Теория пластичности

ность (на рис. 4.3 изображена ситуация с нарушением последнего условия). Введенные выше условия текучести удовлетворяют второму положению; первое же используется при формулировке определяющих соотношений. При этом оно часто постулируется независимо в виде принципа градиентальности (или закона нормальности).

Рис. 4.3. Схема к постулату пластичности

Следует отметить, что сам Драккер подчеркивал, что сформулированный им постулат не следует из термодинамики и называл его «квазитермодинамическим» [81].

Наряду с постулатом Драккера в теории пластичности широкое распространение имеет альтернативный постулат пластичности, сформулированный А.А. Ильюшиным: во всяком замкнутом по де-

формациям изотермическом процессе нагружения (деформирования) работа напряжений неотрицательна,

ε

Аналогично приведенному выше можно показать, что

141

Из постулата пластичности Ильюшина также следует принцип градиентальности. При этом можно показать, что ∆ Aσ ≥ Aε , т.е. из

(4.41) следует (4.37), но не наоборот.

Отметим, что в ряде работ по теории пластичности в силу связи векторов напряжений и деформаций условие текучести, принцип градиентальности и т.д. переформулируются в терминах пространства деформаций.

Альтернативные подходы к формулировке ОС теории пластичности основаны на использовании одного из принципов максимума.

4.5. Принципы максимума

Пластические деформации, как известно, являются необратимыми, значительная часть работы напряжений на пластических деформациях превращается в тепловую энергию (диссипирует). Доля «запасаемой» материалом энергии (от 3 % до десятков процентов) зависит от его микроструктуры, типа атомарных связей, условий нагружения. Следует отметить, что эта часть энергии является внутренней энергией дефектов различной природы и масштабов (см. гл. 3), которая не высвобождается при разгрузке образца на макроуровне, для ее релаксации требуются глубокие перестройки мезо-, микро- и атомарной структуры. Подобные перестройки происходят, например, при термообработке образцов.

Мощность диссипации механической энергии (часто называемая также функцией диссипации) определяется соотношением

деформации, σ – вызывающий эту скорость деформации тензор напряжений (можно назвать эти напряжения ассоциированными с Dp );

142

очевидно, что σ удовлетворяет (4.35). Введем тензор напряжений σ*, также удовлетворяющий условию пластичности (4.35), но не ассоциированный с Dp ; такие напряжения будем называть допустимыми. Тогда можно сформулировать следующий принцип максимума диссипации механической энергии:

при фиксированных параметрах ρ, q, εp для предписанной скорости пластической деформации Dp из всех допустимых тензоров напряжений действительное напряжение σ, ассоциированное с Dp , производит максимальную мощность диссипации,

Влитературе сформулированное утверждение называют иногда принципом максимума Мазинга [21] (в монографии [29] это утверждение названо принципом Мизеса). Из принципа максимума, равно как из постулатов пластичности, вытекают выпуклость поверхности пластичности и принцип градиентальности. В работе [81] принципом максимума Мизеса называется аналогичный принцип для случая идеальной пластичности (отсутствие изотропного и кинематического упрочнения). В этом случае из условия экстремума функции Ф = Np – pf(σ), где р – неопределенный множитель Лагранжа, непосредственно следует ассоциированный закон течения [81].

Внекоторых случаях (например, при использовании условия пластичности Треска–Сен-Венана) принцип максимума формулируется в ослабленной форме, с заменой строгого неравенства на нестрогое:

Из ослабленного принципа Мазинга также следует принцип градиентальности, однако вместо условия выпуклости поверхности пластичности из него вытекает условие невогнутости последней.

