Теория пластичности

жения микрообъемов, во-первых, суммой деформаций скорости D(k ) и вихря W(k ) , во-вторых, каждую из этих составляющих можно разложить на компоненты, отвечающие за упругую и неупругую скорости деформации (D(k )e , D(k )p ) и поворот кристаллической решетки

) и «материальный» поворот (W(k )m ) .

б) Другой частный случай, известный в МСС и ТОС под названием гипотезы Рейсса, полагает однородным распределение напряжений (а следовательно, девиаторов напряжений) в пределах представительного объема, т.е.

Нетрудно видеть, что соотношение (6.36) следует из (6.31) при условии m(k ) = 0 k .

Отметим, что гипотезы, приведенные выше, использовались Фойгтом и Рейссом при определении эффективных модулей упругости поликристаллов, в настоящее время они часто применяются в механике композитов. При этом ни одна из гипотез не обеспечивает точного соответствия теоретических и экспериментальных данных. Соотношения Кренера содержат набор параметров m(k ) , позво-

ляющих за счет их выбора повысить данное соответствие. Используя в приведенных соотношениях разное число элемен-

тов N, можно получить различные приближенные теории пластичности. Понятно, что увеличение числа элементов (а следовательно, числа степеней свободы модели) позволяет повышать точность определяющих соотношений. Простейший вариант теории получается при N = 1 и соответствует известной модели А.Ю. Ишлинского.

Здесь остановимся на другом крайнем варианте – с бесконечно большим числом элементов. Следуя [71], вводятся обозначения: Ep , Σ, T – случайные тензоры девиаторов пластических деформаций, напряжений и диссипативных сил сопротивления пластическому деформированию; обозначения ep ,S, τ сохраняются для реализаций

201

соответствующих случайных тензоров. Принимается справедливой эргодическая гипотеза, вследствие чего от осреднения по объему осуществляется переход к осреднению по множеству реализаций при

сохранении обозначения для осредненных величин.

Из физического анализа процесса пластического деформирования известно, что важнейшими параметрами, определяющими движение дислокаций, реализующее пластическое формоизменение, являются характеристики различного вида препятствий (частицы включений, дислокации леса, барьеры различных типов и т.д.). «Мощность» и конфигурация этих препятствий являются стохастическими параметрами. Аналогом последних при континуальном рассмотрении можно считать диссипативные силы сопротивления пластическим деформациям, которые, в свою очередь, будут определять микродеформации и микронапряжения. В связи с вышеизложенным, несколько упрощая модель, полагается, что единственным случайным параметром является интенсивность диссипативных сил Tu

(реализации обозначаются через τu ). При этом полагается, что плотность распределения p (τu ) этой случайной величины известна. В соответствии p (τu ) можно поставить функцию распределения

τ u

ξ = Φ (τu )= ∫ p(τ'u )dτ'u .

0

Тогда осредненные девиаторы пластических деформаций и напряжений определяются следующими соотношениями:

Гипотеза Кренера принимается практически без изменения (за исключением определения осредненных величин):

202

Нетрудно видеть, что система соотношений (6.37), (6.40), (6.44) позволяет по заданной истории осредненных напряжений S опре-

делить историю осредненных пластических деформаций ep .

203

Использованный здесь подход к построению определяющих соотношений вплотную примыкает к физическим теориям и может быть использован при формулировке определяющих соотношений в различных разделах МСС.

Рассмотренный вариант квазистатистической модели относится к одноуровневым макрофеноменологическим ОС, в связи с чем в ней отсутствуют неявные внутренние переменные и эволюционные уравнения для них. Основными параметрами, существенно зависящими от микроструктуры, являются закон распределения сопротивления деформации (напряжения «сухого трения») p (τu ) , параметр т

в модифицированной гипотезе Кренера (6.39) и ядро C(ξ, ξ') в соот-

ношении (6.41). Указанные параметры, как следует из физического анализа процессов пластического деформирования (см. гл. 3), зависят от величины зерен, их ориентации (взаимоориентации), типа кристаллической решетки, энергии дефекта упаковки, дислокационной субструктуры и других параметров мезо- и микроуровней.

6.5. О теориях пластического течения для начально анизотропных материалов

Формулировки подавляющего большинства существующих теорий пластичности используют в качестве одной из основных гипотезу о начальной изотропии материала. Применительно к поликристаллическим материалам данная гипотеза выполняется с приемлемой точностью для материалов, ориентация зерен в которых распределена по равномерному закону. К таким средам можно отнести, например, заготовки, получаемые кристаллизацией в изложницах, детали, подвергаемые глубокой термической обработке (рекристаллизации).

