Теория пластичности

25.Проведите сравнительный анализ гипотез Кренера, Фойгта

иРейсса, попытайтесь построить структурно-механические модели, соответствующие этим гипотезам (одномерный случай).

26.Приведите соотношения квазистатистической теории пластичности для случая бесконечного числа элементов. Проведите качественный математический анализ системы соотношений.

27.Приведите примеры, свидетельствующие о необходимости разработки теории пластичности для начально анизотропных материалов.

28.Предложите процедуру идентификации для функций теку-

чести (6.46) и (6.47).

29.Задаваясь гипотетическими значениями материальных констант, для случая ПНС постройте графически и сопоставьте между собой поверхности текучести, соответствующие уравнениям (6.46)

и(6.47) при различных значениях параметра α.

30.Используя ассоциированный закон течения и уравнения поверхности текучести (6.46) и (6.47), получите соотношения для дифференциала тензора пластических деформаций.

31.Аналогично п. 30 – для уравнения (6.48).

211

Понимание редко возникает из сложного беспорядочного моделирования, а много чаще – из грубого упрощенчества. Как только определен существенный механизм, просто проверить его на прочность путем добавления все новых и новых деталей.

Пер Бак

7. ТЕОРИИ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОСТИ

7.1. Основные понятия

Как неоднократно отмечалось в предыдущих главах, в классической теории пластичности не оперируют физическим временем, его роль играет неубывающий параметр, чаще всего – длина дуги полной или пластической деформации. В связи с этим в теории пластичности не используется и понятие скорости деформации в общепринятом смысле, скорость деформации может быть заменена производной по длине дуги деформации.

Однако реальные процессы неупругого деформирования происходят одновременно по нескольким механизмам (см. гл. 3), для описания некоторых из них физическое время является необходимым. В первую очередь к таковым относятся механизмы, связанные с диффузионными процессами – диффузией атомов и вакансий, неконсервативным движением дислокаций, взаимодействием различных дефектов. В связи с тем, что отмеченные процессы являются термоактивируемыми, важным становится учет термических процессов.

Уже в ранних опытах в XVIII – XIX веках (см. гл. 2) было показано влияние скорости нагружения на отклик материала. О необходимости учета вязкости в твердых телах в 1890 г. весьма определенно писал У. Томсон (лорд Кельвин). Исходя из термодинамиче-

212

ских соображений, он отмечал: «Никаких изменений объема или формы не может быть получено ни в каком виде материи без диссипации энергии» (цитируется по [82]). И далее: «В упругом твердом теле существует молекулярное трение, которое с должным основанием может быть названо вязкостью твердого тела, поскольку, будучи внутренним сопротивлением изменению формы в зависимости от скорости изменения, оно должно быть того же класса, что и молекулярное трение жидкости, которое с общего согласия называется вязкостью жидкости». В связи с вышеизложенным (даже при использовании соотношений классической теории пластичности) идентификация моделей проводится в диапазоне скоростей деформаций, характерных для исследуемого процесса; т.е. влияние времени и скорости деформации учитывается неявным образом, через материальные функции и константы. Для процессов деформирования, где скорости деформаций мало отличаются на протяжении всего процесса в различных точках исследуемой области, такой подход оправдан, результаты расчета могут быть получены с требуемой точностью. В ситуациях, когда скорости деформации существенно (на несколько порядков) отличаются в пространственно-временной области, данный подход оказывается неприменим, требуется явное введение в ОС скоростей деформирования.