Аналогичный принцип в пространстве скоростей деформаций был сформулирован Г. Циглером [91]. Вернемся к диссипативной функции (4.43). Для классической упругопластичности (нечувстви-

143

тельной к скорости деформации и опирающейся на понятие поверхности пластичности и принцип градиентальности) тензор напряжений не зависит от величины скорости деформации, он определяется предшествующей историей упругопластического деформирования и направляющим (единичным) тензором Dp / | Dp |(| Dp | = ( Dp : Dp )1/2). В силу этого диссипативная функция является однородной функцией первого порядка по Dp . Напомним, что функция нескольких переменных f (x1, …, xn) называется однородной степени (порядка) r, если f (kx1, …, k xn) = kr f (x1, …, xn). Для такой функции справедлива теорема Эйлера об однородных функциях, математическое выражение которой имеет вид:

Тогда для диссипативной функции справедливо следующее представление:

Сопоставляя (4.43) и (4.46), нетрудно установить соотношение

называемое в некоторых работах [21, 29] ассоциированным законом нагружения.

При фиксированной истории пластических деформаций урав-

нения

определяют в пространстве скоростей деформаций поверхности равного уровня диссипативной функции. Совокупность скоростей пластических деформаций D*p , удовлетворяющих при той же истории пластических деформаций соотношению

144

будем называть множеством допустимых скоростей пластических деформаций. Иначе говоря, если в пространстве скоростей пластических деформаций определена поверхность равного уровня диссипативной функции (4.48), то вектор возможных скоростей пластических деформаций расположен внутри объема, определенного данной поверхностью.

Приведем формулировку принципа максимальной скорости диссипации [91]: при фиксированной предыстории пластических деформаций из всех возможных скоростей пластических деформаций (т.е. удовлетворяющих (4.49)) действительные скорости пластических деформаций доставляют максимум диссипативной функции,

Из последнего неравенства вытекает невогнутость (при строгом неравенстве – выпуклость) поверхностей равного уровня диссипативной функции и (в случае однородной первого порядка диссипативной функции) ассоциированный закон нагружения (4.47).

В [21, 29] показана эквивалентность принципов максимума Мизеса (в пространстве напряжений) и Циглера (в пространстве скоростей пластических деформаций). Таким образом, два приведенных принципа дают альтернативные эквивалентные возможности формулировки ОС упругопластического тела.

Вопросы для самопроверки

1.Что понимается в МСС под телами?

2.Приведите определения представительного объема и времени релаксации.

3.Для чего в теории пластичности вводится понятие промежуточной конфигурации?

4.Приведите выражения градиентов места в отсчетной, актуальной и промежуточной конфигурациях.

145

5.Запишите последовательность преобразований бесконечно малого материального отрезка в отсчетной конфигурации в отрезок

впромежуточной и актуальной конфигурациях.

6.Какие основные меры напряженного состояния применяются

втеории пластичности и почему?

7.Запишите выражения для определения главных инвариантов тензора малых деформаций, девиаторов тензора напряжений Коши и тензора малых деформаций.

8.Приведите выражения интенсивностей напряжений, деформаций и скоростей деформаций.

9.Запишите соотношения для определения интенсивностей касательных напряжений, деформаций сдвига и скоростей деформаций сдвига. В чем их отличие от выражений интенсивностей напряжений, деформаций и скоростей деформаций?

10.Приведите запись тригонометрического представления главных значений девиаторов напряжений и деформаций.

11.Запишите параметр Надаи–Лоде для напряженного и деформированного состояний, объясните его механический смысл.

12.Приведите выражение параметра Надаи–Лоде через угол вида напряженного (деформированного) состояния, дайте его интерпретацию с использованием представления напряженного (деформированного) состояния на октаэдрической площадке.

13.Приведите соотношения для построения кругов Мора, дайте механическую интерпретацию диаграммы Мора.

14.Какие способы разложения мер деформации на упругую и пластическую составляющие вам известны? Назовите область применимости каждого из способов?

15.Запишите общий вид соотношения для определения поверхности пластичности. Какими свойствами, следующими из общего вида соотношения, обладает поверхность текучести?

16. Приведите критерии пластичности Треска – Сен Венана и Мизеса – Губера – Генки, дайте их объяснение с позиций механики деформируемого твердого тела.

