Теория пластичности

время применяется в подавляющем большинстве случаев для анализа поведения именно материала, а не конкретных конструкций. Определенный оптимизм в вопросе о возможности применения физических моделей для решения краевых задач МДТТ вселяют впечатляющие темпы развития вычислительной техники и соответствующего системного и программного обеспечения, в особенности – связанные с параллельными вычислениями.

Примеры применения некоторых из упомянутых подходов для построения определяющих соотношений будут рассмотрены далее.

1.3. Внутренние переменные и структура конститутивной модели

В качестве основы для рассмотрения различных частных моделей ТП будет использоваться структура конститутивных моделей, содержащая внутренние переменные и соответствующие уравнения для описания их эволюции [87]. В литературе, посвященной различным теориям процессов необратимого деформирования, внутренними переменными называют параметры, отражающие структуру и механизмы деформирования на мезо- и микроуровнях. В качестве последних

будут использоваться тензорзначные переменные Jβ , β =1, Β (произ-

вольной в общем случае валентности); вопрос о типе, физическом смысле и аргументах внутренних переменных решается в рамках конкретных теорий ОС.

Заметим, что, вероятно, одним из первых подобное понятие «скрытых параметров» в МДТТ введено П. Жерменом [18] при формулировке вязкоупругих ОС с использованием термодинамического подхода. Согласно определению П. Жермена «в любом обратимом термостатическом процессе эти параметры остаются постоянными и, следовательно, не участвуют в выражении элементарной обратимой работы» [18, с. 183]. В дальнейшем в качестве скрытых параметров использовались, по существу, компоненты тензора необратимых

21

деформаций. Скрытые параметры применялись далее при записи диссипативной функции, после чего на основе формализма линейной неравновесной термодинамики устанавливались связи между скрытыми параметрами и компонентами тензора напряжений Коши. Используя полученные соотношения, скрытые параметры исключались из рассмотрения, т.е. в окончательном виде ОС не содержали этих параметров.

Сходные понятия «структурного состояния» и «параметров состояния (структурных параметров)» использовал Ю.Н. Работнов [81] (правда, почему-то только для описания процессов ползучести), отмечая при этом: «Структурное состояние – это термин, чуждый, по существу, механике…». Параметрами состояния Ю.Н. Работнов называл некоторые количественные характеристики микро- и субмикроструктуры (например, плотность дислокаций). К сожалению, в дальнейшем изложении в качестве единственного структурного параметра, сохраненного в определяющем соотношении, фигурирует макроскопическая переменная (например, накопленная деформация ползучести или диссипируемая работа), т.е. данный подход не получил должного развития.

Вопросы построения ОС с использованием «внутренних параметров состояния системы» затрагиваются также в работе [47]. В понятие «внутренние параметры состояния» авторы вкладывают смысл макроскопических характеристик изменяющейся структуры материала (например, статистически осредненная плотность дефектов). В дальнейшем внутренние параметры состояния использовались авторами цитируемой работы для формального вывода ОС на основе термодинамического подхода. При этом возникают вопросы к физическому наполнению формализма, к сожалению, не освещенные в упомянутой работе. Например, в качестве основного внутреннего параметра состояния авторы использовали «симметричный тензор плотности дислокаций»; несмотря на широкое распространение этого понятия в литературе по континуальным теориям дефектов, оно трудно поддается физической интерпретации. Далее скорость пластических деформаций принималась пропорциональной скорости

22

изменения тензора плотности дислокаций, что также противоречит физической картине пластического деформирования: последняя

впервую очередь обусловлена движением дислокаций, пластические деформации могут достигать существенных величин при неизменной плотности дислокаций (например, в мелкозернистых материалах). Кроме того, в указанной работе не обсуждается связь внутренних параметров состояния с памятью материала и с возможной структурой конститутивных моделей.

Впоследние 15-20 лет понятие внутренних переменных или понятия, сходные с ним по смыслу, весьма часто встречаются в статьях, посвященных построению моделей материалов (см., например, обзор [112], [191]), особенно при использовании термодинамического подхода. Мало того, в настоящее время невозможно назвать какую-либо теорию необратимых деформаций, не использующую явно или неявно внутренние переменные (в указанном выше смысле). Например,

вклассической теории пластичности широко применяется понятие поверхности текучести, отделяющее в пространстве напряжений (или деформаций) области упругого и неупругого деформирования. В процессе деформирования поверхность текучести изменяет свою форму и размеры, перемещается как целое. Эта эволюция поверхности текучести на макроуровне отражает изменения свойств материала, обусловленные перестройками мезо- и микроструктуры, в связи

счем параметры, описывающие эволюцию этой поверхности, с полным правом можно отнести к внутренним переменным. Аналогичная ситуация имеет место и в других теориях (вязкоупругости, вязкопластичности, ползучести и др.). Широкий класс моделей, по существу, основанных на введении внутренних переменных, разработан исследователями томской школы физиков [61, 62, 74, 89].

