Теория пластичности
..pdfДля случая одноосного нагружения данный вопрос решается относительно просто: материал деформируется упруго, пока напряжения в нем не достигнут некоторой характерной для рассматриваемого материала величины (предела текучести σs ). Дальнейшее на-
гружение приводит к необратимым изменениям формы образца, т.е. к пластическим деформациям. Если, начиная с некоторого момента неупругого деформирования, нагрузка уменьшается (образец разгружается), то, как показывают эксперименты, разгрузка достаточно точно описывается законом Гука. Таким образом, для установления вида деформирования – упругое или упругопластическое – при одноосном нагружении достаточно иметь кривую деформирования данного материала, деформацию, напряжение и направление деформирования в данный момент времени.
Однако в большинстве случаев приходится иметь дело с многоосным напряженно-деформированным состоянием (НДС). Как в этом случае отделить область упругого от области неупругого деформирования? В этой ситуации в теории пластичности вводится шестимерное пространство напряжений или пятимерное пространство девиаторов напряжений (точки этого пространства определяются компонентами тензора напряжений или его девиатора). Полагается, что деформирование осуществляется упругим образом до тех пор, пока изображающая точка в пространстве напряжений не достигнет некоторой характерной для данного материала поверхности – поверхности пластичности (или поверхности текучести). В шестимерном пространстве напряжений поверхность пластичности может в некоторых направлениях простираться до бесконечности, в девиаторном пространстве напряжений поверхность пластичности всегда замкнута.
Для начально изотропного материала поверхность пластичности должна быть функцией инвариантов тензора напряжений Коши. При этом, как уже отмечалось, для металлов и сплавов в широком диапазоне изменения среднего напряжения последнее практически не оказывает влияния на возникновение пластического деформирования, о чем свидетельствуют многочисленные экспериментальные
131
исследования [6]. При использовании данного предположения для начально изотропного материала условие пластичности (текучести) может быть записано в виде
f (I2 (S), I3 (S);σS ) = 0, |
(4.21) |
или |
|
f (S1 ,S2 ,S3 ;σS ) = 0, |
(4.22) |
где Si – главные значения девиатора напряжений S, |
I2 (S), I3 (S) – |
второй и третий инварианты S. Отметим, что вводимый критерий пластичности должен выполняться и для случая одноосного растя- жения–сжатия или для случая чистого сдвига.
Одним из исторически первых был критерий Треска–Сен- Венана, называемый также условием постоянства максимальных касательных напряжений. Согласно этому критерию наступление пластического деформирования отвечает достижению на одной из площадок максимальных касательных напряжений характерной для данного материала величины
| τi |
|= |
1 |
| σi +1 − σi +2 |≤ |
1 |
σS , |
(4.23) |
|
2 |
|||||
|
2 |
|
|
|
||
где σS – предел текучести материала (определяется в опытах на одноосное нагружение), индексы взяты по модулю 3. Совокупность уравнений | σi − σi +1 |= σs определяет в пространстве напряжений правильную шестигранную призму с осью σ1 = σ2 = σ3 , равнонакло-
ненной к осям главных напряжений (вдоль этой оси призма простирается в бесконечность); след этой поверхности на девиаторной плоскости представляет собой правильный шестиугольник. НДС, определяемое изображающими точками внутри призмы, является упругим; наступлению упругопластического деформирования соответствует выполнение одного или двух условий (4.23) со знаком равенства, т.е. положению изображающей точки на одной из граней
132
или ребер призмы. Заметим, что (4.23) может быть записано в терминах девиатора напряжений: | Si − Si+1 |≤ σs .
Недостатком критерия Треска–Сен-Венана является наличие особых точек (ребер) поверхности текучести, что создает определенные трудности при дальнейшем применении его для построения определяющих соотношений. В связи с этим Мизесом (а позднее Губером и Генки) было предложено заменить шестигранную призму описанным круговым цилиндром:
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
∑(Si − Si +1 )2 = 2σs2 , |
(4.24) |
||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σu |
= σs , |
(4.25) |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τи = |
1 |
σs . |
(4.26) |
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
В некоторых случаях вводят предел текучести при чистом |
||||||
сдвиге τS |
= |
1 |
σS и последнее условие записывается в виде τи = τS . |
|||
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
Эксперименты показывают достаточную для практических расчетов точность рассмотренных критериев текучести. При этом для поликристаллических материалов условие текучести Мизеса (называемое иногда условием Мизеса–Губера–Генки) выполняется несколько лучше, чем условие Треска–Сен-Венана.
