Теория пластичности

ношение с самого начала входят и предел текучести, и пластические деформации.

Последнее соотношение может быть легко преобразовано к виду соотношений теории течения с комбинированным законом упрочнения:

Из этого соотношения с учетом определения внутреннего времени легко получается следующее уравнение:

Первое из этих соотношений описывает поверхность текучести при использовании критерия Мизеса и комбинированного закона упрочнения, второе имеет следствием закон Гука (при равенстве нулевому тензору dер). По существу, полученные соотношения отличаются от уравнений одноповерхностных теорий течения (см. гл. 6) только видом уравнения для тензора остаточных микронапряжений.

Представляется целесообразным остановиться более детально на посылках ЭТП и её модификаций, предложенных К. Валанисом и его последователями. Исходным пунктом построения эндохронной теории является основанное на рассмотрении экспериментальных данных утверждение о трудности (даже невозможности) определения

241

поверхности текучести, наблюдающихся отклонениях от линейного закона Гука связях напряжение – деформация при весьма малых нагрузках (см. гл. 2). В связи с этим утверждается, что размеры поверхности текучести будут тем меньше, чем точнее будут производиться измерения. В то же время в анализируемых работах [205, 206, 208, 209, 218 и др.] без всякого обсуждения используется аддитивное разложение вида dε = dεe + dεp , причем для dεe используется линейный закон Гука для любых значений напряжений и произвольных процессов нагружения. Как представляется, между этими предположениями – возможностью аддитивного разложения в сочетании с применимостью закона Гука для упругих составляющих и существованием поверхности текучести (ограничивающей область применимости закона Гука в пространстве напряжений) существует тесная связь, одно не может существовать без другого. В связи с вышеизложенным появление в ЭТП поверхности текучести и приводимость соотношений ЭТП к определяющим соотношениям теории пластического течения являются вполне закономерным фактом.

Обратимся к анализу физического смысла параметра χ , проведенного впервые Ю.И. Кадашевичем и А.Б. Мосоловым [33]; изложение следует в основном работе [69]. В основу анализа положен один из способов замыкания определяющих соотношений, используемый в статистической теории пластичности (см. гл. 6).

Рассматривается представительный (в макросмысле) объем поликристаллического материала, состоящий из большого числа монокристаллов («зерен»). В пределах каждого из зерен напряженнодеформированное состояние (микронапряжения и микродеформации) считается однородным (т.е. рассматриваются «области однородности», введенные в квазистатистической теории (см. гл. 6)). Кроме того, принимается гипотеза Рейсса, согласно которой σ = σ . Пола-

гается, что каждое из зерен находится либо в упругом, либо в неупругом состоянии. Следует отметить, что, вообще говоря, здесь неявным образом вводится критерий упругого (или неупругого) поведения материала на микроуровне. В цитируемом источнике, к сожалению, дан-

242

ный вопрос не обсуждается. В то же время указанный критерий, по существу, является аналогом поверхности текучести на микроуровне, что несколько нарушает последовательность теории в части «отсутствия в ней поверхности текучести».

Для элемента, находящегося в упругом состоянии, приращение деформаций

где R – вектор неупругих микродеформаций; означает осреднение. Обозначим через χ вероятность реализации упругого состояния некоторого выделенного элемента, тогда (1 – χ ) – вероятность нахождения его в пластическом состоянии. Далее, следуя уже используемой схеме, представляется естественным определить осредненное значение приращения деформаций dэ соотношением:

Говоря о схеме, имеется в виду структурно-механическая модель на микроуровне: по существу, модель Рейсса предполагает последовательно соединенную цепочку элементов с различными физико-механическими характеристиками. Понятно, что в такой модели напряжения в каждом элементе одинаковы, а деформация определяется суммой деформаций элементов. Отметим также, что здесь принимается справедливым правило коммуникативности оператора осреднения и дифференцирования ( dэ = d э ).

Если χ = const, то соотношение (8.10) эквивалентно соотношению в конечных значениях

э = χэe + (1 − χ)R,

243

в общем случае при χ ≠ const последнее соотношение, конечно, не эквивалентно (8.10).

Отметим, что в реальных материалах упругие и неупругие микродеформации связаны друг с другом. В данном случае это следует из самой структурной схемы: напряжения в упругих элементах, очевидно, зависят от истории изменения неупругих деформаций. В силу принятой структурной схемы напряжения Σ в агрегате из

упругих и неупругих элементов в каждый момент деформирования одинаковы и, таким образом, зависят от истории изменения R; но

тогда и dэe = d Σ 2G зависят от R. Вид зависимости эe ~ R в об-

щем случае неизвестен. В качестве простейшей формы подобного соотношения в [69] предлагается следующее:

Выражая из последнего соотношения dR = dэe + αэedR и подставляя полученное выражение в (8.10), получаем

d э = dэе + αэе (1 − χ)dR.

