Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн

Решение. Вычисляется .начальный момент нулевого порядка (5 = 0):

Если исследуется гидродинамика объекта, р0 соот­ ветствует общему количеству введенного в поток инди­ катора.

Вычисляется среднее время пребывания потока в ап­ парате, как отношение начального момента первого по­ рядка К |10

ftk(t)dt

fk(t)dt

о

Обычно здесь вводится безразмерное время для /-ой ординаты

Тогда расчет момента s-ro порядка определяется по формуле

операция, требующая применения вычислительной тех­ ники.

Принятие решений. После расчета начальных момен­ тов JLIO, р>4 возможен расчет чисел Пекле, которые определяют тип модели гидродинамической системы (идеальное вытеснение, перемешивание и др.).

Дополнение. Параметром, характеризующим гидро­ динамику системы, может быть критерий Пекле

uL

2.6.Алгоритмы оптимизации

впланировании эксперимента

Введение. При решении экстремальных задач теории планирования эксперимента, целью которой является достижение некоторого оптимума, широко используются различные методы оптимизации. В данном разделе рас­ смотрены метод крутого восхождения, симплексный метод и метод канонических преобразований уравнения регрессии второго порядка (как метод исследования поверхности отклика в области оптимума).

2.6.1. Алгоритм метода крутого восхождения. Введе­ ние. Метод крутого восхождения, или метод Бокса — Уилсона объединяет положительные стороны трех мето­ дов — метода Гаусса—Зейделя, метода градиента и ме­ тода полного (или дробного) факторного эксперимента, как средства получения линейной математической моде­ ли. Задача метода крутого восхождения заключается в осуществлении шагового движения в направлении наи­ скорейшего возрастания (или убывания) выходной пере­ менной, т. е. по grad y(Xi) :

-►

градиента к нулевому уровню факторов. Получают серию значении факторов крутого восхождения. Переводя их в кодированную форму по уравнениям (1.128) и подстав­

ляя в уравнение регрессии, получают ряд «предсказан-

д

ных» значений выходной переменной у. Иногда эти опы­ ты называют «мысленными».

Условия крутого восхождения через несколько ша­ гов реализуются и, таким образом, проверяется степень точности описания объекта уравнением регрессии. В том случае, если ожидается отклонение опытных значений переменной от расчетных, реализуются все условия крутого восхождения. Стратегия проведения опытов за­ ключается в нахождении таких шагов, которые приводят к увеличению выходной переменной, а затем к ее умень­ шению.

Замечание 1. Отметим, что выбор шага крутого вос­ хождения до некоторой степени произволен. Здесь мож­ но рекомендовать следующее правило: при сложении численной величины шага с нулевым уровнем фактора результат должен давать координату, лежащую за пре­ делами экспериментальной области.

Замечание 2. В процессе выполнения расчетов не­ обходимо иметь в виду, что если отыскивается минимум выходной переменной, то знаки коэффициентов следует поменять на обратные, если какой-либо из факторов в процессе движения к оптимуму достигает границы об­ ласти определения, то его можно зафиксировать и про­

ся кодирование переменных). Ребро симплекса обычно принимается равным единице.

3.Проводится первоначальная ориентация симплекса

вфакторном пространстве одним из способов, описан­

ных ниже.

4. Рассчитывается выходная переменная согласно матрицы симплексного плана или эта матрица реализу­ ется на объекте (при симплексном планировании).

5. Симплекс перемещается в факторном пространст­ ве. Для этого вершина симплекса, в которой значение выходной переменной* минимально (при поиске миниму­ ма) по сравнению с остальными, «отбрасывается» и на­ ходится вершина, являющаяся зеркальным отображе­ нием отброшенной вершины.v Координаты зеркальноотображенной вершины определяются по формуле

ствии с координатами вершин нового симплекса и про­ цедура повторяется.

Первоначальная ориентация симплекса. Обычно при­ нято рассматривать два способа задания координат вер­ шин правильного симплекса.

П е р в ы й с пос об . Если одну из вершин симплек­ са поместить в начало координат, а остальные п вершин расположить так, чтобы ребра, выходящие из первой вершины, образовывали одинаковые углы с соответст­ вующими координатными осями’ (рис. 2.4, а), то коорди-

Рис. -2.4. Первоначальная ориентация симплекса:

а — угловая; б —центральная.

гимн размерами симплекса. Завершение поиска в перво­ начальной области свидетельствует о нахождении ло­ кального оптимума.

Симплексный метод оптимизации широко используй ется для поиска оптимума как непосредственно на объ­ екте, так и по математической модели. Ряд преимуществ делает его применение весьма эффективным, к числу которых следует отнести прежде всего независимость направления движения от абсолютных значений выход­ ной переменной в вершинах симплекса. Действительно, это направление зависит от ранжирования значений вы­ ходной переменной, что позволяет привлекать для при­ нятия решений другие переменные, характеризующие объект. Здесь обычно решаются компромиссные задачи. Метод легко позволяет достроить симплекс при включе­ нии новой переменной: добавляется еще одна вершина симплекса, алгоритм поиска при этом не изменяется.

2.6.3. Алгоритм канонического преобразования и ана­ лиза поверхности отклика. Введение. Для целей оптими­ зации исследуемого объекта, который описывается урав­ нением второго порядка, существует преобразование, позволяющее получить графическую и аналитическую интерпретации области оптимума. Упомянутое преобра­ зование называется к а н о н и ч е с к и м. Каноническое преобразование исходного уравнения регрессии второго порядка

Ви — коэффициенты канонического уравнения.

Кновому уравнению переходят, перенося начало координат в центр поверхности отклика и поворачивая оси на определенный угол.

Перенос начала координат приводит к устранению линейных и свободного членов в уравнении, поворот осей — к исключению взаимодействий.