Теория пластичности

Компоненты девиаторов S33 и е33 определяются из условия равенства нулю первых инвариантов девиаторов. Угол β определяет вращение проекции векторов напряжений (деформаций) в плоскости

а1 – а2.

При произвольном процессе деформирования вектор-функция э(t) описывает в пространстве Э(5) некоторую линию, называемую

траекторией деформации (годограф вектор-функции э(t)). Соответствующая вектор-функция напряжений Σ(t) в пространстве Σ (5) опре-

деляет траекторию нагружения. Длина дуги траектории деформации, отсчитываемая от начала процесса деформирования, определяется как

Поскольку в классической теории пластичности время явным образом не должно присутствовать, обычно в качестве параметра, характеризующего течение (последовательность стадий) процесса деформирования, используется именно длина дуги траектории деформации. В этом случае полагается, что все параметры процесса определяются как функции длины дуги s (например Σ =Σ (s), θ = θ (s) – температура, σ = σ (s) – среднее напряжение и т.д.). В некоторых ситуациях вместо длины дуги полной деформации более целесообразно использовать длину дуги пластической деформации.

Одним из основных понятий теории УПП является понятие образа процесса нагружения, дающее весьма наглядное представление о воздействиях (деформациях) и отклике (напряжениях) материала. Образом процесса нагружения в пространстве Э(5) называется траектория деформации э(s) и приписанные каждой точке траектории характеристики процесса (Σ (s), σ (s), θ (s) и другие). Траектория деформации полагается заданной непрерывной вектор-значной функцией параметра s (или t) c непрерывными производными до пятого порядка за исключением, может быть, конечного числа точек разрыва производных.

151

Для компонентного представления вектора напряжений в этом случае удобно (почему – будет пояснено ниже) использовать так называемый естественный ортогональный репер Френе

pi ( i =1,5 ). Для построения пятигранника Френе используется процедура ортогонализации системы пяти линейно независимых

гонализации рассмотрена в [20]. Заметим, что r1 = p1 – единичный вектор, касательный к траектории, вектор r2 (главная нормаль) ортогонален p1 и лежит в соприкасающейся плоскости. Ориентация вектора напряжений в репере Френе определяется углами ϑ i :

независимыми. Приведем известное из дифференциальной гео-

где κ0 = κ5 ≡ 0 , κi (i = 1, 4) – параметры кривизны и кручения траектории деформации,

В случае задания траектории деформации параметрами кривизны и кручения функциями длины дуги траектории деформации соотношение (5.7) можно рассматривать как дифференциальное уравнение для определения репера Френе в каждой точке траектории деформации (по заданному положению в начальный момент деформирования).

Наиболее важной в конкретных приложениях является кривиз-

об

на траектории κ1 = κ. С использованием (5.7) несложно показать, что

152

В частных случаях при размерности пространства D, меньшей 5, формула используется только до i = D −1 . Параметры кривиз-

ны и кручения κi ( i =1, 4 ) как функции длины дуги траектории s пол-

ностью определяют внутреннюю геометрию траектории деформации (т.е. с точностью до ортогональных преобразований траектории в Э(5)). При рассмотрении плоских траекторий с изломами в число внутренних параметров вводятся также координаты sr и углы излома ∆ ϑ ir

(углы определяются между касательными при sr −0 и sr +0 ); в общем (пространственном) случае необходимо задавать ориентацию репера Френе справа от точки излома по отношению к реперу Френе слева от этой точки.

С использованием репера Френе вектор напряжений представляется в виде

выше параметров, характеризующих воздействия немеханической природы и среднее давление. Согласно принятой в теории УПП терминологии говорят, что Σ характеризует скалярные свойства, а ϑ i –

векторные свойства материала (вообще говоря, и процесса деформирования).

Отметим, что согласно принципу запаздывания (памяти) векторных свойств (более детально принцип изложен ниже) ориентация вектора Σ в репере Френе (т.е. углы ϑ i ) определяется не всей пре-

дысторией деформирования, а лишь предшествующим участком траектории деформации длиной h, называемым следом запаздывания.

153

След запаздывания в теории УПП и следующих из неё частных теориях обычно полагается материальной константой, величина которого составляет 3–10 «предела текучести по деформациям» (т.е. σs E )

[20]. Исходя из физического рассмотрения процесса пластического деформирования, однако, можно предположить, что след запаздывания существенным образом зависит от микроструктуры материала (включая дислокационные субструктуры); т.е. след запаздывания скорее является внутренней переменной, для которой необходимо формулировать кинетическое уравнение. В рамках макрофеноменологического подхода след запаздывания, как отмечается в [11], более правильно считать функционалом процесса. Однако в практических приложениях тем не менее h обычно полагается постоянной материала и определяется из опытов на двухзвенных [11] (или многозвенных) траекториях деформации как длина траектории, по прошествию которой угол ϑ 1 составляет принятую по соглашению (обыч-

но одну десятую или одну шестнадцатую) долю от угла излома траектории.