Из (8.10) имеем:

(1 − χ) dR ≡ (1 − χ) dR = d э − χdэе = d э − χ d Σ . 2G

Тогда окончательно получаем

244

Полученное уравнение (8.12) совпадает с уравнением эндохронной теории в исходной форме при J (z) = 2Ge-αz и новой мерой внутреннего времени (8.13), соответствующей (8.6). Однако здесь параметр χ имеет ясно выраженный физический смысл – в каждый момент деформирования χ определяет вероятность реализации упругого состояния.

Отметим, что широко используемому варианту χ = 1 отвечает предельный случай χ → 1 (случай точного равенства χ = 1 отвечает отсутствию пластических деформаций); согласно приведенной интерпретации параметра χ ситуации χ → 1 соответствует нахождение почти всех элементов в упругом состоянии. В этом случае пластическая деформация локализуется в незначительном числе микроэлементов. Подобная ситуация действительно возникает в некоторых процессах деформирования, о чем свидетельствуют экспериментальные данные по микроструктуре. Однако в общем случае деформирования, особенно при сложных траекториях деформации, в пластическое деформирование оказывается вовлеченной значительная доля материала. Иначе говоря, предположение χ = 1 не имеет достаточного обоснования с позиций физики неупругого деформирования.

В статье [40] проведен тщательный анализ ОС ЭТП с мерой (8.6); подчеркивается, что решения для сложного нагружения при χ = 1 и χ → 1 могут различаться; показано, что теория (при χ → 1) описывает экспериментально обнаруженные (О.Г. Рыбакина) эффекты псевдоползучести и псевдорелаксации; авторы рекомендуют считать случай χ → 1 основным рабочим вариантом эндохронной теории при малых деформациях, особенно при циклических нагружениях.

Другой крайний случай (χ → 0) соответствует ситуации, когда почти все микроэлементы находятся в пластическом состоянии. При использовании понятия поверхности текучести данная ситуация имеет место при стремлении к нулю радиуса поверхностей текучести микроэлементов, что, в свою очередь, отвечает стремлению к нулю допуска на пластические деформации.

245

Более сложные варианты ОС ЭТП, основанные на статистическом подходе, интересующийся читатель найдет в [69].

Вобщем случае реалистичным следует признать значение χ

винтервале [0,1]. При этом значение χ в рамках предложенной интерпретации существенно зависит от субструктуры дефектов кри-

сталлической решетки, в силу чего χ можно с полным основанием отнести к явным внутренним переменным. Поскольку микроструктура претерпевает значительные изменения в процессе пластического деформирования, то и параметр χ должен зависеть от истории деформирования. В рамках макроскопической теории эта зависимость должна носить, вообще говоря, функциональный характер. В общем виде такое соотношение может быть представлено следующим образом:

где, как обычно, o rt – история градиента места (история деформирования), θt – история изменения температуры, αt – история изменения воздействий немеханической природы. Вероятно, первый вариант учета зависимости χ от процесса деформирования был предложен в работах А.Б. Мосолова (1980 г.), где принималось следующее соотношение:

метим, что в приведенном соотношении χ – функция (а не функционал) аргументов, однако зависимость от истории входит опосредованно через зависимость угла ϑ 1 от предыстории деформации.

ЭТП можно отнести к феноменологическим макроскопическим теориям. В связи с этим следует отметить необходимость разработки программ и проведения экспериментов на сложное нагружение. Подробно указанные проблемы рассматриваются в работах [35, 69, 206].

246

Заметим, что как в исходной работе [203, 204], так и в ряде последующих [205, 206, 208] декларировалось построение ОС ЭТП на основе неравновесной термодинамики, однако последняя использована только для получения весьма общей формы ОС, конкретный вид ядер функционаловимерывнутреннеговремениопределеныфеноменологически.

8.3. О направлениях развития ЭТП

Остановимся на некоторых направлениях развития и применения ЭТП. Отметим, что с момента своего возникновения ЭТП предназначалась для описания процессов сложного нагружения (что является целью и большинства других созданных и создаваемых теорий пластичности); работа в этом направлении велась и ведется весьма интенсивно [53–55, 70, 217]. Особое внимание уделяется модификациям ОС ЭТП для описания простого («пропорционального») [206, 208, 209, 218] и сложного («непропорционального») [8, 51, 52]

циклического нагружения. Достаточно подробный обзор работ по ЭТП с 1971 по 1990 г. содержится в статье [35].

Как отмечено выше, в значительном числе работ по ЭТП в качестве ядра интегрального соотношения используется ядро, принятое в обобщенной модели Максвелла (8.3). Напомним, что соотношение Максвелла с ядром (8.3) соответствует многоэлементной модели с конечным набором (спектром) времен релаксации. Использование данной модели в линейной вязкоупругости не вызывает вопросов, поскольку в этом случае в качестве аргумента принимается единое для всех элементов физическое время t.

