Теория пластичности

свелла, реализуется по упругому закону; при этом если разгрузка реализуется мгновенным снятием нагрузки, в материале сохраняются неупругие (вязкие) деформации, накопленные к моменту начала разгрузки.

ОС модели Кельвина – Фойгта (см. рис. 7.2, б) в случае одноосного нагружения можно записать в виде

Нетрудно видеть, что при прекращении деформирования в некоторый момент накопленные деформации и напряжения в материале, описываемом этой моделью, будут сохраняться сколь угодно долго, т.е. модель непригодна для описания процесса релаксации. Полагая, что d = ε , получаем, что мгновенная разгрузка ведет к экспоненциальному уменьшению накопленных деформаций, т.е. в пределе t → ∞ материал возвращается в исходную конфигурацию, не испытывая необратимых деформаций. Для случая постоянного напряжения модель Кельвина – Фойгта описывает продолжающееся деформирование с уменьшением скорости деформации, что характерно для первой стадии ползучести при умеренных напряжениях. При этом мгновенное приложение нагрузки не ведет к мгновенному установлению упругой деформации (в отличии от модели Максвелла), упругая деформация достигает значения σ / Е, вообще говоря, за бесконечное время.

Вывод одноосных ОС для моделей Пойнтинга – Томсона, Зинера и Олдройда (рис. 7.2, в–д) предоставляется читателю.

Кроме приведенных моделей, в МДТТ широко применяются ОС вязкоупругости, в которых в явном виде вводится зависимость напряжений (деформаций) в актуальной конфигурации от текущих значений деформаций (напряжений) и всей их предыдущей истории:

221

или

где функции 9, * называются соответственно ядрами релаксации

иползучести. Данные функции определяют свойства памяти материала и устанавливаются экспериментальным путем.

Как отмечено выше, обобщение одноосных ОС на трехмерный случай осуществляется в большинстве случаев по следующей схеме: связь шаровых составляющих тензора напряжений Коши

итензора малых деформаций (или их скоростей) полагается линейной (для нелинейных мер деформаций следует определять инварианты, отвечающие за изменение объема). Девиаторные составляющие связываются соотношениями, аналогичными ОС для одноосного случая; например, для модели Кельвина – Фойгта в изотропном случае принимается следующее ОС:

где G – модуль сдвига. Следует отметить, что данная гипотеза требует отдельной экспериментальной проверки в опытах на сложное нагружение при идентификации и верификации модели.

Запись ОС вязкоупругости непосредственно для трехмерного случая (например, ОС вида (7.5)), когда структурную одноосную схему используют в качестве поясняющей, не исправляет, а скорее усугубляет ситуацию, поскольку в этом случае проверка часто используемой гипотезы соосности входящих в ОС тензоров требуется уже на стадии формулировки модели. Для деформируемых твердых тел в отличие от жидкостей данная гипотеза в большинстве случаев не выполняется (см. гл. 2, 5).

Рассмотренные выше модели легко модифицируются на случай нелинейных упругих и вязких элементов, многочисленные примеры таких моделей можно найти, например, в монографиях [47, 73]. В указанных источниках приведены также более сложные модели

223

и оответствующие структурные схемы; представлены модели, для которых отсутствуют адекватные структурные схемы.

7.3. Упруговязкопластические модели

Модели данного класса содержат в структурной схеме три типа структурных элементов – упругие, вязкие и пластические. В зависимости от схемы соединения элементов модель в целом может быть как «пороговой», в которой неупругие деформации реализуются только при достижении предела текучести (например, параллельное соединение упругого, вязкого и пластического элементов), так и беспороговой», в которой неупругие деформации появляются при сколь угодно малых напряжениях (например, последовательное соединение вязкого элемента и параллельно соединенных упругого и пластического элементов).

В связи с наличием пороговости для записи ОС вязкопластичности часто используются так называемые скобки Мак-Кэйли < х >: = 0 при х ≤ 0 и < х > = х при х > 0), и функция Хэвисайда Н: Н (х) = 0 при

х < 0 и Н (х) = 1 при х ≥ 0.

Одна из первых упруговязкопластических моделей была предложена в 1900 г. Т. Шведовым для описания поведения желатиновых суспензий [189]. В своей исходной версии модель представляла два параллельно соединенных элемента, один из которых – модель Максвелла, второй – пластический элемент. Позднее модель была модифицирована Олдройдом [173, 174] добавлением второго упругого элемента (с модулем упругости Е1), последовательно включенного в структурную схему (рис. 7.3, а), и именно эту модель в современной литературе принято называть моделью Шведова [47]. ОС для

224

Для модели Бингама в одноосном случае ОСпредставимо в виде

Примеры более сложных моделей упруговязкопластичности можно найти в монографиях [47, 73], включая ОС, для которых структурные схемы отсутствуют.

