Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн
..pdfгде Хо— фиктивная переменная, равная 1. Исходная матрица статистических измерений факторов X и вектор наблюдений У имеют вид:
X = |
*01*11 |
*Ш |
; У = |
У |
*02*12 |
. *п2 |
У2 |
||
|
|
|
|
(1.98) |
|
_ XQNX\N • • X n N „ |
|
- УN _ |
|
Тогда система искомых уравнений |
||||
|
|
Р = |
х1в, |
(1.99) |
где матрица — столбец В коэффициентов регрессии и
матрица — столбец Хи факторов
|
Ьо _ |
Г |
Хо ~1 |
|
В = |
|
|
||
bi ; |
Х«т = |
*1 |
( 1. 100) |
|
|
L - |
_ |
*71 - |
|
Расчет коэффициентов регрессии. Для получения си стемы нормальных уравнений необходимо получить про изведение транспонированной матрицы Х т на исход ную X
|
*01*02, |
Х ' Х = |
*11*12, |
|
|
_ |
* n l* n 2 , |
— N |
|
|
*0u* 0 u |
U =1 |
|
_ |
N |
X \ UXQU |
|
u = 1
XON
*1 N
XnN _
N
* 0 u * l u
U =1
N
* iu * i u u = 1
~ * 0 1 *11,
*02 *12,
_XQN
N
* 0 u * n u
U = 1
N
*1 u * n u u = 1
* n l “
*7l2
XnN _
-
>
N |
N |
^ |
*MU*cu/ ^ * u u * llt |
u = l |
и = 1 |
V*
N
* n u * n u
l/ = l
и произведение матрицы Хт на У
* 0 1 * 0 2 , |
* 0 i V |
* 1 1 * 1 2 , |
* 1 Лг |
~ |
N |
|
У\ |
2 ] |
Х о и У и |
У2 |
и = 1 |
|
|
N |
|
|
Щ |
х 1 и у и |
|
и = \ |
|
* п 1 * п 2 » |
• , * п Л Г |
ХпиУи |
|
y N |
|
|
_ |
|
|
_ и = 1 |
Система нормальных уравнений имеет вид
(Х*Х)В = X*Y,
а ее решение:
(X^X)-i(XTX)B = (XTX ) - ‘XTY ; |
|
|
ЕВ = |
(XTX)~‘X*Y; |
(1.103) |
В = |
(XTX)~‘XTY |
|
где £ — единичная матрица; (Х ТХ )~1 — обратная мат
рица (дисперсионная), |
находится |
стандартными мето |
дами. |
|
|
Обратная матрица (Л’ТЛ’)-1 обычно записывается так: |
||
|
Соо^ю |
СпО |
(Х»Х)-‘ = [си] |
с0[сп |
Сп\ |
= |
(1.104) |
|
|
L СопСщ |
Спп |
а решение нормальных уравнений:
Ь о |
С о о С \ о |
Ь х |
С о \ С {[ |
|
= |
\
г |
о |
|
— |
~~ N |
~ |
^ Х о и У и
и= 1
N
и— 1
(1.105)
N
b n |
С о п С \ п |
С п п |
Х п и У и |
Например, для Ь*: |
|
bt 2 ^CijJ^Xiuyu. |
(1.106) |
Следствие 1. Добавление или исключение какого-ли
бо члена полинома приводит к изменению как элементов алгебраических дополнений, так и определителя, что, в свою очередь, ведет к необходимости нового расчета ко эффициентов.
Следствие 2. Если дисперсионная матрица диаго
нальная
Соо 0 |
0 |
|
|
0 |
Си |
О |
(1.107) |
0 |
0 |
Спп |
|
то коэффициенты уравнения регрессии будут опреде ляться независимо друг от друга
b i ^ d i ^ X i u Уи, |
(1108) |
и=1 |
|
где |
(1.109) |
В этом случае исключение или добавление строк или столбцов в матрице нормальных уравнений не изменяет
остальных коэффициентов.
1.4.2. Статистический анализ уравйения регрессии. Исходные данные не отличаются от предыдущих, однако
число коэффициентов увеличивается в соответствии с
уравнением (1.97).