В то же время изделия, получаемые, например, направленной кристаллизацией или интенсивными пластическими деформациями, обладают ярко выраженной начальной анизотропией, являющейся следствием появления в ходе изготовления преимущественной ори-

204

ентации кристаллитов (текстуры). Существенную анизотропию фи- зико-механических характеристик демонстрируют широко используемые в аэрокосмической, автомобильной, пищевой промышленности листовые материалы, получаемые, как правило, прокаткой. Дальнейшая обработка таких материалов штамповкой ведет к появлению дефектов в готовых изделиях; например, при глубокой вытяжке цилиндрических сосудов из листовых круговых заготовок на свободной кромке цилиндров появляется волнистость (так называемые «уши»), которую в дальнейшем требуется срезать. Другими распространенными дефектами листовых штампованных деталей, являющихся следствием анизотропии упругопластических свойств, являются неоднородная упругая деформация после снятия обрабатывающего инструмента («упругая отдача»), коробление готовых изделий под действием неоднородных остаточных напряжений (1-го рода). Очевидно, что подобные дефекты недопустимы в большинстве случаев, особенно для деталей аэрокосмической техники, где допуски по отклонениям геометрических размеров (от номинальных) определяются микронами.

Изложенное выше предопределяет необходимость учета при проектировании деталей и разработке технологических режимов их получения начальной анизотропии материалов. К настоящему времени хорошо разработанной и достаточно подробно изложенной в монографиях является анизотропная теория упругости, пригодная для прочностных расчетов, проектирования изделий из анизотропных материалов (см., например, [3, 58, 92]). Несколько сложнее обстоит дело с необходимой для установления рациональных технологических режимов анизотропной теорией пластичности: несмотря на большое количество статей по данной тематике, авторам не известны монографии, в которых содержалось бы систематическое изложение такой теории. По нашему мнению, наибольший вклад в развитие анизотропной теории пластичности внесен работами Р. Хилла [90, 136–141], на которых в основном и будет опираться изложение настоящего параграфа.

205

Следует отметить, что большинство известных теорий анизотропной пластичности ориентированы на листовые материалы (получаемые в большинстве случаев прокаткой), обладающие ортотропной симметрией (т.е. имеющие три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии). При формулировке теории принимаются все гипотезы теории пластического течения, основные изменения относятся к построению уравнения поверхности текучести. В дальнейшем изложении используется декартова ортогональная система координат Ох1х2х3, плоскость Ох1х2 совпадает с плоскостью листа, оси направлены, как правило, перпендикулярно плоскостям ортотропии.

Для идентификации разрабатываемых моделей обычно применяются результаты одноосных или двуосных испытаний на растяжение образцов прямоугольного поперечного сечения, вырезаемых из листа под разными углами к направлению прокатки. В качестве характеристики анизотропии листовых материалов в большинстве работ используется коэффициент Ланкфорда r, определяемый отношением деформаций в направлении ширины и толщины образца при его одноосном растяжении:

с плоскостью листа. При испытаниях на образцах, вырезаемых под разными углами к направлению прокатки, будет использоваться обозначение rα, где α – угол (в градусах) между осью Ох и направлением прокатки (осью Ох1); как правило, определяются коэффициенты r0, r45 и r90. В качестве интегральной характеристики анизотропии в некоторых работах используется осредненный коэффициент r = 1/4 (r0 + 2 r45 + r90). Через σS(α) будет обозначаться предел теку-

чести при одноосном растяжении образца, вырезанного из листа под углом α к направлению прокатки.

В одной из первых теорий пластического течения для начально анизотропных листовых материалов уравнение поверхности текучести предложено описывать соотношением [90, 136]:

206

где аi – материальные константы. Следует отметить, что запись функции текучести в компонентной форме не случайна – таким образом вводится начальная анизотропия пластических свойств, направления координатных осей соответствуют характерным направлениям обработки листового материала. Для определения материальных параметров, входящих в (6.46), требуется проведения трех экспериментов по одноосному растяжению образцов вдоль осей симметрии и трех экспериментов на чистый сдвиг в плоскостях ортотропии. Сопоставление критерия с экспериментальными данными показывает удовлетворительное соответствие для материалов с r > 1; для материалов, имеющих r < 1, критерий (6.46) малоприменим.

Большинство прикладных задач, связанных с анализом процессов обработки листовых материалов (например, глубокой вытяжки цилиндрических изделий из круговых плоских заготовок), ставятся и решаются в предположении реализации плоско-напряжен- ного состояния (ПНС). В этом случае σ33 = σ31 = σ23 = 0 и в крите-

рии (6.46) остается только три материальные константы. Для их определения достаточно провести три эксперимента по одноосному растяжению образцов, вырезаемых под углами 0°, 45° и 90°

кнаправлению Ох1.