Для читателя, предполагающего использовать модели рассматриваемого класса и в силу этого стремящегося получить углубленные знания, приведем краткий обзор работ последних лет. В работе [187] после краткой исторической справки приведены три представляющие интерес модели (Исаев – Фэн, Пузрин – Хаулсбай и предложенная автором), структурные схемы которых представлены на рис. 7.4. Предложенная Исаевым и Фэном в 1990 г. модель предназначалась для описания поведения расплава полимера с наполнителем (твердыми частицами). До достижения напряжением значения σS отклик материала – чисто упругий, при достижении σS модель показывает вязкоупругое поведение. Опуская выкладки (в силу их громоздкости), приведем полученное на основе структурной схемы одноосное ОС модели Исаева – Фэна:

Заметим, что появление в ОС первых и вторых производных по времени напряжений и первой производной скорости деформации не следует связывать с динамическими эффектами. Данное обстоятельство обусловлено присутствием в структурной схеме элементов разного типа, в упругих элементах напряжения связаны с деформациями, в вязких – со скоростями деформаций (при выводе полагалось d = ε ). Для перехода к простым алгебраическим операциям без использования интегральных операторов в этом случае часто приходится повышать порядок производных.

226

ОС для одноосного нагружения, соответствующее предложенной модели (рис. 7.4, в), может бытьпредставлено в виде

При постоянном напряжении σ < σS модель описывает затухающую ползучесть, при σ ≥ σS – неограниченную ползучесть. Как отмечает автор, в отличие от других моделей вязкопластичности предлагаемая описывает непрерывный переход от твердого тела к жидкости, что представляет значительный интерес, поскольку данное свойство присуще практически всем поликристаллическим материалам при переходе от пластического деформирования к сверхпластическому режиму. Значительная часть статьи посвящена выводу ОС предлагаемой модели на основе термодинамического подхода; следует отметить, что выражение функций свободной энергии Гельмгольца и диссипации, используемые в принятом термодинамическом формализме, получены с применением ОС модели (7.11). Для иллюстрации модели приведены результаты анализа процессов монотонного растяжения, монотонного и циклического простого сдвига.

В работе [191] рассматривается упруговязкопластическая модель, структурная схема которой приведена на рис. 7.5; несмотря на внешнее сходство этой схемы со структурной схемой модели Шведова (см. рис. 7.3, а), их физическое «наполнение» существенно отличается. В этой схеме элементы In1, In2 отвечают за неупругую деформацию (вязкую и пластическую), элементы Е1, Е2 – за упругую

Рис. 7.5. Структурная схема к модели Шутова – Крейсига

228

деформацию. Модель основана на мультипликативном разложение градиента неупругой деформации макроуровня (в структурной схеме за эту составляющую отвечает элемент In1) на градиент неупругих (In2) и упругих (Е2) деформаций микроуровня (см. п. 4.2), предложенном в работе [155]. Элемент Е1 характеризует упругую энергию, запасаемую на макроуровне, элемент Е2 – упругую энергию на микроуровне.

Неупругие макро- и микродеформации в дальнейшем трактуются как внутренние переменные. Для формулировки определяющих соотношений и эволюционных уравнений для внутренних переменных используется термодинамический подход (неравенство Клаузиу- са–Дюгема). Построенная конститутивная модель пригодна для анализа упруговязкопластических деформаций в случае больших градиентов перемещений. Значительное место в статье уделено численным схемам интегрирования соотношений конститутивной модели.

Весьма обширный обзор работ (180 источников) по теориям вязкопластичности приведен в статье [112]. В цитируемой статье рассматривается распространенная схема обобщения теории пластического течения на случай чувствительных к скорости деформации материалов (процессов деформирования), или – вязкопластических материалов (точнее, упруговязкопластических). Согласно указанной схеме наряду с функцией текучести f в рассмотрение вводится вязкопластический потенциал Ω(f), девиатор неупругой составляющей деформации скорости определяется как

dp = ∂ Ω( f ) ∂ S =∂ Ω( f )∂ f∂ f∂ S = pn ,

где n = ∂ f ∂ S , p = dиp . При использовании критерия Мизеса с комбинированным законом упрочнения (см. гл. 4, 6), например, выражение

В отличие от теории пластического течения, где ИТН может находиться либо внутри, либо на поверхности текучести, в случае

229

вязкопластичности ИТН может располагаться и вне области, ограниченной поверхностью текучести f = 0. Интенсивность этих избыточных напряжений («вязких» напряжений, или «перенапряжений» (overstress)) обозначается как σиv . В произвольный момент неупругого деформирования девиатор напряжений можно представить в виде:

S= ρ+ (σs (sp ) + σиv (dиp ))n.

Вцитируемой работе [112] рассматривается широко распространенная схема построения определяющих соотношений вязкопластичности, сводящаяся: а) к выбору конкретной формы вязкопластического потенциала, б) установлению законов упрочнения. В качестве вязкопластического потенциала часто используется степенная функция вида

где σsv – материальная функция, характеризующая сопротивление деформации, в общем случае σsv = σsv (dиp , sp ) ; n – материальная кон-

станта, для большинства конструкционных материалов 3 ≤ n ≤ 30. Рассматриваются законы изотропного и кинематического уп-

рочнения. В закон изотропного упрочнения наряду с чисто деформационным упрочнением входит нелинейная зависимость от скорости деформации, так что интенсивность напряжений в любой момент активного деформирования определяется соотношением

1

σи = σs (sp ) + σиv (sp )(dиp )n .

Нетрудно видеть, что первый член последнего соотношения определяет упрочнение при квазистатическом деформировании, определение σиv (sp ) и n требует проведения серии испытаний при из-

меняющихся скоростях деформации. Рассмотрены некоторые законы кинематического упрочнения (см. гл. 6), из которых автор отдает

230