Обобщение рассмотренных выше критериев пластичности предложено в работе [143]:
3 |
|
∑(Si − Si+1 )2α = 2σS2α , |
(4.27) |
i=1
где α – материальный параметр. Нетрудно видеть, что при α = 1 из (4.27) следует критерий текучести Мизеса; можно показать, что при стремлении α → ∞ соотношение (4.27) приводит к критерию Треска – Сен-Венана.
133
Следует отметить, что исключение из критерия пластичности первого инварианта тензора напряжений является достаточно обоснованным для так называемых компактных материалов. В то же время для пористых сред, порошковых материалов среднее напряжение оказывает существенное влияние на наступление и протекание процесса пластического деформирования. В связи со сказанным в критерий текучести и определяющие соотношения подобных материалов входит и первый инвариант I1 (σ) .
Заметим также, что, по существу, в критерии пластичности, описанные выше, входит лишь второй инвариант тензора напряжений. Отсутствие в нем третьего инварианта объясняется геометрическим смыслом последнего (как направления сдвигового напряжения на октаэдрической площадке) и изотропностью материала. Однако подобное объяснение едва ли можно признать удовлетворительным. Необходимость введения I3 (S) в условие пластичности периодиче-
ски обсуждается в публикациях по теории пластичности.
В процессе нагружения поверхность, разделяющая области упругого и пластического деформирования, называемая поверхностью нагружения (пластичности), может претерпевать существенные изменения положения и формы в пространстве напряжений Σ5 (пятимерное девиаторное или соответствующее ему векторное пространство, см. гл. 5). В случае, если поверхность пластичности неизменна, материал называют идеально-пластическим, а поверхность пластичности в этом случае называют поверхностью текучести [21]. Если же процесс пластического деформирования сопровождается изменением поверхности пластичности, то материал называется упрочняющимся; поверхность пластичности в этом случае иногда называют также поверхностью нагружения или поверхностью упрочнения. В дальнейшем, чтобы не создавать терминологические трудности, термины «поверхность пластичности» и «поверхность текучести» будут использоваться как синонимы, случай идеальной пластичности полагается частным случаем пластичности упрочняющихся материалов.
134
Претерпеваемые поверхностью нагружения трансформации зависят от истории нагружения. Для многих технологических задач теории пластичности с достаточной точностью претерпеваемые поверхностью нагружения изменения описываются с помощью двух распространенных законов упрочнения – изотропного и кинематического или их комбинацией.
Закон изотропного упрочнения может быть записан в следующем виде:
σu = σT (q) , |
(4.28) |
где q – параметр, характеризующий предшествующую пластическую деформацию, σT – сопротивление деформации («текущий предел текучести»). В качестве параметра q может быть принята либо интенсивность пластических деформаций εup , либо накопленная пла-
стическая деформация sp (длина дуги пластической деформации). Аналогом последней является параметр Одквиста,
q = ∫ |
dHp |
= ∫ |
2dep : dep . |
(4.29) |
В ряде работ в качестве данного параметра используется рабо- |
||||
та пластической деформации: |
|
|
||
|
q = ∫σ |
: dε p . |
(4.30) |
|
Определение зависимости σT (q) осуществляется на основе
экспериментальных данных с привлечением гипотезы единой кривой. Напомним, что согласно этой гипотезе интенсивность напряжений зависит от интенсивности накопленных пластических деформаций sp (или от интенсивности пластических деформаций, или от некоторой иной величины, выбранной в качестве параметра q), но не от вида НДС. В связи с этой гипотезой для определения σT (q) доста-
точно провести эксперименты по одноосному нагружению. Гипотеза единой кривой оказывается достаточно точной для углеродистых и
135
низколегированных сталей, титановых сплавов; в то же время для некоторых алюминиевых и магниевых сплавов, для высокопрочных сталей имеют место отклонения от неё [81]. В качестве законов изотропного упрочнения часто используются степенные функции вида
σT = Aqm + B .
