Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн

для числа степеней свободы

Оценка значимости коэффициентов регрессии произ­ водится расчетом /-критерия по формуле (1.90), расче­ том дисперсий коэффициентов по формуле (1.119) с уче­ том (1.131) и оценкой по условию (1.91):

2

(1.141 ,а)

Nm

Принятие решений. Если для какого-то коэффициен­ та условие (1.91) не выполняется, то соответствующий фактор можно признать незначимым и исключить его из уравнения. Однако рекомендуется помнить, что скорее всего полученная незначимость фактора является след­ ствием неудачно выбранного (малого) интервала варьи­ рования. Отсюда ясно, что более правильным является решение повторить эксперимент, расширив интервал варьирования для исследуемого фактора. Конечно, прц этом число опытов, а значит и длительность эксперимен­ та, возрастают. Иногда половину опытов сохраняют тем, что интервал варьирования расширяют только в одну сторону, другой же (верхний или нижний) уровень оста­ ется прежним.

Если фактор остался незначимым после повторения эксперимента и всех необходимых расчетов, то его (или их) отбрасывают и переходят к анализу адекватности уравнения.

Проверка адекватности уравнения регрессии осуще­ ствляется по формулам (1.92), (1.94), (1.95) с учетом параллельных опытов:

т. е. при неадекватной линейной модели, наиболее часто принимают решение об уменьшении интервалов варьи­ рования факторов и повторении эксперимента. Такое ре­ шение хотя и уменьшает кривизну поверхности отклика, однако может привести к появлению незначимых коэф­

ных опытов. Введение. На практике приходится сталки­ ваться с такими ситуациями, которые не позволяют при реализации эксперимента выдержать одинаковое число параллельных опытов по каждой строке матрицы плани­ рования. Это происходит либо из-за случайных грубых нарушений условий эксперимента, когда измерение при­ знается неудачным, а повторить его по каким-либо при­ чинам не удается, либо вследствие неуверенности экспе­ риментатора в «чистоте» опыта.

Последовательность обработки результатов экспери­ мента при неравном количестве параллельных опытов не нарушается, однако алгоритмы расчета меняются вслед­ ствие нарушения ортогональности матрицы планирова­ ния. Это приводит к изменению расчетных формул для коэффициентов регрессии и их ошибок, а также для дис­ персии адекватности.

Исходные данные не отличаются от исходных данных алгоритма 1 . 5. 1 .

План эксперимента соответствует приведенному в табл. 1. 7, однако в каждой строке число параллельных опытов ти может быть иным.

Расчет коэффициентов уравнения регрессии. Вслед­ ствие неортогональности матрицы планирования расчет коэффициентов регрессии осуществляется по методу наименьших квадратов. Лучше всего использовать мат­ ричную форму записи и стандартные программы ЭВМ — обращение матриц, транспонирование, расчет детер­ минанта матриц и т. д. [см. 1. 4. 1, формула (1. 103)].

Расчет ошибки опыта. Рассчитываются построчные дисперсии по формулам (1. 138) и (1. 139).

При усреднении построчных дисперсий пользуются средневзвешенными значениями дисперсий, взятыми с учетом числа степеней свободы fu для и-ой строки мат­

дисперсии отличаются незначимо), то и остальные дис­ персии будут отличаться незначимо. Таким образом, ги­ потезу об однородности дисперсий можно признать пра­ вомерной при выполнении условия (1. 150).

Проверка значимости коэффициентов регрессии не от­ личается от произведенной выше при равном числе па­ раллельных опытов. Следует отметить, что смысл провер­ ки несколько меняется вследствие неортогональности матрицы планирования, что приводит к появлению недиагональных элементов в матрице (ХТХ)~К Однако по значениям они обычно невелики и поэтому критерий Стьюдента можно использовать как средство ранжиро­ вания коэффициентов регрессии в соответствии с фор­ мулами (1.90), (1.91), числом степеней свободы f0 (1.147) и заданным уровнем значимости.

Принятие решений не отличается от предыдущих ал­ горитмов.

Проверка адекватности уравнения регрессии. Расчет дисперсии адекватности осуществляется по формуле

«ад = д, 1 2 т и (У и — У иУ - О-151)

Физический смысл формулы таков: различию между экспериментальным и расчетным значениями выходной переменной придается тем больший вес, чем большее число опытов реализуется. Здесь ти фактически являет­ ся весовым коэффициентом. Для проверки адекватности используется критерий Фишера в соответствии с (1. 95) и (1. 96).

Принятие решений не отличается от предыдущих ал­ горитмов.

1.5.4. Алгоритм ПФЭ с расчетом коэффициентов взаи­ модействий факторов. Введение. Ранее уже упомина­ лось, что цель ПФЭ — получение адекватной линейной модели, которую предполагается использовать для опти­ мизации объекта исследования. В задачах интерполяции же математическая модель должна адекватно описывать объект в области эксперимента и потому может быть не­ линейной. Планы ПФЭ, с одной стороны, позволяют до­ статочно просто рассчитать коэффициенты при взаимо­ действиях факторов и, если они значимы, использовать полученную модель для интерполяционных целей. С дру­ гой стороны, значимость коэффициентов при взаимодей­

ствиях факторов сразу же позволяет 'сделать вывод о неадекватности линейной модели.

Исходные данные в отличие от 1*. 5. 1 пополняются условием необходимости расчета коэффициентов при взаимодействиях факторов, т. е. ищется модель в виде

нейности модели оценкой гипотезы о равенстве нулю сум­

мы коэффициентов при квадратичных членах. С этой целью в центре плана ставят несколько опытов, опреде­ ляют среднее у0 и вычисляют разность (&о — Уо), кото­ рая и является оценкой суммы коэффициентов при квад­ ратичных членах.

Действительно, свободный член Ь0у который рассчи­ тывают по уравнению:

п

является совместной оценкой р0 и

2 = 1

где р0 — свободный член уравнения регрессии по гене­ ральной совокупности экспериментальных данных; Рп — коэффициенты при х2также по генеральной совокупности.

Это положение вытекает из идентичности столбцов матрицы планирования при х0 и х2 (они все равны + 1 ).

Тогда разность (у — может в ^акой-то мере служить оценкой кривизны поверхности отклика выход­

Стьюдента для числа степеней свободы дисперсии s2 и

уровня значимости q.

Выполнение условия (1. 156) свидетельствует о значи­ мости квадратичных членов, и требуется, их введение в

интерполяционное уравнение или уменьшение интервалов варьирования факторов для получения адекватной ли­ нейной модели.

1. 5. 5. Алгоритм дробного факторного эксперимента

(Д ф э ).Введение. Полный факторный эксперимент явля­ ется весьма эффективным средством получения матема­ тической модели исследуемого объекта особенно при чис­ ле факторов /г>3. Однако увеличение числа факторов приводит к резкому увеличению числа опытов. Так, ПФЭ 26 требует постановки 64 опытов, а 27 — 128 опытов. Ко­