В ряде работ по теории пластичности учет эффектов вязкости осуществляется параметрическим способом – введением зависимости скалярных свойств материала (сопротивления деформации) не только от накопленной пластической деформации, но и от скорости деформации. Заметим, что аналогичным образом обычно учитывается и влияние термических процессов (см., например, [84]). С этой целью осуществляется серия экспериментов при фиксированных скоростях деформации и температурах, результаты аппроксимируются непрерывными функциями, которые в дальнейшем используются в расчетах. Из анализа известных экспериментальных данных для более сложных программ нагружения (например, деформирование со ступенчатым изменением скорости деформации в рамках одного испытания) следует, что даже в отсутствие твердотельных фа-

213

зовых переходов скалярные и векторные свойства процесса деформирования нельзя считать функциями параметров процесса, эти свойства зависят от истории нагружения; так, для легированных сталей деформирование из исходного отожженного состояния и последующий нагрев с выдержкой и «зеркально отраженный» процесс (нагрев, выдержка, деформирование) приводят к существенно различному поведению материалов при последующем нагружении.

Как нетрудно видеть из предшествующего изложения, изменение НДС в соответствии с классическими теориями пластичности возможно только при изменении внешних воздействий на представительный объем. В силу этого теории пластичности не позволяют описывать такие хорошо известные явления, как релаксация напряжений (изменение напряженного состояния при фиксированной конфигурации представительного объема) и ползучесть (изменение деформированного состояния при фиксированных нагрузках на границе представительного объема). В связи с указанными обстоятельствами авторы сочли необходимым включение в курс теории пластичности главы, посвященной учету при формулировке ОС вязкостных свойств материалов.

Изложение материала в данной главе будет опираться главным образом на монографии [47, 73]. Для построения ОС, следуя цитируемым работам, будет использоваться в основном структурномеханический подход (см. гл. 1) в силу его простоты и наглядности. Детальный анализ различных моделей, полученных с помощью структурно-механического подхода, содержится в монографии [29]. Согласно данному подходу вначале выбираются типы структурных элементов, соответствующие механизмам деформирования, учитываемым в модели; заметим, что на первом этапе данного подхода рассматривается, как правило, случай одноосного нагружения (деформирования), одноосные напряжения и деформации обозначаются как σ и ε соответственно (скорость деформации – d). Наиболее распространенными являются три типа структурных элементов: упругий, вязкий и пластический (см. рис. 7.1); буквами Е, η, σS обозначены соответственно модуль упругости, коэффициент вязкости и пре-

214

дел текучести (или сопротивление деформации). Следует отметить, что понятие «структурный элемент» не связано явным образом с понятием структуры материала того или иного масштабного уровня. Структурные элементы вводятся для описания различных механизмов деформирования, и в этом смысле они отражают структуру материала неявным образом, через параметры структурного элемента (например, для пластического элемента предел текучести и модуль упрочнения неявным образом связаны с размерами зерен, дислокационной субструктурой представительного объема).

Рис. 7.1. Структурно-механические элементы: а – упругий, б – вязкий, в – пластический

Упругие элементы могут быть линейными равномодульными (на растяжение и сжатие), в этом случае единственной характеристикой «одноосного» элемента является модуль упругости («жесткость пружины») Е. В случае, если упругое поведение материала можно считать линейным, но отличающимся на растяжение и сжатие, поведение элемента описывается двумя модулями упругости Ер (при растяжении) и Ес (при сжатии). Если материал в упругой области ведет себя нелинейным образом, соответствующий структурный элемент описывается несколькими константами, например, отклик может быть описан степенной функцией вида σ = Еεn, т.е. поведение материала описывается двумя константами Е и п. Не исключены и более сложные соотношения для описания упругого элемента; в любом случае для установления этих соотношений (равно как и для

215

структурных элементов других типов) требуется проведение экспериментов.

Вязкие элементы также обладают большим разнообразием, наиболее простым является линейно-вязкий элемент, поведение которого описывается соотношением σ = ηd, где η – вязкость (константа материала). Нелинейно-вязкие элементы в простейшем случае описываются соотношениями, например, степенного вида: σ = ηdт (модель Бейли). При построении ОС ползучести часто используются

материала, sh – гиперболический синус. В общем случае отклик (напряжение) вязкого элемента представляется произвольной функцией d, а в некоторых случаях – d и s (длины дуги накопленных полных или неупругих деформаций).

