Теория пластичности

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

П.В. Трусов, А.И. Швейкин

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2011

3

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Е – модуль упругости G – модуль Юнга

dи – интенсивность скоростей деформаций h – длина следа запаздывания

Ii (ε), Ii (e), i = 1,3 – главные инварианты тензора малых деформаций и его девиатора

Ii (σ), Ii (S), i = 1,3 – главные инварианты тензора напряжений

Коши и его девиатора

K – модуль объемного сжатия k – константа Больцмана

×

K0, Kt, Kt – отсчетная, актуальная и промежуточная (разгруженная из Kt) конфигурации

O– собственно ортогональная группа

R3 – трехмерное евклидово пространство

s (sp ) – длина дуги траектории деформации (пластической де-

формации)

t – время (или его аналог)

Тг – гомологическая температура Х – обозначение материальной частицы в материальном спосо-

бе описания движения

Xi , ξi – лагранжевы координаты в декартовой ортонормиро-

ванной и произвольной криволинейной системах координат, соответственно

z – внутреннее время

Г – интенсивность деформаций сдвига

ε– средняя деформация

εu – интенсивность деформаций

Н – интенсивность скоростей деформаций сдвига

4

Н – функция Хэвисайда, Н (х) = 0 при х < 0 и Н (х) = 1 при х ≥ 0

η– вязкость материала

µσ , µε – параметры Надаи – Лоде напряженного и деформиро-

ванного состояния ν – коэффициент Пуассона

θ– температура

κi (i = 1, 4) – параметры кривизны и кручения траектории де-

формации

σ– среднее напряжение

σи – интенсивность напряжений

σp – предел пропорциональности

σS – предел текучести

τи – интенсивность сдвиговых напряжений

ϑ i (i = 1,5) – углы вектора напряжений с векторами репера

Френе φ , φ * – системы отсчета, отличающиеся жестким движением

Ω – вязкопластический потенциал

базиса в K0 и Kt

pi (i =1,5) – векторы естественного ортогонального репера Френе R0, r – радиус-векторы частиц в K0 и Kt

ο , ˆ – набла – операторы (операторы Гамильтона) в отсчетной и актуальной конфигурациях

э, Σ – векторы деформаций и напряжений

5

D, d – тензор деформации скорости и его девиатор Е – единичный (метрический) тензор

( ) – определяющее отображение

o

G , C – мера и тензор деформации Коши-Грина

Jβ – тензорзначные внутренние переменные

Jeγ , Jiδ – «явные» и «скрытые» внутренние переменные

M(k ) – ориентационныйтензорk-йкристаллографическойсистемы O(t) – собственно ортогональный тензор

Pγ – параметры воздействия

R – ортогональный тензор, сопровождающий деформацию β, r β, β, r β – операторы конститутивных соотношений

U, V – левый и правый тензоры искажения

ε, e – тензор малых деформаций и его девиатор Π – тензор (4-го ранга) упругих характеристик

ρ– тензор остаточных микронапряжений

Σ, M – меры напряженного и деформированного состояний (произвольные)

σ, S – тензор напряжений Коши и его девиатор

χα – тензорзначные функции, характеризующие нетермомеха-

нические воздействия на материал

o r – градиент места Є – тензор Леви–Чивита

( )e , ( )p – индексы, относящиеся к упругим и пластическим составляющим

( )r – обозначение объективной производной

< > – скобки Мак-Кэйли, <х>=0 при х≤ 0 и <х>=х при х>0– осредненные величины

6

СОКРАЩЕНИЯ

ВДС – внутризеренное дислокационное скольжение ГЦК, ГПУ, ОЦК – гранецентрированная кубическая, гексаго-

нальная плотноупакованная, объемно-центрированная кубическая (кристаллические решетки)

ЗГС – зернограничное скольжение ЗУ – замыкающие уравнения

ИТН – изображающая точка в пространстве напряжений КСК – кристаллографическая система координат МДТТ – механика деформируемого твердого тела МСС – механика сплошной среды ОС – определяющие соотношения ПО – представительный объем СН – сложное нагружение СС – система скольжения

СТТ – стандартный тетраэдр Томпсона ТДС – термодинамическая система ТОС – теория определяющих соотношений ТП – теория пластичности ТПТ – теория пластического течения

ТФП – твердотельный фазовый переход УПП – упругопластический процесс ФТП – физическая теория пластичности ФТТ – физика твердого тела ЭТП – эндохронная теория пластичности ЭУ – эволюционные уравнения

7

Если в физике и химии где-то и существует простота, то заведомо не в микроскопических моделях И. Пригожин

Физическая модель явления и его математическое описание дополнительны А.Б. Мигдал

1.ВВЕДЕНИЕ

1.1.Некоторые понятия и определения

Спозиций общей теории определяющих соотношений (ТОС) [85, 87] теория пластичности (ТП) представляет одну из множества теорий механики деформируемого твердого тела (МДТТ) и механики сплошных сред (МСС); в МДТТ можно, например, помимо ТП выделить теорию упругости, теорию ползучести, теорию вязкоупругости, теорию разрушения и множество других. В то же время теория пластичности имеет большое самостоятельное значение, особенно для моделирования технологических процессов переработки материалов.