Встатье [138] предложено другое выражение для функции текучести:

f (σ) = a1 (σ11 – σ22 )α + a2 (σ22 – σ33 )α + a3 (σ33 – σ11 )α +

где α – дополнительный материальный параметр; при формулировке данного критерия полагается, что главные оси тензора на-

207

пряжений совпадают с осями симметрии, в силу чего в критерии отсутствуют компоненты сдвиговых напряжений. Для случая ПНС кроме указанных экспериментов по одноосному растяжению образцов идентификация соотношения требует дополнительного эксперимента (двухосное растяжение в плоскости листа), при этом собственные векторы тензора напряжений должны совпадать с осями симметрии (ортотропии). Сопоставление результатов расчета по соотношению (6.47) с экспериментальными данными показало, что критерий применим как для материалов с r > 1, так и для r < 1.

Уравнение поверхности текучести, изначально ориентированное на применение для случая ПНС, представлено в статье [141]:

где А, В, С – материальные параметры, σS(b) – предел текучести при двухосном растяжении при σ11 = σ22 . Критерий применим для частного случая нагружения вдоль осей симметрии, т.е. при σ12 = 0 .

Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными (для образцов из алюминиевых сплавов и стали SТ 1405) показали, что критерий (6.48) более точно описывает поверхность текучести, чем предложенные ранее.

Обзор других подходов и моделей, применяемых для описания анизотропных упругопластических материалов, интересующийся читатель найдет в статье [133].

208

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение поверхности пластичности (текучести)

ипластического потенциала. Как эти поверхности применяются для формулировки ОС теории пластического течения?

2.Как связаны первые инварианты тензора напряжений Коши (или средние напряжения) и тензора малых деформаций (или средние деформации) в теории пластического течения?

3.Какие способы разложения мер полных деформаций (или их скоростей) на упругую и пластическую составляющие вам известны? В каких случаях они применимы?

4.Приведите запись модифицированного критерия текучести Мизеса. Дайте физическое толкование тензора остаточных микронапряжений.

5.Какие параметры в одноповерхностных теориях можно отнести к явным внутренним переменным и почему?

6.Запишите ОС простейшей одноповерхностной теории пластического течения, проиллюстрируйте его на примере одноосного нагружения.

7.Приведите запись уравнения для описания эволюции тензора остаточных микронапряжений в общем виде.

8.Проведите сравнительный анализ ОС вида (6.5) с соотношениями теории УПП А.А. Ильюшина (гл. 5).

9.Проведите на примере одноосного нагружения качественный анализ содержащихся в табл. 6.1 модификаций одноповерхностных теорий.

10.С использованием соотношений (6.3) и (6.4) получите соотношения вида (6.5) для всех теорий, содержащихся в табл. 6.1.

11.Сформулируйте основные положения многоповерхностной теории течения З. Мруза.

12.Приведите структурно-механическую схему модели З. Мруза, проиллюстрируйте её для случая одноосного нагружения.

13.Приведите графическую иллюстрацию модели Мруза в дву-

мерном пространстве напряжений для случая одноосного нагружения

209

и сложного нагружения с частичной разгрузкой и последующим нагружением в направлении второй оси.

14.Повторите самостоятельно вывод соотношения (6.13) для определения движения поверхности текучести при произвольном нагружении. В каком случае из него следует закон Г. Циглера?

15.На основе какой кинематической гипотезы получено соотношение (6.17)?

16.Приведите соотношения двухповерхностной теории течения, предложенной Я. Дафалиасом и Е. Поповым.

17.Какие модели, конкретизирующие соотношения Я. Дафалиаса и Е. Попова, вам известны?

18.Каковы физические предпосылки для построения статистических теорий МДТТ? Каков общий «алгоритм» построения таких теорий?

19.Какие характеристики поликристаллов являются случайными? Каким образом предлагается описывать эти случайные характеристики в квазистатистической теории пластичности?

20.Что понимается в квазистатистической теории пластичности под «областями однородности»? Как определяются осредненные напряжения и деформации?

21.Чем обусловлено появление упругих напряжений ρ(k ) , от

каких параметров они зависят, как определяются в квазистатистической теории? Приведите пример, объясняющий появление упругих напряжений в случае одноосного деформирования.

22.Объясните механический смысл представления девиатора напряжений упругой и диссипативной составляющими, запишите выражение для диссипативной составляющей.

23.Запишите соотношение Кренера, объясните его на примере одноосного нагружения.

24.Осуществите проверку математической корректности квазистатистической теории пластичности (замкнутости системы уравнений).

210