Теория пластичности

пятствий) требуется стягивание расщепленной дислокации к обычной. Отметим, что ширина расщепленной дислокации может быть уменьшена до нуля под действием приложенных внешних и внутренних напряжений, т.е. расщепленная дислокация может быть превращена (стянута) в обычную дислокацию.

Существуют частичные дислокации, вектор Бюргерса которых не лежит в плоскости скольжения, в силу чего они не способны к консервативному перемещению (скольжением). К таким сидячим дислокациям относятся, например, дислокации (или петли сидячих дислокаций) Франка, которые могут образовываться в результате, например, схлопывания вакансионного диска в плоскости плотнейшей упаковки. Вектор Бюргерса такой дислокации перпендикулярен плоскости плотнейшей упаковки, в силу чего дислокационная петля, окружающая дефект упаковки, не может скользить в своей плоскости. Дислокации Франка являются сильными препятствиями для движения других дислокаций.

При движении двух расщепленных дислокаций в пересекающихся плоскостях скольжения они могут образовывать весьма прочные барьеры (барьеры или дислокации Ломера – Коттрелла), запирающие обе системы скольжения; ниже механизм их образования будет рассмотрен подробнее. С макроскопической точки зрения образование барьеров Ломера – Коттрелла ведет к существенному увеличению деформационного упрочнения в материалах с низкой ЭДУ по сравнению с материалами со средней и высокой ЭДУ. По мнению авторов, именно из-за образования барьеров Ломера – Коттрелла происходят эффекты дополнительного циклического упрочнения (см. гл. 2); проведенный анализ показал, что именно материалы с низкой ЭДУ обнаруживают склонность к дополнительному упрочнению.

Выше отмечалось, что дислокации могут разветвляться, что является также одним из видов дислокационных реакций. Напомним одно из основных правил теории дислокаций: суммарный вектор Бюргерса дислокаций, вступающих в реакцию (например, ветвящейся дислокации), должен быть равен суммарному вектору Бюргерса образовавшихся дислокаций.

91

Направление реакции определяется энергетическим критерием Франка: дислокационная реакция идет в направлении уменьшения внутренней энергии кристалла. Заметим, что это положение чрезвычайно часто принимается на веру в естествознании: полагается, что природа устроена по принципу минимизации внутренней энергии. В механике экстремальные принципы также применяются весьма часто, однако их принято доказывать. В данной ситуации, однако, критерий Франка может быть принят, поскольку он прошел эмпирическую проверку в течение десятилетий. Поскольку энергия дислокации пропорциональна квадрату ее вектора Бюргерса, критерий Франка иначе может быть сформулирован следующим образом: дислокационная реакция происходит в направлении уменьшения суммы квадратов векторов Бюргерса получающихся дислокаций в сравнении с суммой векторов Бюргерса исходных дислокаций.

Таким образом, если через bi0 , i = 1, I обозначить векторы Бюр-

герса дислокаций, вступающих в реакцию, а через bfj , j = 1, J – получившихся в ее результате, то должно выполняться соотношение

причем реакция произойдет только в том случае, если выполняется критерий Франка:

В частности, указанным правилам подчиняются реакции диссоциации полных дислокаций на частичные, объединения частичных дислокаций в полные; критерий Франка объясняет, например, распад n-кратной дислокации на n единичных.

Для наглядности анализа реакций дислокаций в кубических кристаллах широко используется так называемый стандартный тетраэдр Томпсона (СТТ). Рассмотрим построение СТТ на примере ГЦК-кристаллов с параметром решетки а. В качестве вершин тетра-

92

эдра выберем одну из вершин куба (например, в начале координат кристаллографической системы координат (КСК)); три другие вершины совпадают с ближайшими к началу КСК центрами граней; иначе говоря, в терминах кристаллографических координат вершины тетраэдра определяются векторами: Α = a 2[101], Β= a 2[011],

Γ = a2[110], ∆ = [000] . Грани тетраэдра представляют собой рав-

разрежем тетраэдр вдоль всех ребер, содержащих вершину ∆, и развернем его в плоскости грани АВГ (рис. 3.13). Все грани СТТ принадлежат системе кристаллографических плоскостей {111} плотнейшей

упаковки (АВГ – (111), ΑΓ∆ – (111), Β∆Γ – (1 11), A∆B – (1 11) ). Ребра тетраэдра Томпсона равны векторам Бюргерса полных дислокаций

( ΑΒ= a 2[110], ΒΓ = a 2[1 01], Γ∆ = a 2[1 1 0 ], ∆Α = a 2[101] ).