Оценка значимости коэффициентов регрессии осуще
ствляется исследованием математического ожидания разности матрицы — столбца истинных значений коэф фициентов регрессии р и их оценками В:
|
|
|
Ьо—Ро |
|
|
|
|
|
М \ { В — Р) |
( В - ? ) т] |
= М |
ь1—Pi |
!(&о — M i — Pi* • *^n |
Р* 0 |
|||
bn—P>. ' |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
( Й о - Р о )2 |
(*o — |
Po) (*i — |
P i) |
( b o — |
Po)(ft» — |
P n ) _ |
||
(b, - |
Pi) (b0 - |
p„)(6, - |
p,)2 |
|
(b, - |
P.) (bn - |
pn) |
|
=м |
|
|
|
|
|
|
|
|
(b n - P „ )(b 0-P o ) ( b n - P „ ) ( 6 i- P i) |
(bn — Pn)2 |
|
ъо |
cov b0bi |
cov b0bn |
|
|
|
||
|
|
|
cov b\bn |
|
|
|
||
|
cov Ь\Ь0 ° 2 ьх |
|
|
|
||||
|
cov bnb0 cov bnb\ |
o2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Получается корреляционная матрица, где |
а 2 |
— ди- |
||||||
сперсия коэффициентов регрессии; |
|
|
г |
|
||||
cov Ь ф , — корреля |
||||||||
ционные |
моменты |
между |
коэффициентами |
Ь й |
b j — |
|||
р4) (6j—р,)]. |
используется |
дисперсионная |
мат- |
|||||
Для |
расчета о 2ь |
|||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
рица. Вводится вектор-столбец |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
и1 — "ht |
|
|
|
|
|
У -= (У - |
М [У]) = |
У2 —Шу2 |
|
( Ы Н ) |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
U/JV — "hN |
|
|
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
|
|
и находится М[УУТ]: |
|
|
|
|
|
|
||
|
г Ух — "*1/, |
|
|
|
|
|
|
|
М |
У2 — туг |
| |
|
у2—1Пу2 |
y.\— »hN) |
|
|
|
|
l/.v — Шу |
|
|
|
|
|
|
|
(Ух — Щ ^2 |
|
(yi — inyt)(y2 — my2) |
(Ух — |
|||||
|
|
|
|
|
— tnVl) (yN — mVN) |
|||
(У2 — Щг)(Ух — ту1) |
(У2 — Шуг)2 |
|
|
(у2 — |
||||
= М |
|
|
|
|
— Шу2) (yN — myN) |
|||
|
(yN — niyN) (у{ — mVi) |
(ys — myN) (y2 — |
|
|
|
|||
__ |
|
|
|
--mv2) |
(yN-Шу )2 |
|||
|
|
|
|
L |
|
N |
|
|
С учетом предпосылок регрессионного анализа 3 и 4 (см. 1.3), получается
М [ ( У г — Ш у . ) ( у 1 — Ш у ) ] = 0; |
|
||
о2 = а2 = |
=о2 |
^ |
(!.П2 ) |
= ст2. |
|
||
Тогда
о о
Л1[УУТ] = |
(1.113) |
После преобразований, с учетом М (В)=р и предпо сылки 1 (см. 1.3) получается:
A f[(B -P )(B -p)4 = (X*X)-'£o* |
(1.114) |
Вследствие (1.114) матрица (Х’ТЛ' ) ~ 1 иногда наъыва-
оценка о 20, т. е. 520, |
запиеыва- |
|
Coo^oi |
Con |
(1.115) |
(* тX ) - ' s \ = |
Cm |
|
CnoCnl |
Спп |
|
Сравнением с корреляционной матрицей (1.110) по лучаются условия расчета оценок дисперсий коэффици ентов уравнения регрессии:
s2 = c a s 2; |
(1.116) |
|
6 г . |
0 |
|
cov bibj |
= djS 2. |
(1-117) |
J |
о |
|
Следствие L Если матрица (Х ТХ )~ [ диагональна, т. е.
ковариации равны нулю
cov bibj = 0, |
(1-118) |
то оценки дисперсий коэффициентов регрессии равны и определяются независимо друг от друга:
S2 |
= сus2 |
So |
(1.119) |
ъ.I |
N |
|
|
|
|
|
|
Z * 2<u u=l
Следствие 2. Если матрица (-YT.Y)-1 диагональна, то
доверительные интервалы для каждого из коэффициен тов регрессии в отдельности определяются по формуле
bi - trfcu sl < Р,- < bi 4- /тТ/CiiS*, |
(1.120) |
где tT — табличное значение критерия Стьюдента.
Расчет t-критерия:
SQ~\/CX{
Полученные значения ti9 можно рассматривать как средство ранжирования факторов вследствие невыпол нения равенства (1.117).