Общим свойством пластических элементов является так называемая «пороговость» – до достижения в элементе напряжений, соответствующих пределу текучести, он ведет себя как абсолютно жесткое тело. Различают идеально-пластические элементы, напряжения в которых не могут превышать предела текучести, и элементы с тем или иным законом упрочнения, в которых напряжение течения (сопротивление деформации) зависит от накопленных пластических деформаций. При этом напряжение течения может как повышаться при увеличении накопленной деформации (упрочняющееся пластическое тело), так и уменьшаться (случай разупрочнения). Характеристики пластического элемента подлежат определению в экспериментах.

После введения всех необходимых элементов устанавливается структурная схема модели (как правило, для случая одноосного нагружения), т.е. способы объединения элементов в систему, которая должна описывать отклик материала «в целом». Данный этап является наиболее важным с точки зрения качественных характеристик мо-

216

дели в целом, ее способности описывать те или иные эффекты. Построение структурной схемы должно опираться на глубокое проникновение в физические механизмы исследуемого процесса, результат в значительной степени зависит от видения этого процесса исследователем.

Следует отметить, что в ряде работ сразу записываются ОС для общего (трехмерного) случая; структурная «одноосная» схема трактуется авторами как вспомогательная, поясняющая сформулированные конститутивные соотношения. Такой путь представляется более трудным для понимания основных механизмов, идентификации и верификации модели. Действительно, для одноосного нагружения не возникает вопросов о сложности нагружения, в совмещенном пространстве напряжений и деформаций траектория деформации и вектор напряжений расположены вдоль одной прямой. При этом часть гипотез (например, Фойгта или Рейсса), которые при построении одноосной модели воспринимаются как вполне ясные, при их применении для трехмерной модели вызывают вопросы. Кроме того, основным видом механических испытаний до сегодняшнего дня остаются одноосные эксперименты (растяжение – сжатие цилиндрических образцов); как правило, именно результаты таких испытаний детально изучаются исследователем на начальной стадии построения модели материала. При этом материальные функции и константы, которые на основе физического анализа могут считаться независимыми от вида нагружения, подлежат определению из результатов этих одноосных испытаний, что существенно снижает затраты на идентификацию модели. В связи с вышеизложенным здесь будет использоваться традиционная схема структурно-механического подхода – последовательного построения одноосной модели и дальнейшего обобщения полученных ОС на случай многомерного нагружения.

При применении структурной схемы для построения одноосной модели материала принимаются два известных правила: во всех последовательно соединенных элементах напряжение в каждый момент деформирования одинаково; в параллельно соединенных элементах деформации и скорости деформации в каждый момент равны.

217

Эти правила справедливы и для сложных систем, включающих несколько элементов рассматриваемых типов.

Следует подчеркнуть, что, несмотря на применение весьма ограниченного числа типов структурных элементов (в рассматриваемом случае их три), число самих элементов в структурной схеме, вообще говоря, не ограничено. Сложность модели в целом определяется как числом структурных элементов разных типов, так и схемой их соединения. Ниже приведены примеры, иллюстрирующие построение весьма непростых ОС.

После построения «одноосного» ОС осуществляется его обобщение на трехмерный случай. С этой целью, прежде всего, принимаются гипотезы о шаровых составляющих тензоров напряжений и деформаций (скоростей деформаций); например, об изохорическом неупругом деформировании, линейной связи первых инвариантов тензоров напряжений и полных деформаций. Подобные гипотезы позволяют перейти к анализу связей девиаторных составляющих, для которых соотношения, как правило, полагаются идентичными соотношениям, полученным для «одноосной» модели. На финальной части формулировки конститутивной модели осуществляются идентификация и верификация модели с помощью экспериментальных исследований (в общем случае требуются эксперименты на сложное нагружение).

