметра а:

lim Р{[ал — а] < е} = 1.

Оценка aN называется эффективной, если среди прочих оценок того же параметра она обладает наименьшей дисперсией

D[ctN] = Amin-

Оценка математического ожидания (средняя) для дискретной случайности величины определяется по формуле

Знаменатель выборочной дисперсии равен разности между объ­ емом выборки и числом связей, наложенных на эту выборку. Эта разность f называется ч и с л о м с т е п е н е й с в о б о д ы вы­ б о р к и .

Случайные величины X и Y называются независимыми~ если за­ кон распределения каждой-из них не зависит от того, какое значе­ ние приняла другая. В противном случае величины X и У называют­ ся зависимыми. Для характеристики системы случайных величин,

ij

адля непрерывных случайных величин

+00 + оо

мых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю.

Свойства коэффициента корреляции:

1) коэффициент корреляции изменяется от —1 до + 1

—1<гух< 1;

2) коэффициент корреляции симметричен относительно исследу­ емых случайных величин

Гух — гху\

3)если гху> 0, то случайные величины X и У с точностью до случайных погрешностей одновременно убывают или возрастают; если гжу< 0 , то величини X и У одновременно изменяются в проти­ воположных направлениях;

4)коэффициент корреляции характеризует степень тесноты ли­ нейной зависимости между случайными величинами.

значений аргумента t{ и t2 образуют систему двух случайных вели­

каждом данном значении аргумента равна математическому ожида­

kxVu У» которая при каждой паре значений t\ и t2 равна корреля­

ционному моменту соответствующих значений случайной функции

В теории случайных функций широко распространена теория стационарных процессов — принимается, что ее математическое ожи­ дание и дисперсия зависят только от разности аргументов