Кинематическое упрочнение описывает перемещение поверхности нагружения в пространстве напряжений, чем и обусловлено название. Один из наиболее распространенных законов кинематического упрочнения может быть представлен следующим соотношением:
3 |
(S − ρ ) : (S −ρ ) − σs2 = 0 |
(4.31) |
|
2 |
|||
|
|
где ρ – тензор (девиатор) так называемых «остаточных микронапряжений» (или «обратных напряжений», back – stress), определяющий в данном случае положение центра гиперсферы в пространстве напряжений; в качестве эволюционного уравнения для ρ может использоваться, например, соотношение (предложенное независимо А.Ю. Ишлинским и В. Прагером) вида:
dρ = k dep , |
(4.32) |
где k – экспериментально измеряемая константа. Подробнее законы кинематического упрочнения будут рассмотрены при анализе модификаций теории пластического течения (гл. 6).
С помощью закона кинематического упрочнения можно описать хорошо известный в пластичности эффект Баушингера. Последний состоит в уменьшении предела текучести после разгрузки и нагружении «в обратном» по отношению к первоначальному направлению деформирования в пространстве деформаций Э(5) .
Совместное использование законов (4.28) и (4.31) приводит к так называемому комбинированному закону упрочнения
3 |
(S − ρ ): (S −ρ ) − σT2 (q) = 0. |
(4.33) |
|
2 |
|||
|
|
136
В общем виде условие пластичности тогда можно записать следующим образом:
f (S,ρ, q) ≤ 0 |
(4.34) |
или |
|
f (σ,ρ, q) ≤ 0 . |
(4.35) |
Отметим, что в случае неизотермического нагружения напря- |
|
жение течения σT зависит также от температуры σT |
= σT (q,θ) . |
Нетрудно видеть, что приведенные выше соотношения для функции текучести пригодны только для изотропных материалов. В то же время в зависимости от предшествующей обработки материалы даже в состоянии поставки могут обладать существенной анизотропией пластических свойств. Кроме того, при глубоком пластическом деформировании (например, в процессах обработки металлов давлением степени деформаций могут достигать сотен процентов) и начально изотропные материалы могут приобретать анизотропию физико-механических свойств. В связи с этим обстоятельством требуется модификации соотношений типа (4.33). Одно из первых обобщений было предложено Р. Хиллом и имеет следующий вид [90]:
3 |
(S − ρ ) : H : (S −ρ ) − σT2 (q) = 0 , |
(4.36) |
|
2 |
|||
|
|
где Н – тензор 4-го ранга, определяющий симметрийные свойства материала. Следует отметить, что в общем случае тензор Н изменяется в процессе пластического деформирования.
Большинство конструкционных материалов обладает свойством деформационного упрочнения. Однако в ряде случаев, особенно при повышенных температурах, деформационным упрочнением можно пренебречь и положить коэффициент деформационного уп-
рочнения E |
|
= |
∂ σT |
равным нулю. В этом случае материал называет- |
|
t |
∂ sp |
||||
|
|
|
ся идеально пластическим, напряжение течения σT полагается постоянным и равным пределу текучести: σT (q) = σS = const.
Понятно, что эволюция поверхности текучести при деформировании является следствием процессов изменения микроструктуры на мезо- и микроуровнях (вообще говоря, и на более низких масштабных уровнях). В связи с этим очевидно, что параметры, описывающие положение и форму этой поверхности, с полным основанием можно отнести к (явным) внутренним переменным. Следует подчеркнуть, что построение адекватных исследуемому процессу пластического деформирования и достаточно универсальных законов, описывающих эволюцию поверхности текучести, требует тщательного рассмотрения физики процесса.
Формулировка определяющих соотношений классической теории пластичности базируется либо на одном из постулатах пластичности, либо на одном из принципов максимума, которые изложены ниже.