простого нагружения (траектории деформации – лучи, исходящие из начала координат в пространстве деформаций, векторы напряжений и деформаций, как и их приращения, направлены вдоль этого луча); б) κˆ < h−1 – траектории малой кривизны; в) κˆ ≈ h−1 – траектории средней кривизны; г) κˆ > h−1 – траектории большой кривизны; д) κˆ >> h−1 – траектории с изломами. Аналогичные определения и соотношения можнопривестидляпроцессанагружения(впространствеΣ (5)).

Для чего же вводится представление вектора напряжений в базисе Френе, чем это удобно? Как показывают многочисленные экспериментальные данные, для траекторий с малыми кривизнами и кручениями значащим является только первый член разложения в репере Френе, для более сложных траекторий деформации (средней кривизны, двухзвенных траекторий с изломами) нельзя пренебрегать

154

проекцией на р2, остальные проекции оказываются существенно меньшими по величине. В исходном же базисе ai в общем случае все компоненты вектора напряжений оказываются значимыми независимо от сложности траектории деформации. Следует отметить, что в случае деформирования по траекториям произвольной сложности вопрос о малости компонент тензора напряжений при базисных векторах р2, р3, р4, р5 может быть решен только на основе анализа экспериментальных данных. Однако и в этом случае, как следует из изложенного ниже частного постулата изотропии, представление в базисе Френе предпочтительнее использования разложения в базисе ai (вообще говоря, произвольно выбираемом).

5.2.Основные положения теории А.А. Ильюшина

Воснову теории УПП положены [24]: постулат изотропии

вобщей форме (или постулат макроскопической определимости, или принцип детерминизма), постулат пластичности А.А. Ильюшина, гипотеза макрофизической определимости, принцип запаздывания. Для формулировки отдельных определяющих соотношений в рамках теории УПП большое значение имеют частный постулат изотропии, гипотеза локальной определенности, гипотеза компланарности. Принцип детерминизма и гипотеза макрофизической определимости изложены в общей теории определяющих соотношений [87], постулат пластичности А.А. Ильюшина – в гл. 4.

Одним из наиболее конструктивных для построения теории пластичности является принцип запаздывания (векторных свойств) [22, 24] (детальное изложение принципа содержится в [11, 20]):

ориентация вектора напряжений относительно репера Френе определяется не всей предысторией деформации из начального состояния, а лишь некоторым конечным участком непосредственно предшествующей (рассматриваемому моменту) траектории деформации длиной h (след запаздывания).

155

По существу, принцип запаздывания устанавливает затухающую память материала по векторным свойствам, в связи с чем более правильным было бы назвать его «принципом затухающей памяти векторных свойств», а h – «глубиной памяти векторных свойств, что обсуждалось еще в работе [11].

Следует отметить, что по аналогии с принципом запаздывания векторных свойств формулируется и принцип запаздывания скалярных свойств (см., например, [11]), однако при этом речь в основном идет о восстановлении скалярных свойств после, например, излома траектории деформации и «нырка» интенсивности напряжений в точке излома (см. гл. 2). К сожалению, при анализе результатов макроэкспериментов ничего не говорится о микроструктуре материалов, при этом сами эксперименты проводятся для достаточно малых деформаций (порядка нескольких процентов). Как представляется, для скалярных свойств принцип запаздывания не должен выполняться, т.е. величина вектора напряжений определяется, вообще говоря, всей историей пластической деформации, что с очевидностью следует из физического рассмотрения (см. гл. 3). Следует отметить, что в большинстве работ по теории пластичности принимается гипотеза «единой кривой», согласно которой интенсивность напряжений при активном упругопластическом деформировании зависит только от накопленной пластической деформации (всей!) и не зависит от сложности процесса деформирования. Это позволяет использовать для определения зависимости величины вектора напряжений от накопленной деформации опыты на одноосное нагружение.

Из известных экспериментальных данных о процессах деформирования в подпространствах Э(q) Э(5) , q < 5 , и принципа запаз-

дывания следует весьма важное для построения конкретных ОС следствие: если, начиная с некоторой точки А траектории деформа-

ции, последняя принадлежит подпространству Э(q) Э(5) , q < 5 , про-

странства деформаций, то начиная с некоторой точки В, отстоящей (вдоль траектории деформации) от точки А на величину следа запаздывания, вектор напряжений Σ принадлежит соответствующему (т.е.

156

ориентированному аналогичным образом в совмещенном простран-

стве напряжений и деформаций) подпространству Σ(q) Σ(5) . Другим имеющим важное практическое значение следствием является следующее [20]: на плоских траекториях деформации постоянной кривизны по истечении следа запаздывания угол между вектором напряжений и касательной к траектории деформации ϑ 1 становится

постоянным.