Рис. 3.13. Развертка на плоскости стандартного тетраэдра Томпсона

93

Частичные дислокации Шокли с векторами Бюргерса системы а/6 <112> соответствуют векторам, соединяющим вершины тетраэдра с центрами принадлежащих им граней, например:

Αβ = a / 6[1 1 2], Aδ = a / 6[1 21], Bδ = a / 6[21 1], ∆γ = a / 6[112],

δΓ = a / 6[11 2], γA = a / 6[211].

Рассмотренная выше (см. рис. 3.12) реакция расщепления полной дислокации на частичные дислокации Шокли a 2[1 01] =

= a 6[211] + a 6[11 2] в обозначениях СТТ представляется в виде:

ΒΓ = Βδ+ δΓ.

Сидячие дислокации Франка имеют вектор Бюргерса, перпендикулярный плоскостям плотнейшей упаковки. В обозначениях СТТ векторы Бюргерса дислокаций Франка обозначаются как αΑ, βΒ, γΓ, δ∆, Αα, Ββ, Γγ, ∆δ. Дислокации Франка, взаимодействуя

с частичными дислокациями Шокли, могут порождать полные дислокации, например: Αα+ αΒ= ΑΒ.

Одним из известных механических эффектов является так называемое дополнительное циклическое упрочнение (см. гл. 2), которое испытывают некоторые материалы при сложном циклическом нагружении. Как показал проведенный анализ, склонность к данному эффекту проявляют материалы с низкой ЭДУ, для которых характерно наличие расщепленных дислокаций. Одним из возможных механизмов появления дополнительного упрочнения при сложных нагружениях (в том числе сложных циклических) авторы считают образование дислокаций (или барьеров) Ломера – Коттрелла, в связи с чем целесообразно остановиться на этой реакции более детально [77].

Предположим, что в плоскости AВ∆ (1 1 1 ) расположена дислокация ∆В (а/2[0 1 1]), а в плоскости АВГ (1 1 1) – дислокация ВГ (а/2[0 1 1 ]), способные скользить в своих плоскостях, будучи параллельными линии пересечения плоскостей ВА. Известно,

94

что такие дислокации взаимно притягиваются. В материалах с низкой ЭДУ полные дислокации испытывают склонность к расщеплению; в данном случае дислокация ∆В расщепляется соглас-

но реакции ∆В = ∆γ+ γВ (а/2[0 1 1] = а/6[1 1 2] + а/6[ 1 1 2]) на

две частичные дислокации Шокли и дефект упаковки между ними (см. рис. 3.13). Пусть в плоскости АВГ дислокация ВГ расщепляет-

ся по схеме ВΓ = Вδ+ δΓ (а/2[1 0 1 ] = а/6[2 1 1 ] + а/6[1 1 2 ]).

Плоскости скольжения этих двух расщепленных дислокаций пересекаются по ребру АВ, при этом частичные дислокации γВ и Вδ

испытывают взаимное притяжение. Поэтому дислокации продвигаются к линии пересечения рассматриваемых плоскостей АВ и всту-

пают в реакцию γВ + Вδ= γδ (а/6[ 1 2 1] + а/6[2 1 1 ] = а/6[1 1 0])

с образованием частичной дислокации βδ, называемой вершинной (или удерживающей) дислокацией. У вектора Бюргерса вершинна дислокации а/6 [1 1 0] и ее линия [1 1 0] перпендикулярны и рас-

положены в одной плоскости (001), т.е. дислокация является краевой. Нетрудно проверить, что такая реакция удовлетворяет критерию Франка. В результате получается совокупность трех частичных дислокаций (вершинной и двух дислокаций Шокли) и двух дефектов упаковки, расположенных в пересекающихся плоскостях. Такой клиновидный дефект и называется дислокацией (барьером) Ломера – Коттрелла. Дислокация Ломера – Коттрелла не может скользить, поскольку все три частичные дислокации имеют различные плоскости залегания, в силу чего они являются мощными препятствиями для других дислокаций в двух пересекающихся плоскостях, содержащих частичные дислокации Шокли. Такие сидячие дислокации присущи материалам с низкой ЭДУ, таким, например, как нержавеющие стали, бронзы.