Однако ОС теорий, использующих внутренние переменные неявным образом, записываются в весьма сложной форме, в общем случае – в виде операторных уравнений, учитывающих память материала о предшествующей истории воздействий. Идентификация подобных моделей требует проведения трудоемких и дорогостоящих экспериментов. Применение подобных ОС при решении краевых за-

23

дач, возникающих при анализе реальных процессов, также связано со значительными трудностями. В связи с этим большинство исследователей при постановке конкретных задач отказываются от применения более точных (но и более сложных) теорий (например, теории упругопластических процессов А.А. Ильюшина [24]) в пользу более простых теорий, например, деформационной теории пластичности или теории пластического течения. Однако при переходе к этим простым ОС из рассмотрения исключается одно из важнейших свойств материалов (особенно в необратимых процессах) – свойство памяти (по крайней мере, о векторных свойствах).

Возникает вопрос: можно ли, сохранив свойство памяти материала, сформулировать ОС для его описания в достаточно простой форме (тензорно-алгебраической или в виде простейшего, например, дифференциального оператора)? Ответ на этот вопрос, на наш взгляд, является положительным с учетом введенного выше понятия внутренних переменных и вкладываемого в него физического смысла. Представляется физически обоснованным принять следующую гипотезу:

реакция материала в каждый момент времени полностью определяется значениями тензорзначных термомеханических характеристик материала, конечного набора внутренних переменных, параметров физико-механических воздействий и их производных по времени требуемого порядка в исследуемый момент времени.

Стоит отметить, что в этом случае история воздействий не отбрасывается, ее «носителями» будут являться введенные внутренние переменные.

Рассмотрим общую структуру конститутивной модели с внутренними переменными. Отметим, что часть внутренних переменных непосредственно входит в структуру ОС данного масштабного уров-

ня, такие переменные в дальнейшем будем обозначать Jβe , β =1, Β e

и для ясности называть их внутренними «явными» (explicit) переменными. К числу таких переменных относятся, например, параметры,

24

характеризующие форму, положение и размеры поверхности текучести в теориях пластического течения.

Вторая группа внутренних переменных (в большинстве случаев относящихся к более глубоким масштабным уровням) входит в качестве переменных в эволюционные уравнения (ЭУ); перемен-

ные этой группы будем обозначать как Jβi , β =1, Β i ; для того чтобы

отличать их от переменных первой группы, будем называть их внутренними «скрытыми (неявными)» (implicit) переменными. К числу таких переменных в теориях неупругого деформирования поликристаллов (мезо- и макроуровней) можно отнести, например, параметры, характеризующие плотность и конфигурацию краевых и винтовых дислокаций (дислокационную субструктуру). Полная совокупность внутренних переменных, таким образом, определяется как

Будем через Σ обозначать меру (в общем случае произвольную) напряженного состояния, Σr – ее объективную скорость изменения [76], Pγ , γ =1, Γ – параметры воздействия термомеханической

(например, температура, мера деформированного состояния и т.д.) и нетермомеханической (например, радиация, химические воздействия) природы.

Учитывая, что ОС в общем случае представляют собой ограничения (связи), накладываемые на параметры всех типов [87], ОС в достаточно общей форме может быть записано следующим образом:

Наиболее часто используемыми в МСС являются уравнения состояния, записанные в разрешенном относительно напряжений виде:

или в «скоростной» форме:

25

где индексом «r» в левой части (1.3) обозначена та или иная объективная производная, чаще всего – коротационная [76], в правой части этот индекс играет роль просто обозначения отличного от (1.2) оператора.

Определяющие соотношения (1.2) или (1.3) должны быть дополнены [87] еще двумя группами соотношений – эволюционными и замыкающими. О второй группе будет сказано ниже. К эволюционным уравнениям, в отличие от традиционно принятых, здесь относятся соотношения только для внутренних скрытых переменных

Jiδ, δ =1, Β i . В общем виде изменение Jiδ можно описать следующи-

ми эволюционными (кинетическими) уравнениями, которые можно записать разрешенными в терминах или самих внутренних переменных, или их объективных производных:

Для замыкания модели материала требуются уравнения, связывающие явные внутренние переменные, непосредственно входящие в ОС рассматриваемого масштабного уровня, с параметрами воздействия и внутренними скрытыми переменными. Общий вид таких замыкающих уравнений (ЗУ) мало отличается от (ЭУ) (1.4)–(1.5), однако они существенно различаются своим физическим «наполнением», подходами к их установлению и ролью в совокупности уравнений, модели материала, в связи с чем ЗУ выделяются в отдельную группу. Аналогично соотношениям (1.2)–(1.5) ЗУ могут быть записаны в одном из двух видов:

26

Таким образом, в качестве полной системы уравнений, описывающих поведение материала, или конститутивной модели материала будет рассматриваться совокупность ОС (1.2) (или (1.3)), ЭУ (1.4) (или (1.5)) и ЗУ (1.6) (или (1.7)). Отметим [87], что приведенные выше уравнения конститутивной модели (1.2)–(1.7) могут быть представлены математически простыми соотношениями (например, тен- зорно-алгебраическими) или дифференциальными уравнениями первого порядка в отличие от традиционных ОС, записанных в виде функционалов или более сложных операторов над историей воздействий. Следует еще раз подчеркнуть, что (в отличие, например, от соотношений деформационной теории пластичности) при этом предыстория воздействий не отбрасывается, ее «носителями» являются эволюционирующие внутренние переменные.

