Теория пластичности

предпочтение закону Армстронга – Фредерика и его модификациям. Одна из модификаций предложена автором статьи в 1979 г., согласно которой остаточные микронапряжения определяются тензорной суммой нескольких составляющих, каждая из которых устанавливается законом Армстронга – Фредерика:

Значительная часть статьи посвящена рассмотрению законов упрочнения при простом (пропорциональном) и сложном (непропорциональном) циклическом нагружении (см. гл. 4). В анализируемых работах для учета сложности нагружения вводятся дополнительные (явные) внутренние переменные, однако все приведенные варианты носят макрофеноменологический характер, без явного описания физических механизмов. Подробно обсуждается процедура идентификации модели. Рассматриваются варианты модификации вязкопластических соотношений для учета температурных эффектов.

Приведен обзор ряда других моделей вязкопластичности (Миллера, Боднера, Робинсона и др.), основное внимание уделено отличиям этих моделей от развиваемой автором. Сопоставление результатов расчетов для случая одноосного нагружения показывает, что в интервале скоростей деформаций 10–8–10–1 с–1 все анализируемые модели дают близкие результаты, однако вне этого интервала расхождения достигают существенных величин.

Наряду с моделями, в которых вязкие и пластические деформации рассматриваются как единые (неупругие) деформации, анализируются модели, где принята гипотеза об аддитивности упругих, пластических и вязких деформаций. Приведен вывод ОС для случая конечного числа механизмов деформирования и соответствующих каждому из них критериев текучести, рассмотрены частные случаи двух механизмов – двух критериев и двух механизмов – одного критерия. Кратко описана двухуровневая модель, основанная на физических теориях пластичности (подробнее этот класс моделей будет рассмотрен в гл. 10).

231

Рассмотрены некоторые моногоповерхностные и двухповерхностные теории пластичности (см. гл. 6), проанализированы их возможности для описания таких эффектов циклического деформирования, как односторонняя прогрессирующая пластическая деформация (при циклическом нагружении с отличным от нуля средним напряжением цикла; отметим, что детальный анализ законов кинематического упрочнения и их модификаций, ориентированных на описание данного явления, содержится в работе [94]), дополнительное циклическое упрочнение при непропорциональном циклическом нагружении.

Вопросы для самопроверки

1.Для описания каких процессов в деформируемых твердых телах необходим учет вязких деформаций?

2.Перечислите основные этапы построения ОС с применением структурно-механического подхода.

3. Какие основные структурные элементы используются

вструктурно-механическом подходе?

4.Какие механические процессы описываются с помощью моделей Максвелла и Кельвина – Фойгта? Укажите качественные отли-

чия в поведении материалов, описываемых моделями Максвелла

иКельвина.

5.Приведите структурные схемы моделей Пойнтинга – Томсона, Зинера и Олдройда.

6.Каким образом можно осуществить обобщение одномерных моделей на трехмерный случай?

7.В чем состоит принципиальное отличие вязкоупругих и упруговязкопластических моделей?

8.Проанализируйте качественные диаграммы σ–ε для одноосных моделей Шведова и Бингама.

9.Приведите структурные схемы моделей Исаева – Фэна, Пузрина – Хаулсбая и Сарамито. Проведите качественный анализ поведения материалов, описываемых этими моделями.

232

Любая теория пластичности представляет лишь модель явления и проверке могут подлежать только следствия из этой теории, притом с определенной степенью точности, зависящей от характера рассматриваемой задачи.

Ю.Н. Работнов

8. ЭНДОХРОННАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

8.1. Основные понятия и определения

Как видно из предшествующего материала (гл. 2, 6), установление законов эволюции поверхности (поверхностей) нагружения представляет собой непростую задачу. В связи с этим в построении теории пластичности, начиная с работ А.А. Ильюшина, не прекращались попытки сформулировать определяющие соотношения теории пластичности, позволяющие описывать процессы произвольного нагружения, и в то же время не использующие понятие поверхности текучести. Напомним, что достаточно общая форма ОС этого типа впервые была предложена А.А. Ильюшиным [22, 23]; указанное ОС приведено в гл. 5 (истокообразная форма ОС (5.29)).

К этому же типу теорий относится предложенная в 1971 г. К. Валанисом [203, 204] эндохронная теория пластичности (ЭТП) (достаточно подробное изложение теории содержится в [14, 32, 35, 69, 70]), интенсивно развивающаяся и в настоящее время. Одним из важнейших источников мотивации для автора теории была трудность определения (см. гл. 2) в классической теории пластичности понятия поверхности текучести, особенно для произвольного нагружения, в связи с чем отправным пунктом принят отказ от изначаль-

233

ного постулирования существования такой поверхности. Следует отметить, что в более поздних работах (см., например, [206, 208]) появление такой поверхности как следствия теории автором допускается. В основу теории положено понятие так называемого внутреннего времени, что и обусловливает название теории (в последнее вошли два греческих слова: эндо – внутренний и хронос – время). Определяющий функционал ЭТП имеет сравнительно простую структуру наследственного типа, по виду не отличающуюся от функционала линейной вязкоупругости, однако с заменой физического времени на внутреннее время.