95

3.10.Взаимодействия дислокаций

сдислокациями и точечными дефектами

Каждая из дислокаций обладает собственным полем напряжений. В силу быстрого затухания искажений кристаллической решетки при удалении от ядра дислокации для определения полей напряжений можно использовать линейную теорию упругости (следует учитывать, что вблизи ядра дислокации предпосылки линейной теории упругости малоприемлемы, поэтому полученным решением можно пользоваться только на определенном удалении от ядра, как правило – не менее 1,5–2 межатомных расстояний). Задача определения полей напряжений в этом предположении была решена Вольтерра еще в 1907 г. Для краевой дислокации при записи будем использовать две системы координат: декартову ортогональную Ох1х2х3 (ось Ох3 направлена вдоль оси дислокации, ось Ох1 – вдоль вектора Бюргерса, ось Ох2 – вдоль нормали к плоскости скольжения) и цилиндрическую (r, z, θ), где ось z совпадает с Ох3, r – расстояние от оси дислокации, угол θ отсчитывается от плоскости скольжения. Тогда компоненты (в декартовой ортогональной системе координат) тензора собственных напряжений краевой дислокации определяются соотношениями [67, 77]:

или в виде:

σ11 = −(D / r) sinθ (2 + cos2θ), σ22 = (D / r) sinθ cos2θ, σ33 = ν (σ11 + σ22 ), σ12 = (D / r) cosθ cos2θ, σ13 = σ23 = 0, D = Gb / ((2π(1 − ν )),

где с = (x12 + x22 ) , G – модуль сдвига, ν – коэффициент Пуассона.

96

Достаточно просто (по полю перемещений) получить компоненты тензора напряжений винтовой дислокации. Направим ось Ох3 вдоль оси дислокации, оси Ох1 и Ох2 расположены в перпендикулярной плоскости. Тогда компоненты тензора напряжений Коши в декартовой ортогональной системе координат определяются как

остальные компоненты равны нулю. Нетрудно видеть, что компоненты напряжений при удалении от ядра дислокации убывают обратно пропорционально расстоянию. При нагружении тела с дислокациями последние взаимодействуют собственными полями напряжений как с приложенными напряжениями, так и с полями напряжений других дислокаций (равно как и полями напряжений других типов дефектов); силы взаимодействия достаточно подробно рассматриваются во многих монографиях и учебных пособиях по ФТТ (например, [67, 77]), поэтому здесь эти соотношения не приводятся.

Следует отметить, что при приближении дислокации к свободной поверхности кристалла напряжение от дислокации и ее энергия падают, поскольку свободная поверхность не оказывает сопротивления движению дислокации. В силу этого дислокация притягивается к свободной поверхности; для математического описания этого явления используются фиктивные дислокации противоположного знака, расположенные соответствующим образом за свободной поверхностью (так называемые дислокации изображения), так что суммарное напряжение от двух дислокаций на свободной поверхности равно нулю (покомпонентно). Заметим, что для моделирования данного эффекта при использовании соотношений макрофеноменологических теорий пластичности (например, теории пластического течения) для областей, примыкающих к границе образца, принимается пониженное значение напряжения течения.

Краевые дислокации, расположенные в перпендикулярных плоскостях, не взаимодействуют своими дальнодействующими по-

97

лями, в силу чего они могут как угодно близко подходить друг к другу и пересекаться. Рассмотрим две краевые дислокации с векторами Бюргерса b1 и b2, плоскости скольжения которых ортогональны. Первую дислокацию будем считать подвижной, вторую – неподвижной. При пересечении первой дислокацией второй происходит локальное перестроение в окрестности ядер дислокаций. При этом, если вектор Бюргерса первой дислокации b1 перпендикулярен вектору b2, то на второй дислокации образуется ступенька краевой ориентации b2 в направлении b1 и величиной, равной модулю вектора b1, первая дислокация при этом остается неизменной; ступенька представляет собой участок краевой дислокации. Если же векторы Бюргерса b1 и b2 параллельны друг другу, то при пересечении на каждой из дислокаций образуются так называемые перегибы, направление