Принятие решений. Не отличается от принятия реше
ний по условию (1.91). |
осущест |
Оценка адекватности уравнения регрессии |
|
вляется сравнением дисперсии адекватности |
с ошиб |
кой опытов s2. Д ля определения дисперсии адекватности экспериментальных данных относительно предсказанных
А
по уравнению регрессии У = Х аВ рассчитывается сумма квадратов
5а„ = ( Г - У ) * ( У - Г ) = |
£ ( < / и - £ ,) 2. |
(1.122) |
|
|
|
U=1 |
|
Сумму квадратов 5ад |
можно |
представить |
несколько |
иначе: |
|
|
|
5ад = У ТУ—ВТХТУ, |
(1.123) |
||
или в обычной форме: |
|
|
|
== |
У2и Z b i^ X iu ty u |
(1.124) |
|
u=i |
1=1 |
u=i |
|
с числом степеней свободы /ад=Л/—/, где I — число чле нов в уравнении регрессии.
Ошибка опытов находится по параллельным опытам в некоторой точке факторного пространства.
Расчет критерия Фишера и принятие решений не от личается от расчета критерия и принятия решений по условиям (1.95) и (1.96).
1.5. Полный и дробный факторные эксперименты (ПФЭ и ДФЭ)
первого порядка
Введение. Факторный эксперимент первого порядка предполагает такое проведение исследований, которое позволяет некоторым оптимальным образом получить
информацию об объекте, оформить ее в виде полиноми альной линейной модели и провести ее статистический анализ. Полученная математическая модель обычно слу жит целям экстраполяции (в небольших пределах), оп тимизации (поиска локального оптимума) и может ис пользоваться для интерполяции.
Оптимальное расположение точек в факторном про странстве и линейное преобразование координат позво ляет преодолеть недостатки классического регрессионно го анализа. Одновременное варьирование всех факторов позволяет получить коэффициенты математической мо дели с меньшей ошибкой, не увеличивая, а чаще умень шая число опытов.
ПФЭ и ДФЭ фактически представляют собой приме нение классических методов наименьших квадратов и ре грессионного анализа (МНК и дисперсионный статисти ческий анализ), проводимых по определенному плану.
Пояснение. Факторный эксперимент использует схему дисперсионного анализа — реализуются возможные ком бинации факторов на всех выбранных уровнях. Общее число опытов для полного факторного эксперимента в случае, когда -реализуются все комбинации факторов, равно
N = рп, |
(1.125) |
где р — число уровней; п — число факторов. |
(р = 2), |
Если планирование ведется на двух уровнях |
|
то реализуется ПФЭ типа 2 П. |
|
1.5.1. Алгоритм полного факторного эксперимента на двух уровнях с равным числом параллельных опытов.
Исходные данные. Ставится задача определения локаль ного оптимума на объекте исследования, для этого пред полагается использовать математическую модель, полу ченную с помощью полного факторного эксперимента.
Выбирают факторы и выходную переменную, задают области определения факторов и выходной переменной
l/min ^ |
У ^ |
*/тах>* |
|
min ^ |
^ |
Х\ maxi |
(1.126) |
т in ^ |
Х2 ^ |
Х2 maxi |
|
Кодирование. В области определения факторов выби |
|||
рается точка Xio> i = 1’, п |
{нулевой уровень |
факторов), |
|
которая в предварительных исследованиях была призна на наилучшей- с точки зрения оптимума у. Задается ин тервал варьирования факторов АХ,. Определяются вер хние и нижние уровни факторов:
XiB = |
Xi0 + XX |
|
|
Л'„, = |
Xi0 — XXi |
(1.127) |
|
при условии, ЧТО ( X in - b |
AriB) < ( X imm 4 - ^ im a x ) . |
||
Кодируются факторы |
|
(переход к новой безразмерной |
|
системе координат Хи х2, ..., хп) : |
|
||
X i « = |
|
X iB - X ,„ |
|
|
AXi |
|
|
|
|
( 1. 128) |
|
|
|
Xiu — ^iO |
|
Яill = |
|
|
|
|
AXi |
|
|
|
|
|
|
В новой системе координат факторы принимают зна |
|||
чения + 1 и —1 . |
План проведения |
эксперимента |
|
План эксперимента. |
|||
(матрица планирования) записывается в виде табл. 1.7.
|
Т а б л и ц а |
1.7. План эксперимента |
|
|
||
|
План |
|
|
Выходная переменная |
|
|
Номер |
|
|
|
|
|
|
опыта |
* 0 |
*п |
Уи\ |
Уи2 |
Уurn |
У: |
|
х2 |
|||||
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
2 |
+ |
1 |
— |
1 |
• |
|
|
||
|
|
|
|
•
+ |
i |
|
+ |
1 |
+ |
i |
• |
+ |
1 |
Уп |
У\2 , |
У\тп |
|
У2\ |
У22 |
У2т |
У2 |
N |
+ 1 — 1 — 1 |
— 1 |
УN1 |
yN2 • |
УN m |
Уаг |
В приведенном плане х0— фиктивная переменная, равная единице; здесь также проводятся параллельные опыты — их число равно m в каждой строке матрицы планирования.