4.4. Постулаты пластичности
При построении определяющих соотношений теории пластичности (впрочем, как и любой другой) важным моментом являются отделение физически реализуемых от физически нереальных ситуаций при описании деформирования рассматриваемых тел и формулировка соответствующих критериев. Указанные критерии в макрофеноменологической теории пластичности являются обычно обобщением большого числа экспериментальных исследований, обоснованных с физической точки зрения, и формулируются в виде некоторых постулатов или принципов.
Одним из наиболее употребимых в теории пластичности явля-
ется постулат Драккера: в любом замкнутом по напряжениям процессе нагружения (с началом в точке σ 0 ) работа дополнительных
напряжений ∆ σ = σ −σ 0 неотрицательна, т.е.
138
∆ Aσ = v∫∆ σ : dε≥ 0 . |
(4.37) |
σ |
|
Представим входящие в подынтегральное выражение тензоры в виде
∆ σ = ∆ S+∆ σE= (S− S+) (σ− σ) E, dε = d+e dεE . |
|
0 |
0 |
Тогда |
|
∆ Aσ = v∫∆ S : d+e v∫∆3 σdε. |
|
S |
σ |
Поскольку в силу принятой ранее гипотезы dε = dσ / K, второй член в правой части последнего соотношения может быть про-
интегрирован: v∫ |
3 |
(σ− σ0 )dσ = |
3 |
( |
σ2 |
− σσ0 ) + C , а поскольку инте- |
K |
K |
2 |
||||
σ |
|
|
|
|
|
|
грал определяется по замкнутому контуру, то он равен нулю. Представив далее de суммой упругих и пластических составляющих,
de = dee + dep , и производя аналогичные преобразования для члена
∆ S : dee= (S − S0 ) : |
dS |
, получаем |
|
|
|
||
|
2G |
|
|
|
|
v∫ ∆ S : dee= 0 . |
|
|
|
S |
|
Тогда окончательно имеем |
|
||
|
|
∆ Aσ = v∫ (S − S0 ) : dep≥ 0 . |
(4.38) |
|
|
S |
|
Знак равенства реализуется только при dep = 0 или при ортогональности (S − S0 ) и dep . С учетом (4.38) получаем, что при чисто
упругом деформировании уравнение (4.37) выполняется со знаком равенства, вклад в работу напряжений вносят только участки пластического деформирования. Рассмотрим деформирование по замкнутой по напряжениямтраекторииАВСDА(рис. 4.2), причемтакое, прикоторомна
139
|
участках AB и CDA деформиро- |
||
|
вание осуществляется |
упругим |
|
|
образом (упругая нагрузка и уп- |
||
|
ругая разгрузка), а участку BC |
||
|
отвечают бесконечно малые при- |
||
|
ращения девиатора пластической |
||
|
деформации dep и бесконечно |
||
|
малые изменения девиатора на- |
||
|
пряжений S. Тогда, пренебрегая |
||
|
малыми второго |
порядка, из |
|
Рис. 4.2. Иллюстрация |
(4.38) получаем |
|
|
к постулату Драккера |
(S − S0 ) : dep |
≥ 0 . |
(4.39) |
|
|||
Последнее неравенство в теории пластичности иногда называют локальным принципом максимума. Отметим, что знак равенства в (4.39) при ненулевых пластических деформациях реализуем только для случая идеально-пластической среды; для упрочняющегося материала знак равенства возможен только при dep = 0 .
Следует заметить, что физически реализуемым является выбор начальной точки S0 внутри или на поверхности текучести для любо-
го анализируемого замкнутого цикла нагружения.
Неравенство (4.39) может быть представлено в векторной форме
(Σ− Σ0 ) : dэp ≥ 0 , |
(4.40) |
т.е. угол между векторами добавочных напряжений (Σ− Σ0 ) |
и прира- |
щений пластических деформаций dэp всегда нетупой (рис. 4.3). Отсюда следует, во-первых, что в совмещенных векторных пространствах деформаций Э(5) и напряжений Σ(5) (см. гл. 5) вектор dэp направлен вне поверхности текучести по нормали к ней (в противном случае выбором Σ и Σ0 всегда можно добиться отрицательности рассматривае-
мого скалярного произведения); во-вторых, поверхность текучести должна представлять собой выпуклую (точнее, невогнутую) поверх-
140