ивеличина которых равны вектору Бюргерса пересекающей дислокации; перегибы имеют винтовую ориентацию. Таким образом, пересечение дислокаций ведет к увеличению их длины, а следовательно, – энергии упругих искажений решетки вблизи ядра дислокации; для продвижения прореагировавших дислокаций требуется повышенное значение напряжения, что позволяет говорить о деформационном упрочнении при пластическом деформировании. В то же время ступеньки и перегибы могут существенно облегчать соответственно процессы переползания и скольжения дислокаций при своем движении вдоль линий дислокаций. Связано это с тем, что потенциальный барьер для локального перемещения ступеньки и перегиба существенно меньше потенциального барьера соответственно переползания

иконсервативного перемещения дислокаций как целого; в силу этого

итребуемые для перемещения ступеньки, и перегибы напряжения значительно ниже значений критических напряжений для движения дислокаций как целого.

Дислокации взаимодействуют своими полями напряжений с другими дефектами, в том числе с точечными. Как отмечалось в гл. 2, такое взаимодействие является одной из возможных причин эффекта Портвена – Ле Шателье. Часть физиков связывает с этими взаимодействиями появление «зуба текучести» (см. гл. 2). Используя

98

введенную выше цилиндрическую систему координат, энергию Птд взаимодействия краевой дислокации с примесным атомом (точечным дефектом) можно записать как [77]

где Rо – радиус атомов основного материала, ∆ = Rп – Ro , Rп – атом-

Ro

ный радиус примеси. Силы взаимодействия определяются частными производными потенциальной энергии по координатам цилиндрической системы координат r иθ :

в области выполнения принятых при их выводе гипотез и не могут напрямую использоваться при построении ОС на макроуровне. Однако в последние годы все большее распространение получают методы дислокационной динамики, клеточных автоматов, в которых рассмотренные соотношения играют главную роль.

3.11.Дисклинации

Впоследние 15–20 лет в ФТТ, физическом материаловедении, мезомеханике, теории пластичности большое внимание уделяется так называемым ротационным механизмам деформирования, осуществляемым за счет взаимных поворотов структурных элементов (конгломератов зерен, зерен, субзерен, фрагментов, блоков, ячеек) кристаллических материалов. В связи с этим даже в столь кратком изложении вопросов физики неупругого деформирования нельзя не упомянуть об еще одном типе линейных дефектов – дисклинациях.

99

Схематично введение дисклинации может быть осуществлено следующим образом. Построим в теле некоторый произвольный замкнутый контур L с единичным вектором касательной τ , указывающим направление обхода контура; натянем на этот контур произвольную регулярную поверхность S c единичной нормалью n(r) .

Мысленно осуществим разрез вдоль поверхности S и повернем без деформаций поверхности разреза относительно друг друга на некоторый угол Ω вокруг оси, проходящей через произвольно выбранную точку O. Образовавшиеся при этом пустоты заполним материалом, а из возникших наложений извлечем «лишний» материал, соединим («склеим») берега разреза, после чего дадим системе возможность отрелаксировать. Полученный таким образом дефект называется дисклинацией. В случае сплошной среды полученная система не имеет геометрически выделенных областей; напряженнодеформированное состояние не имеет особенностей в рассматриваемой области за исключением малой окрестности контура L, т.е. физически выделенным является контур L. В силу этого дисклинация относится к линейным (одномерным) дефектам.

Отметим, что если берега разреза сдвинуть относительно друг друга на постоянный вектор b, получаем уже упомянутый выше дефект – дислокацию (с вектором Бюргерса b), точнее, – дислокационную петлю. Оба типа дефектов – дислокации и дисклинации относятся к классу дислокаций (или дисторсий) Вольтерра. В случае произвольных смещений поверхностей разреза получаемый дефект называется дислокацией Сомилианы.

Вектор Ω , направленный вдоль оси поворота и по модулю равный углу поворота, называют вектором Франка, вектором Вольтерра или мощностью дисклинации. В случае, если Ω перпендикулярен τ , рассматриваемый участок дисклинации представляет собой так называемую дисклинацию кручения; если Ω параллелен τ , то дисклинация называется дисклинацией наклона или клиновой дисклинацией. В общем случае в каждой точке дисклинации можно определить составляющие дисклинации кручения и наклона.

100