Теория пластичности

вы, что градиентами этих полевых величин и других параметров состояния в пределах представительного объема можно пренебречь, а это позволяет считать указанные поля однородными (в статистическом смысле) в масштабах представительного объема. При этом возникает проблема использования классического математического анализа, до сих пор остающегося основой математического аппарата МСС, оперирующего понятием значения функции в (математической) точке. Точка в понимании математика и механика – разные объекты. Чтобы использовать мощь математического анализа, на уровне соглашения принимается, что осредненные по «скользящему проницаемому» представительному объему величины приписывают к выбранному по соглашению центру представительного объема. Данное обстоятельство следует иметь в виду при анализе результатов решения краевых задач МСС, памятуя о том, что значительные неоднородности искомых полей с достаточной степенью адекватности определимы только на масштабах, существенно превосходящих размеры ПО. Особенно данное обстоятельство следует учитывать при анализе решений так называемых задач с сингулярностями, где вблизи особых (сингулярных) точек решение имеет вид резко изменяющихся функций. Следует отметить, что в моделях обобщенных континуумов (например, в телах второго порядка, где в качестве параметров состояния наряду спервыми градиентами вектора перемещений используются градиенты второго порядка) параметры состояния в пределах представительного объема также полагаютсяоднородными.

Необходимо заметить, что проблема установления ПО является весьма сложной, поскольку его определение связано как с особенностями микроскопического строения исследуемого материала и требуемой в конкретной задаче степенью глубины анализа, так и с процессами воздействия на материал. Для решения этой проблемы необходимо привлекать физические подходы и методы (статистическую физику, молекулярную динамику и т.д.).

В различных ОС, применяемых в МСС, часто используется близкое в термодинамическом смысле к введенному выше понятию ПО понятие времени релаксации. Пусть представительный объем

121

(который можно рассматривать как термодинамическую систему) материала находится в термодинамическом равновесии с окружающей средой. В некоторый момент времени состояние окружающей среды резко (скачком) изменяется; под временем релаксации будет пониматься время, необходимое для перехода представительного объема рассматриваемой физико-механической системы в (новое) состояние равновесия с окружающей средой при условии сохранения (после скачка) состояния последней неизменным. Для представительного объема любого уровня будет предполагаться, что времена релаксации (по соответствующим механизмам) существенно меньше времен значительного изменения внешних воздействий. Иначе говоря, скорость перехода одной равновесной конфигурации «носителей» в другую равновесную конфигурацию существенно больше скорости изменения воздействий, вызывающих этот переход.

Построение любой теории для описания поведения материала (любых ОС) невозможно без стадии идентификации модели, на которой определяются физические постоянные и материальные функции, описывающие свойства материала, и стадии верификации (проверки адекватности) построенной модели. Понятно, что каждая из упомянутых стадий требует проведения экспериментов (часто довольно сложных) с соответствующими измерениями требуемых параметров. В связи с этим следует отметить, что при построении большинства физических теорий (чаще всего) неявным образом вводится гипотеза о прямой или косвенной измеримости всех физических величин, входящих в соответствующие уравнения состояния; аналогичная гипотеза принимается и здесь.

Как отмечено во введении, положение частиц в отсчетной К0 и Кt актуальной конфигурациях определяется соответственно радиусамивекторами R0 и r. Наряду с этими конфигурациями в теории пластич-

×

ности вводится промежуточная конфигурация Kt , получаемая для любого момента процесса деформирования полной разгрузкой из конфигурации Кt. Хотя для неоднородно деформируемых тел в об-

122

×

щем случае конфигурация Kt является фиктивной, недостижимой без нарушения сплошности материала, для любого представительного объема простого материала (т.е. тела, деформирование которого описывается градиентами только первого порядка [85, 87]) разгруженная конфигурация реализуема. Деформация, переводящая конфи-

×

гурацию К0 в Kt , представляет собой необратимую (пластическую)

лагранжева базиса в К0 и Кt соответственно. Для малой окрестности выделенной частицы простого материала (испытывающей аффинные преобразования) изменение конфигурации полностью описывается градиентами места:

так что любой бесконечно малый материальный отрезок dR0 в К0 преобразуется в бесконечно малый материальный отрезок dr в Кt согласно соотношениям:

123

Введенные выше соотношения часто применяются в теории пластичности при (мультипликативном) разложении мер деформации на упругую и пластическую составляющие, особенно – в геометрически нелинейном случае (при больших градиентах перемещений).

4.2. Меры напряженного и деформированного состояний

В качестве меры напряженного состояния в большинстве случаев используется тензор (второго ранга) напряжений Коши σ и/или его девиатор S, в классических континуумах оба тензора являются симметричными. Почему именно тензор Коши является наиболее употребимым? Для ответа на этот вопрос достаточно вспомнить, что тензор напряжений Коши имеет весьма «прозрачный» физический смысл, энергетически сопряжен с тензором деформации скорости (т.е. его двойная свертка с тензором деформации скорости равна мощности напряжений), его компоненты легко определимы по силам и моментам при обработке экспериментальных данных. Конечно, это не означает запрета на применение других мер напряженного состояния (первого или второго тензоров Пиола–Кирхгоффа, тензора Био и др.[76]). В ряде случаев, особенно при постановке и решении геометрически нелинейных задач, удобно использовать меры напряженного состояния, определенные в терминах отсчетной конфигурации (например, второй тензор Пиола–Кирхгоффа). Однако для построения ОС лучше использовать меры напряжений, определенные в актуальной конфигурации, имеющие ясный физический смысл. По-

124

скольку все меры напряженного состояния связаны между собой, после формулировки ОС в терминах, например, тензора напряжений Коши нетрудно перейти к ОС в терминах других мер напряжений. Основными скалярными характеристиками тензора напряжений Коши и его девиатора являются их главные инварианты, обозначаемые

соответственно как Ii (σ), Ii (S), i = 1,3 ; например:

где Е – единичный (метрический) тензор, det – определитель тензора

[75, 86].