Как и во всех предыдущих теориях, полагается, что рассматривается случай малых деформаций. В исходном варианте К. Валанисом предложена общая формулировка ОС ЭТП следующего вида [204]:

где σ – тензор напряжений Коши, С – тензор свойств материала (четвертого ранга), ε – тензор малых деформаций, z – внутреннее время, определяемое соотношениями:

Здесь Р – неотрицательно определенный тензор четвертого ранга, f ( ) – функция упрочнения, более подробно о ней будет из-

ложено ниже.

В дальнейшем была принята гипотеза изотропии материала в естественной конфигурации; принято, что первые инварианты тензоров напряжений Коши и малых деформаций связаны линейным соотношением, что позволяет перейти к анализу связи соответствующих девиаторов. Далее в настоящем разделе будет использоваться в основном векторное представление процессов нагружения (деформирования). С учетом принятых гипотез определяющие соотношения ЭТП принимают следующий вид:

234

Внутреннее время z в наиболее простом случае определялось соотношением:

dz = ds ( ), f (s ) > 0 . (8.2) f s

В последнем соотношении ds, как и ранее, обозначает длину элементарного участка траектории (полных) деформаций, функция f(s) ответственна за эффекты изотропного упрочнения (разупрочнения) и называется обычно функцией упрочнения; материал является упрочняющимся, если df /ds > 0, и разупрочняющимся, если df /ds < 0.

Для согласования со свойством затухающей памяти ядро функционала (8.1) должно быть убывающей функцией внутреннего времени z, dJ(z)/dz < 0. Для конкретизации вида функции J(z) часто используются известные в теории вязкоупругости реологические соотношения. В частности, в ЭТП широко используется обобщенная модель Максвелла (структурная схема – совокупность N параллельно соединенных вязкоупругих элементов, см. гл. 7), для которой

i=1

где Еi, α i – материальные (положительные) постоянные, определяемые в экспериментах на сложное нагружение.

В случае N = 1 для модели Максвелла (8.3) нетрудно получить дифференциальную форму записи (8.1):

dΣ = 2Gdэ– αΣdz ,

т.е. ОС ЭТП представимы в «релаксационной» форме (первый член правой части играет роль «упругого предвестника», второй характеризует падение накопленных напряжений за счет неупругих процессов – «релаксацию»). Приведенная форма записи ОС ЭТП весьма наглядно демонстрирует механический смысл входящих в ОС пара-

235

метров: параметр α и внутреннее время совместно характеризуют «темп релаксации» напряжений. С физической точки зрения «темп релаксации» определяется микроструктурой материала, особенно – дислокационной субструктурой, наличием дефектов разной размерности и природы (см. гл. 3). Например, образование дислокационных жгутов, кос и т.д., появление дислокационных барьеров типа Ломе- ра–Коттрелла, наличие жестких включений второй фазы должно приводить к существенному торможению процессов релаксации. С указанной точки зрения параметры α и z являются (явными) внутренними переменными (см. гл. 1).

Несмотря на очевидную простоту (можно даже сказать – изящность) ОС ЭТП, они позволили качественно описать многие интересные эффекты, наблюдаемые при пластическом деформировании. В частности, ЭТП качественно достаточно хорошо описывает эффекты линейного и нелинейного упрочнения, гистерезис и стабилизацию петель гистерезиса при циклическом деформировании, «нырок»

винтенсивности напряжений в окрестности точки излома траектории деформации и ряд других [69]. В то же время количественное соответствие экспериментальных данных и результатов расчетов с помощью ЭТП (в рассматриваемом начальном варианте) нельзя признать удовлетворительным.

Причиной указанного несоответствия является, как отмечается

в[69], отсутствие в ОС (8.1)–(8.3) зависимости от сложности нагружения, «переупрощенность» уравнений по сравнению с общим видом ОС пластичности или с достаточно общей истокообразной формой (5.29) определяющих соотношений. Например, приращение напряжений (с точностью до знака) при приращении деформации dэ, по сути дела, одинаково как для активного деформирования (Σ·dэ > 0), так и для пассивного деформирования (Σ·dэ < 0). С физической точки зрения подобный факт представляется необъяснимым.

Вработе [68] на основе разложения общего функционала пластичности (истокообразной формы ОС) в ряд Фреше–Вольтерра показано, что рассмотренный первоначальный вариант ЭТП с достаточной точностью может быть использован для описания процессов

236

деформирования по траекториям кривизны не выше средней. Более сложные траектории (например, большой кривизны или с изломами) описываются соотношениями (8.1)–(8.3) лишь приближенно. Иначе говоря, несоответствие экспериментальных и теоретических данных является не следствием неверно определенных материальных констант или неверным набором экспериментов, а внутренне присуще рассматриваемым определяющим соотношениям. В силу этого первоначальный вариант ЭТП был подвергнут основательной критике в многочисленных публикациях, что побудило приверженцев ЭТП (включая ее автора) к созданию «исправленных вариантов» ЭТП. При этом наметились два основных пути «ревизии» теории: 1) изменение вида ОС ЭТП; 2) изменение определения внутреннего времени.