При применении обобщенной модели Максвелла в многоэлементной ЭТП естественно принять для каждого из этих структурных элементов свое внутреннее время. Ядро определяющего функционала имеет в этом случае вид

i =1

247

Можно ввести структурно-механическую модель многоэлементной ЭТП, состоящую из N параллельно соединенных элементов, описываемых ЭТП со своими материальными константами и внутренним временем.

Количество элементов зависит от требуемой точности теории исложности исследуемых процессов деформирования. В пределе можно перейти к бесконечному числу элементов с некоторым статистическим распределением спектра внутреннего времени. Пусть h – некоторый параметр, определяющий спектр внутреннего времени, Φ (h) – функция плотности распределения параметра h. Функционал ЭТП вэтом случае можетбытьзаписанввиде

По существу, указанные соотношения можно использовать взамен соотношений ТПТ в квазистатистическом подходе, рассмотренном в предыдущей главе, без существенного изменения структуры теории.

Представляется необходимым отметить еще одно направление развития ЭТП, связанное с учетом временных эффектов (т.е. с физическим временем) [31, 34, 177 214 и др.]. В классической теории пластичности постоянно подчеркивается, что физическое время в этой теории не должно входить в определяющие соотношения. В то же время невозможно игнорировать тот факт, что процессы неупругого деформирования происходят одновременно по нескольким (вероятно, многим) физическим механизмам, для ряда из которых физическое время является существенным параметром. Отделить деформирование по различным физическим механизмам практически невоз-

248

можно, можно говорить только о преобладании, лидирующей роли одних по сравнению с другими в определенных диапазонах воздействий. При этом следует иметь в виду, что малый вклад того или иного механизма в собственно процесс деформирования (изменения конфигурации представительного объема в макросмысле) не говорит еще о его малой роли в целом, поскольку данный механизм может играть роль аккомодационного, существенно влияющего на лидирующие механизмы неупругого деформирования. О важной роли временных эффектов свидетельствуют и результаты макроэкспериментов, проведенных в последние годы. Эксперименты обнаруживают существенное влияние временных эффектов даже при комнатной температуре в широком интервале скоростей деформирования (10–8…101) с–1, в особенности – при сложном нагружении. Вышеизложенное определяет интерес к временным эффектам и попытке их включения в ЭТП, предпринимаемые особенно интенсивно в последние десятилетия.

Следует отметить, что структура соотношений ЭТП позволяет без особых сложностей учесть указанные эффекты. Данное обстоятельство использовал создатель ЭТП К. Валанис, предложивший меру внутреннего времени, учитывающую пластические и вязкие эффекты,

Позднее были предложены другие варианты учета временных эффектов, как за счет изменения вида определяющего функционала, так и за счет введения других мер внутреннего времени. Так, например, Охаши предложил следующую меру:

Как уже отмечалось выше, в ЭТП вообще не требуется наличия единой меры внутреннего времени. Например, в многоэлементных вариантах ЭТП для ряда элементов можно вводить меры, связанные с физическим временем; можно рассмотреть модели, имеющие непрерывный спектр, содержащий физическое время.

249

Весьма интенсивно развивается направление, связанное с описанием в рамках ЭТП накопления поврежденности и разрушения [39, 113, 171, 207, 215, 220 и др.]. Большинство работ данного направления основано на линейной неравновесной термодинамике, в рамках которой вводятся внутренние переменные, отвечающие за поврежденность и необратимые деформации. Далее вводятся определения функции свободной энергии и диссипативной функции; соотношения конститутивной модели формулируются, как правило, на основе неравенства Клаузиуса–Дюгема.

Несмотря на то, что настоящее пособие посвящено теориям пластичности при малых деформациях (так называемым геометрически линейным теориям), следует кратко упомянуть работы, посвященные еще одному направлению развития ЭТП, связанному с описанием процессов деформирования при больших пластических деформациях. Заметим, что в большинстве работ по геометрически нелинейным теориям используется термин «конечные деформации», который не представляется достаточно точно отражающим суть вопроса – «малые» деформации также являются конечными; более корректно следует пользоваться термином «большие градиенты перемещений», поскольку даже в случае малых удлинений материальных волокон и малых искажений углов между ними большие повороты материальных частиц как целого ведут к неприемлемости геометрически линейных ОС [76]. Особенно интенсивно указанное направление развивается в последнее десятилетие [41, 42, 216 и др.].

При построении геометрически нелинейных ОС исследователи сталкиваются с несколькими проблемами, к числу наиболее часто отмечаемых относятся выбор мер напряженного и деформированного состояния и их скоростей, выполнение принципа независимости от выбора системы отсчета (принципа материальной индифферентности) [85, 87]. В качестве исходных принимаются известные геометрически линейные ОС, как правило, записанные в дифференциальной форме. Аналогичным путем шли и авторы работ [41, 42, 216], используя в качестве отправной точки различные варианты геомет-

250