Пояснение. Предложенный план эксперимента обла дает о р т о г о н а л ь н о с т ь ю :
N |
|
|
2 |
= °> 1 ф У. Ь У= 0, 1, .... П, |
(1.129) |
И = 1
что Соответствует следствию 2 |
[см. (1.107)] |
и вытекаю |
|
щему из него преимуществу независимого |
определения |
||
коэффициентов [см. (1.108) и (1.109)]. |
|
||
Как следствие (1.129) |
план эксперимента обладает |
||
с и м м е т р и ч н о с т ь ю |
|
|
|
£ * |
iu = |
0. |
(1.130) |
и=1 |
|
|
|
и н о р м и р о в к о й |
|
|
|
2 ] ^ U= |
JV.- |
(1.131) |
|
и= 1 |
|
|
|
Ортогональные планы ПФЭ (для линейных моделей) обладают также р о т а т а б е л ь н о с т ь ю . Последнее предполагает равенство и минимальность дисперсий предсказанных значений выходной переменной для всех точек факторного пространства. По закону накопления ошибок для дисперсии предсказанных уравнением ре грессии значений выходной переменной можно записать:
s2 = |
s2 |
+ s2 *2 + |
... + S 2 |
х2 . |
(1.132) |
С |
"о |
Ь1 1 |
Ьп |
» |
|
Из условий ( 1 .1 1 2 ) вытекает, что дисперсии коэффициентов регрессии равны между собой, тогда
4 = 4 / 1 + д х ) ), |
(1.133) |
п
или с учетом того, что ]£л:2 = р2 (р— радиус сферы)
1 = 1
4 = ^ (1+ Р’). |
(1лз4) |
Отсюда ясно, что дисперсия предсказанного значения выходной переменной зависит только от радиуса сферы. Это свойство ротатабельности эквивалентно независи мости дисперсии выходной переменной от вращения ко ординат в центре плана и оправдано при поиске оптиму ма градиентными методами. Интуитивно понятно, что исследователю удобно иметь дело с такой информацией, содержащейся в уравнении регрессии, которая равномер но «размазана» по сфере радиусом р. Действительно, та кое положение можно признать разумным, ибо с помо
щью уравнения регрессии будут предприниматься П°- пытки предсказать положение еще неизвестных участков факторного пространства. Равноценность этих участков в смысле ошибки предсказания, по-видимому, является
необходимой.
Расчет коэффициентов уравнения регрессии. Исходя из (1.108), (1.109) и (1.131) коэффициенты рассчитыва ются по уравнению
bi = - L S |
ЧиУи. |
I = 0,1.2..... п, |
(1.135) |
N u= l |
|
|
|
где у = — ^ \)uki |
|
|
(1.136) |
m |
|
|
|
и окончательно |
1 N |
r/i |
|
|
|
||
b '— m Z 'L * * » '* - |
<1Л37) |
||
|
u=1 h=1 |
|
|
где N — число строк матрицы планирования (число раз |
|||
ных условий опыта); |
пг— число параллельных |
опытов |
|
на каждой строке матрицы.
Построчные дисперсии по параллельным опытам на
каждой строке матрицы рассчитываются |
по уравнению |
|||
|
TTL |
|
|
|
4 |
= 2 |
(г/aft - |
г/а)7/«. |
(1138) |
|
k=l |
|
|
|
где /и = mu — 1. |
|
|
|
(1.139) |
Проверка однородности дисперсий осуществляется по |
||||
уравнениям (1.18) и |
(1.19) |
при |
условии m2= m , p = N ; |
|
индекс i заменяется индексом и. |
|
|
||
Принятие решений. Если не выполняется условие (1.19), то гипотеза об однородности дисперсий отверга ется и одними из решений являются увеличение числа параллельных опытов, изменение метода контроля вы
ходной переменной, масштабирование выходной пере менной.
Расчет ошибки опыта производится усреднением по строчных дисперсий
„I