Становление МДТТ как области знаний обусловлено в значительной мере экспериментальными исследованиями ученых XVII–XVIII вв., связанными главным образом с проблемой разрушения. В основном эксперименты проводились на одноосное нагружение (растяжение, сжатие), реже – на изгиб и кручение; образцами служили стержни кругового или прямоугольного сечения (в настоящей работе основным источником ссылок на экспериментальные данные является двухтомник Ф. Дж. Белла [6], являющийся энциклопедией экспериментальных исследований (к сожалению, главным образом – зарубежных исследователей), осуществленных

впериод с XVIII в. до начала 70-х гг. XX в.).

8

К наиболее значимому событию XVII в. с полным основанием можно отнести открытый в 1678 г. Робертом Гуком закон линейной связи между силой и удлинением (сам Гук писал, что открыл этот закон раньше, в 1660 г., но задержал его опубликование в связи с патентованием своего изобретения спиральных часовых пружин). Тот же закон был независимо открыт в 1680 г. Эдмом Мариоттом. Влияние закона Гука на развитие теории упругости и МДТТ в целом трудно переоценить; и до настоящего времени закон Гука (конечно, в измененном виде тензорно-линейных соотношений) является основным инструментом при расчетах различных конструкций и деталей.

Однако непосредственно после опубликования закона Гука появились публикации, начиная с работ Якова Бернулли, в которых на основе результатов проведенных (с потрясающей для того времени точностью) экспериментов утверждалось, что линейный закон даже при очень малых деформациях не выполняется. Исследования продолжались в XVIII в. и особенно интенсивно – в первой половине XIX в., вплоть до «отмены» закона Гука в 1849 г. Британской королевской комиссией по железу. В этих работах, подробный обзор которых содержится в [6], для широкого круга материалов было показано, что даже при очень малых деформациях (говоря на современном языке, – существенно меньших предела упругости по деформациям) наблюдаются нелинейная зависимость напряжения от деформации, появление остаточных деформаций (микропластичность), уменьшение с ростом деформаций модуля упругости и другие весьма интересные эффекты, должного математического описания которых нет и в настоящее время.

Первые работы по математическим моделям, описывающим неупругое пластическое деформирование твердых тел, появились в 70-е гг. XIX столетия (Сен-Венан, М. Леви), что и следует считать датой зарождения теории пластичности (ТП) как самостоятельного раздела МДТТ.

Большой вклад в развитие теории пластичности внесен в начале ХХ столетия работами А. Хаара, Т. Кармана, Р. Мизеса. Работы этого периода и более поздние (20-е гг. ХХ столетия) исследования

9

Г. Генки, Л. Прандтля, Р. Мизеса и др. носили ярко выраженный феноменологический характер (точнее, макрофеноменологический), причем опирались главным образом на простые эксперименты по растяжению–сжатию образцов. На формулировках определяющих соотношений этого периода ощущается значительное влияние соотношений теории вязкой жидкости.

Начиная с 30-х гг. теория пластичности становится одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов МДТТ. Это обусловлено как потребностями промышленности, так и достижениями в других областях естествознания, в первую очередь – в физике твердого тела и термодинамике. В этот период были объяснены основные механизмы пластического деформирования, обнаружены его «носители».

Отметим, что механизмы упругого деформирования связаны главным образом с электромагнитными взаимодействиями ионов и электронов атомов исследуемого материала. Первые попытки с аналогичных позиций объяснить пластические деформации как процесс разрыва связей между атомами материала по определенным плоскостям (максимального сдвига) не привели к положительным результатам: теоретически подсчитанные значения предела текучести на порядки превосходили экспериментально измеренные. Открытие в 30-е гг. специфичных линейных дефектов в кристаллических телах– дислокаций и эстафетного механизма их движения позволили в принципе объяснить физическую природу пластическогодеформирования.

В настоящее время развитие теории пластичности также во многом опирается на достижения физики твердого тела. Открыты и другие механизмы неупругого деформирования, такие, например, как межзеренное (зернограничное) проскальзывание, ротационные моды неупругого деформирования, для описания которых был введен новый тип дефектов – дисклинации, направленный массоперенос за счет движения точечных дефектов и другие.

С позиций физики твердого тела теперь можно определить пластическое деформирование как процесс движения дефектов кристаллической решетки, осуществляемый со скоростями, превышающими скорости изменения внешних условий. Иначе говоря, если после вы-

10