Из этих двух следствий вытекает еще одно, подтвержденное экспериментально (В.С. Ленский): при деформировании по траекториям малой кривизны вектор напряжений направлен по касательной к траектории деформации. Действительно, в этом случае каждый участок траектории длиной не менее h мало отличается от прямолинейного, для которого вектор напряжений направлен вдоль траектории.

Для начально изотропных тел достаточно хорошо экспериментально обоснован постулат изотропии в частной форме:

образ процесса нагружения инвариантен относительно ортогональных преобразований в совмещенном пространстве напряжений – деформаций.

Согласно постулату нагружение по двум траекториям деформации, внутренняя геометрия которых одинакова (в пределах требуемой точности) и при одинаковых других параметрах воздействия в соответствующих точках траекторий, приводит к одинаковому отклику (одинаковым компонентам вектора напряжений в соответствующих реперах Френе). Следует отметить, что указанный постулат едва ли удалось бы сформулировать без представления вектора напряжений вида (5.10) или (5.11). Данный постулат позволяет существенно сократить объем экспериментальных исследований для установления определяющих соотношений. Действительно, любой эксперимент на сложное нагружение эквивалентен множеству мощности континуум экспериментов по траекториям деформации, получаемой из данной произвольными ортогональными преобразованиями вращения и отражения в совмещенных пространствах напряжений и деформаций. По-

157

стулат также подтверждает приемлемость классификации процессов деформирования только по параметрам внутренней геометрии траекторий деформации.

Для дальнейшей конкретизации функциональной зависимости векторных свойств весьма конструктивной следует признать предложенную В.С. Ленским гипотезу локальной определенности:

скорость изменения углов ориентации ϑ i определяется текущими значениями углов ϑ i , кривизн κi и длины дуги s:

ют модуль вектора напряжений Σ (или σ и).

В ряде работ встречается несколько отличающаяся формулировка гипотезы локальной определенности: приращение dΣ вектора напряжений Σ определяется его модулем σ и и ориентацией в текущем репере Френе, внутренней геометрией в рассматриваемой точке траектории деформации, т.е.

dΣ ds = ψi (σu , ϑ k , κk , s)pi .

В сочетании с принципом запаздывания векторных свойств гипотеза локальной определенности также дает возможность существенного сокращения объема экспериментальных исследований, необходимых для решения конкретных задач. Действительно, при наличии конечного набора экспериментальных зависимостей φi (ϑ k , κk , s) для

принятой классификации процессов деформирования по сложности траекторий деформации можно исследовать процессы деформирования по произвольным траекториям, конечно, при условии их удовлетворительной аппроксимации совокупностью участков траекторий, входящих в исходный набор.

158

Заметим, что, как отмечено выше, длина вектора напряжений для упрочняющихся материалов с учетом известных экспериментальных данных может считаться универсальной функцией длины дуги траектории при активной деформации: σ и = Σ = Ф(s) (за ис-

ключением сложных нагружений, например, в окрестности точки излома имеет место «нырок» (резкое уменьшение) величины вектора напряжений); здесь и далее Ф(s) – зависимость напряжения от длины дуги деформации, полученная в опытах на одноосное нагружение.

Одним из наиболее эффективных предположений, позволяющим существенно упростить построение ОС теории пластичности, является гипотеза компланарности векторов Σ , dΣ , dэ, которая может быть записана в виде

где N и M – функционалы процесса деформирования. В эквивалентной дифференциальной форме последнее соотношение принимает вид

159

Соотношения (5.13)–(5.16) лежат в основе многих частных теорий пластичности, входящих в теорию УПП. Заметим, что соотношение вида (5.16) было предложено впервые А.А. Ильюшиным в 1961 г. [27, с. 130–162]. Подчеркнем, что соотношение (5.16), являющееся следствием (5.13), основано на гипотезе компланарности и является математической записью последней. Следует отметить, что из этого соотношения не следует расположения вектора напряжений в соприкасающейся плоскости, как это полагается в некоторых работах, посвященных частным теориям в рамках теории УПП.

Может возникнуть вопрос: зачем понадобился переход от достаточно простой исходной формы ОС (5.13) к более сложному виду (5.16)? Вероятно, это связано со следующими обстоятельствами. Структура соотношений (5.13)–(5.16) совпадает со структурой ОС теории пластического течения (с учетом упругих деформаций), разрешенных относительно приращений напряжений. В работе [11] показано, что соотношения известных теорий пластического течения (Прандтля–Рейсса, Прагера–Ланинга, Генки–Надаи, Кадашеви- ча–Новожилова) могут быть приведены к виду (5.16) путем соответствующего определения параметров N и P через параметры указанных теорий. Это позволяет без существенных изменений применять весьма обширный арсенал существующих в настоящее время методов и программ, разработанных для теории течения, с приведенными здесь ОС.

160