Заметим, что в некоторых теориях неупругого деформирования могут отсутствовать ЭУ (в принятом здесь смысле), ЭУ и ЗУ могут входить неявным образом в ОС. Правые части всех групп соотношений в качестве аргументов могут содержать части параметров Pα , Jeγ , Jiδ ,

ав некоторых случаях в них может полностью отсутствовать тот или иной тип параметров (чаще всего Jiδ ).

Опыт работы авторов в области построения моделей материалов свидетельствует о предпочтительности использования соотношений скоростного (дифференциального) типа. Вероятно, это связано с большей наглядностью и физической «прозрачностью» установления формы уравнений для скоростей изменения тех или иных параметров «здесь и сейчас» по сравнению с «интегральными» соотношениями, требующими «запоминания» предыстории воздействий. Следует сказать, что большинство известных авторам моделей материалов (особенно в теории пластичности) принадлежат именно скоростному типу. Однако авторы не исключают соотношения «интегрального» типа из рассмотрения. В дальнейшем для определенности примем скоростную форму соотношений и будем называть совокупность соотношений {(1.3), (1.5), (1.7)} конститутивной моделью материала, обозначая эту совокупность как (А):

27

Полагаем, что все соотношения (А) удовлетворяют аксиомам детерминизма и независимости от системы отсчета, сформулированным в общей теории определяющих соотношений [85, 87]. Относительно принципа локальности ситуация несколько сложнее, поскольку в последние годы появилось большое количество работ по нелокальным теориям (в том числе пластичности), поэтому здесь принцип локальности не вводится в число обязательных аксиом. Тем не менее будем считать, что входящие в Pα меры деформированного

состояния определяются градиентами места только первого порядка; нелокальные теории и теории для материалов порядка выше первого можно ввести за счет различного типа конститутивных операторов.

Таким образом, по сравнению с ранее отмеченными публикациями, в предлагаемой работе дано физическое определение внутренних переменных, сформулирована гипотеза, позволяющая перейти к более простой записи определяющих соотношения для материалов с памятью, предложена основанная на введении внутренних переменных структура конститутивной модели.

Предлагаемое пособие ориентировано в первую очередь и главным образом на студентов, обучающихся по естественно-научным (особенно механическим) специальностям и направлениям; вероятно, пособие будет полезно и аспирантам соответствующих специальностей. В то же время авторы попытались в достаточно краткой форме изложить «физический базис» рассматриваемых процессов и эффектов, наблюдаемых механиками в макроэкспериментах. Основной причиной такого подбора материала является существующая (по мнению авторов) необходимость междисплинарной подготовки будущих механиков, привитие физического видения наблюдаемых в макроэкспериментах процессов, развитие навыков использования при разработке

28

моделей материалов огромного материала о механизмах и процессах мезо- и микроуровней, накопленного физиками и материаловедами.

Авторы выражают свою искреннюю признательность профессору Р.А. Васину, взявшему на себя труд скрупулезного анализа рукописи; надеемся, что многочисленные длительные обсуждения наиболее важных аспектов пособия позволили существенно улучшить его содержание (если это удалось не в полной мере, то вина лежит только на авторах). Авторы благодарны также сотрудникам Института механики сплошной среды УрО РАН и его директору академику В.П. Матвеенко за поддержку и ценные советы в процессе подготовки рукописи. Признательность и благодарность авторов – Ю.И. Кадашевичу и С.П. Помыткину, благодаря которым глава 8, посвященная эндохронной теории пластичности, приобрела более современное наполнение.

29

…Для сохранения контакта с МатерьюПриродой необходимы независимые [от господствующих теоретических воззрений] экспериментальные исследования.

Дж. Ф. Белл

2. ПЛАСТИЧНОСТЬ С ПОЗИЦИЙ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ОПЫТОВ

Механика, равно как и все естественно-научные дисциплины, в значительной мере является «эмпирической» областью знаний, основанной на результатах макроэкспериментов (т.е. полученных на образцах макроскопических размеров), накопленных как в лабораторный испытаниях, так и в практической деятельности человечества за сотни и тысячи лет [6]. Несмотря на то, что в последние 15–20 лет изучение процессов пластического деформирования весьма интенсивно ведется на более низких масштабных уровнях (мезоскопическом, микроскопическом и даже атомарном), все более широкое применение находят теории соответствующих уровней, макроэксперименты не потеряли своего значения и в наши дни. Почему? Вопервых, для решения практически важных задач проектирования технологических процессов в подавляющем большинстве случаев используются теории, основанные на макрофеноменологическом подходе, основой которого являются именно макроэксперименты. Во-вторых, идентификация и верификация «более тонких» моделей поведения материала (включая многоуровневые) немыслимы без проведения соответствующих макроэкспериментов. В конечном итоге подтверждение теоретических результатов данными макроэкспериментов только и может служить критерием применимости предлагаемой теории для исследования конкретных процессов. В связи

30