8.2. Модификации ЭТП, основанные на изменении вида ОС и меры внутреннего времени

Одним из возможных подходов, отмеченных в [35, 69], является усложнение вида функционала (подход в рамках первого направления модификации ЭТП), представление его в виде суммы кратных интегралов по внутреннему времени; например, для описания процессов деформирования с кривизной, большей средней, требуется включение в (8.1) добавочного члена – тройного интеграла по внутреннему времени. Естественно, это приводит к необходимости определения дополнительного ядра для второго интегрального члена (содержащего уже четыре параметра), что связано с труднопреодолимыми сложностями (прежде всего – экспериментальными исследованиями; однако и использование подобных соотношений при постановке и решении конкретных краевых задач существенно усложняется).

К этому же пути относится другой вариант модификации ЭТП, предложенный Ю.И. Кадашевичем и А.Н. Михайловым [32]. В цитируемой работе предлагается так называемое тензорно-параметрическое представление определяющего функционала:

237

0

Здесь используется вспомогательный вектор R, играющий роль параметра; в цитируемой статье данный параметр детально не обсуждается, отсутствует его конкретное определение; отмечается только, что этот вектор характеризует влияние микродеформаций (микронапряжений) (см. гл. 6) на процесс упругопластического деформирования (в смысле деформирования представительного макрообъема). Введение двух ядер L1 и L2 вместо одного в первоначальном варианте ЭТП позволяет существенно расширить возможности теории (увеличить «число степеней свободы»), однако делает ее более сложной.

В цитируемой выше статье на основе анализа соотношений теории пластического течения и использования понятия микродеформаций (микронапряжений) предлагается дифференциальная форма тензорно-параметрических ОС вида:

Особо подчеркивается, что (8.5) коренным образом отличаются от ОС теории пластического течения тем, что они справедливы при любой истории деформирования как при активном нагружении, так и при разгрузке. Определение функций ai(z), bi(z), ci(z) (i = 1,2) требует проведения экспериментов на сложное нагружение. Как отмечается в [68], дифференциальная форма параметрических ОС более удобна для практических расчетов.

В рамках приведенной модификации ЭТП остается открытым вопрос об определении вспомогательного вектора R; в ряде работ

238

в качестве последнего предлагается использовать вектор пластических деформаций эp = э− Σ 2G .

Другое направление модифицирования ЭТП связано с изменением меры внутреннего времени при сохранении исходной структуры уравнений. Одним из первых модификацию такого типа предложил автор теории К. Валанис [205], введя новую меру внутреннего времени следующими соотношениями:

теории [205] физический смысл параметра χ не обсуждался, полагалось, что χ [0,1].

Другой вариант изменения меры внутреннего времени был предложен А.Б. Мосоловым (1980 г.). Им была введена явная зависимость меры внутреннего времени от геометрических характеристик процесса деформирования:

экспериментально; сложность нагружения в определении (8.7) учитывается неявным образом за счет введения угла ϑ 1 .

Применение предложенной К. Валанисом новой меры внутреннего времени (8.6) позволило существенно улучшить соответствие экспериментальных и теоретических результатов. Однако и данный вариант ЭТП не освободился от недостатков первоначальной формулировки теории. К числу последних относятся нарушение постулатов Драккера и Ильюшина, появление в теоретических результатах не свойственных классической теории пластичности эффектов циклической ползучести и релаксации напряжений (как отмечается

239

в [51], последнее следует скорее отнести к достоинствам теории, поскольку указанные эффекты действительно наблюдаются в экспериментах). В попытках избежать эти недостатки в значительном числе работ стали полагать параметр χ равным единице. Однако, как показано в ряде работ (см., например, [69, 205, 206, 208] и др.), это привело к возникновению сингулярности в соотношениях и появлению в теории поверхности текучести. Сингулярность ядра очевидна в силу необходимости отличия вектора напряжений от нулевого в области упругих деформаций (при равенстве нулю введенной меры внутреннего времени). Поверхность текучести в цитируемых работах определена в предположении несингулярности ядра как геометрическое место точек Σ при стремлении ξ → 0+ при χ = 1. Как отмечает-

ся в [69], теория тем самым лишается исходных преимуществ, декларированных при ее формулировке с самого начала. Следует, однако, отметить, что автор теории считал допустимым появление в теории поверхности текучести, однако как следствия исходных соотношений, а не постулируемого с самого начала утверждения о существовании такой поверхности (см., например, [208]). В упомянутых работах показано также, что в данном случае ОС ЭТП преобразуются к соотношениям одноповерхностной теории пластического течения с комбинированным упрочнением и интегральным законом изменения тензора внутренних микронапряжений. Приведенное выше исходное соотношение в работах К. Валаниса [205, 206 и др.] и его последователей было заменено на следующее (в терминах девиаторов напряжений и деформаций):

ро, dер = de – dS/2G – девиатор бесконечно малых приращений пластических деформаций, dz = dsp / f (sp) – внутреннее время, sp – длина дуги пластической деформации. Нетрудно видеть, что в данное соот-

240