В качестве меры деформированного состояния в основном применяются тензор малых деформаций ε и/или его девиатор e, их главные инварианты будут обозначаться соответственно как

Ii (ε), Ii (e), i = 1,3 ; тензор деформации скорости и его девиатор обозначаются соответственно как D и d. В теории пластичности часто используются так называемые интенсивности напряжений σи , деформаций εи и скоростей деформаций dи, определяемые соотношениями

Нетрудно показать, что при одноосном растяжении–сжатии вдоль, например, оси х1 соответствующие компоненты тензора напряжений σ11 , тензора деформаций ε11 и тензора деформации скоро-

сти D11 равны σи , εи иdи .

Наряду с интенсивностью напряжений σи используется так называемая интенсивность касательных напряжений:

125

Заметим, что при чистом сдвиге интенсивность касательных напряжений равна соответствующему напряжению сдвига.

В ряде работ применяется следующее (тригонометрическое) представление главных значений девиатора напряжений:

модулю вектора касательных напряжений τ, действующих на октаэдрической площадке (равнонаклоненной к главным осям тензора на-

пряжений), τ = 2 τu . Угол ωσ равен углу между вектором τ и на-

3

правлением проекции на октаэдрическую площадку отрицательной полуоси nσ3 главного напряжения σ3 , в силу чего параметр ωσ ино-

гда называют углом вида напряженного состояния.

126

В качестве характеристики напряженного состояния часто применяется параметр (коэффициент) Надаи–Лоде

С использованием известных из тензорного анализа соотношений для касательной τn и нормальной σn составляющих тензора на-

пряжений на площадке с единичной нормалью n можно показать справедливость системы неравенств:

Нетрудно убедиться, что (4.13) определяет заштрихованную область на так называемой диаграмме Мора (рис. 4.1), значения касательного τn и нормального σn напряжений на любой площадке

с единичной нормалью n соответствуют точкам внутри заштрихованной области на диаграмме Мора.

Вместо интенсивности деформаций εu в теории пластичности часто используется интенсивность деформаций сдвига:

Γ = 3εu= 2(− I2 (e))1/ 2= 2e : e.

127

Наряду с интенсивностью скоростей деформаций du = (23d : d)1/ 2 применяетсяинтенсивностьскоростейдеформацийсдвига:

Заметим, что в теории пластичности принимается одна из гипотез о декомпозиции тензора деформации (или деформации скорости) на упругую и пластическую составляющие. Для геометрически линейных теорий (в случае малых градиентов перемещений) с достаточной для практически важных задач точностью может быть использована гипотеза об аддитивном разложении тензора малых деформаций ε = εe + εp , где индексы «е» и «р» относятся соответственно к упругим и пластическим составляющим. Следует отметить, что в случае больших деформаций (точнее, больших градиентов перемещений) более корректной является гипотеза о мультипликативном разложении градиента места на упругую и пластическую составляющие [153]. С использованием введенных выше промежуточной конфигурации и градиентов места данное разложение записывается следующим образом:

В зарубежной литературе часто используются обозначения:

гим и пластическим составляющим соответственно, величины F называются «градиентами деформаций» (название едва ли можно признать удачным). Тогда соотношение (4.19) можно записать в виде

F = Fe · Fp.

Интересное расширение мультипликативного разложения представлено в работе [155], где вводится дополнительная промежу-

×× ×

точная конфигурация K , получаемая из K разгрузкой от накоплен-

129

ных микронапряжений. Градиент места неупругой деформации в этом случае представляется мультипликативным разложением на градиент места «диссипативной составляющей» (пластической де-

зрения такое разложение вполне корректно, однако его использование при построении ОС должно сопровождаться тщательным физическим анализом. Конечно, факт наличия запасенной на дефектах кристаллической решетки энергии имеет место (см. гл. 2), однако

возможность ее высвобождения при аффинных преобразованиях ×× × r неочевидна.

Более часто используемой и достаточно точной для практически важных задач является гипотеза об аддитивном разложении тензора деформации скорости

приемлемая даже в случае больших градиентов перемещений.

4.3. Критерии пластичности

Как отмечено ранее, при нагружении материал может деформироваться как упругим, так и пластическим образом (причем при пластическом деформировании могут изменяться упругие деформации; строго говоря, речь должна идти об упругопластических деформациях). Для построения математических моделей процессов неупругого деформирования весьма важным является определение условий разделения областей упругого и пластического (упругопластического) деформирования, поскольку каждый из этих видов деформирования описывается различными определяющими соотношениями.

130