Заметим, что в ряде работ для получения ОС как отдельных элементов, так и структурно-механической модели в целом применяется термодинамический подход [47, 57, 73, 78, 79, 112, 187]). Обзор работ по данному направлению до 1971 года интересующийся читатель может найти в статье [80]. Использование комбинированного подхода и формализма, хорошо разработанного в термодинамическом подходе, позволяет автоматически удовлетворять термодинамическим ограничениям, облегчает обобщение ОС на геометрически нелинейный случай. Однако получаемые таким образом соотношения, как правило, практически не отличаются от выведенных с помощью структурно-механического подхода, в связи с чем дальнейшее изложение будет вестись в рамках именно этого подхода.

218

Следует отметить, что в последние десятилетия вязкоупругие и упруговязкопластические модели часто используются в качестве базовых для дальнейшего обобщения на случай геометрической нелинейности (больших градиентов перемещений). В большинстве случаев обобщение осуществляется заменой входящих в геометрически линейные ОС материальных производных меры напряженного состояния на те или иные независящие от выбора системы отсчета производные. В качестве меры деформации при этом часто возникает необходимость использования так называемых неголономных мер, определяемых интегрированием тензора деформации скорости (в ряде работ применяется интегрирование в подвижных системах отсчета).

Классификация моделей устанавливается обычно по составу элементов, включаемых в структурную схему. В данной главе не будут рассматриваться упругопластические и жесткопластические модели, которые достаточно детально изложены в других разделах. Следует отметить, что «чисто» вязкопластические модели, т.е. содержащие

вструктурной схеме только вязкие и пластические элементы, используются обычно только для моделирования поведения монокристаллов

вфизических теориях пластичности, поэтому они будут освещены

вгл. 10. Здесь остановимся на двух широко распространенных классах моделей: 1) вязкоупругих, 2) упруговязкопластических.

Конечно, рассмотренные ниже модели, построенные на основе структурно-механического подхода, составляют лишь небольшую часть известных вязкоупругих и упруговязкопластических ОС. Как

отмечается в [73], «множество определяющих уравнений шире множества реологических [т.е. основанных на структурно-механическом подходе] моделей». Для многих ОС не удается построить структурную схему, адекватную анализируемым соотношениям. Впрочем, авторы не ставили целью рассмотреть все множество известных моделей указанных классов; вероятно, это и невозможно, поскольку это множество постоянно расширяется, что в некоторой степени отражено в приведенном ниже кратком обзоре. В то же время модели вязкоупругости и упруговязкопластичности предоставляют благодатную

219

основу для демонстрации возможностей и трудностей применения структурно-механического подхода, т.е. имеют значительную методическую ценность.

7.2. Вязкоупругие модели

Отметим, что вязкоупругие модели относятся к классу «беспороговых», для которых свойственно появление неупругих (вязких) деформаций при любом ненулевом напряжении. С точки зрения теории пластичности такая ситуация соответствует снижению предела текучести до нуля, что может быть принято в качестве гипотезы при высоких гомологических температурах (свыше 0,5) и/или очень малых скоростях деформирования. С позиций классификации тел [85, 87] вязкоупругие материалы относятся к жидкостям, хотя модели этого класса широко применяются для описания твердотельных материалов.

Одной из первых и до сих пор широко используемых является линейная вязкоупругая модель Максвелла, структурная схема которой приведена на рис. 7.2, а. В соответствии с указанными выше правилами напряжения в каждом из элементов равны в каждый момент, а скорость деформации определяется суммой скоростей деформации упругого и вязкого элементов, σe = σv = σ, d = de + dv, индексами е и v обозначены соответственно упругий и вязкий элементы; тогда нетрудно записать одноосное ОС для модели в целом:

Из приведенного соотношения нетрудно видеть, что при постоянном напряжении материал будет испытывать деформирование с постоянной скоростью деформации, т.е. модель описывает так называемую стадию установившейся ползучести. При прекращении деформирования (d = 0) напряжения будут уменьшаться по экспоненциальному закону, т.е. модель описывает процесс релаксации напряжений. Разгрузка для материала, описываемого моделью Мак-

220