146

17. Исследуйте критерий (4.27) (постройте на девиаторной плоскости след поверхностей текучести при различных α, покажите, что при α → ∞ из него следует критерий Треска – Сен Венана).

18.Какие законы упрочнения вам известны? Приведите их математическую запись.

19.Сформулируйте постулат Драккера и приведите его математическую запись.

20.Запишите локальный принцип максимума. Какие важные следствия вытекают из него?

21.Приведите формулировку постулата пластичности А.А. Ильюшина. Вчем его отличия от постулата Драккера?

22.Сформулируйте принцип максимума Мазинга, приведите комментарии с позиций МДТТ.

23.Приведите формулировку принципа максимальной скорости диссипации Циглера. Какие следствия вытекают из него?

147

Теория производит тем большее впечатление, чем проще её предпосылки, чем разнообразнее предметы, которые она связывает,

и чем шире область её применения

А. Эйнштейн

5.ТЕОРИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ А.А. ИЛЬЮШИНА

Одной из наиболее глубоких теорий пластичности, нашедших широкое признание в ХХ веке, является теория упругопластических процессов (УПП) А.А. Ильюшина [14, 20, 24]. Несмотря на то, что исторически первыми появились теории пластического течения, изложение в настоящей работе в качестве первой именно теории УПП обусловлено широким использованием в современных теориях пластичности (включая и теорию пластического течения) понятий, определений, геометрической интерпретации, впервые введенных А.А. Ильюшиным.

5.1. Основные понятия и определения

Следует подчеркнуть, что в настоящем пособии рассматриваются только геометрически линейные теории пластичности, пригодные, строго говоря, только для описания процессов деформирования с малыми градиентами перемещений. С некоторыми проблемами, возникающими при рассмотрении деформирования с большими градиентами перемещений, можно познакомиться в [76].

Как и в большинстве других теорий, предполагается, что с достаточной обоснованностью может использоваться гипотеза о линейной связи первых инвариантов тензора напряжений Коши σ и тензо-

148

ра малых деформаций ε (или средних напряжений σ и деформаций ε, σ = Κε , K = E(1 – 2ν) – модуль объемного сжатия, Е – модуль упругости, ν – коэффициент Пуассона). В связи с этим дальнейшее рассмотрение может быть сосредоточено на связи девиаторных составляющих тензоров напряжений S и деформаций e.

Как отмечено выше, в последние годы в работах по теории пластичности широко используется предложенное А.А. Ильюшиным векторное (геометрическое) представление процесса деформирования (нагружения). С чем связана распространенность такого представления? Казалось бы, пятимерное векторное пространство так же трудно воспринимается, как и соответствующее девиаторное пространство. Однако в настоящее время реализуемыми экспериментально являются только процессы деформирования в трехмерном пространстве (см. гл. 2), в котором наглядность векторного представления процесса очевидна. В случае теоретического анализа для большей размерности пространства используются векторные представления в нескольких двух- и трехмерных подпространствах пятимерного пространства, также обладающие большой наглядностью.

Согласно этому представлению пяти независимым компонентам девиатора деформаций eij (напряжений Sij ), определенным в некоторой

выбранной лабораторной системе координат (обычно декартовой ортогональной), во взаимно однозначное (линейное) соответствие ставятся пять компонент вектора деформаций эi (напряжений Σ i), которые относят к векторам ортонормированного, фиксированного в соответствую-

э Э(5), Σ Σ (5), Э(5) и Σ (5) – пятимерные векторные пространства деформаций и напряжений соответственно. Отметим, что линейное соответствие e ~ э, S ~ Σ выбирается обычно таким образом, что

149

модули э и Σ векторов деформаций и напряжений равны соответственно интенсивностям деформаций εu и напряжений σ и. В этом

случае связь компонентов векторов напряжения и деформаций с компонентами соответствующих девиаторов может быть выражена, например, следующими соотношениями:

Инвертируя (5.2) и (5.3), получаем соответственно следующие соотношения:

150