Теория пластичности

с данным обстоятельством представляется целесообразным кратко остановиться на некоторых экспериментальных результатах исследования поведения материалов при их нагружении (деформировании), в частности, – на ряде интересных эффектов, не нашедших до настоящего времени удовлетворительного описания в моделях материалов, в силу чего представляющих собой весьма важный и интересный предмет будущих исследований.

Наиболее простыми являются эксперименты по одноосному нагружению сплошных цилиндрических (или прямоугольного поперечного сечения) образцов (опыты на растяжение–сжатие). Следует подчеркнуть, что подавляющее большинство экспериментов основано на предположении о макроскопической однородности параметров, характеризующих исследуемый процесс (напряжения, деформации, температура и т.д.), во всем объеме рабочей части образца. Действительно, в экспериментах измеряются некоторые интегральные характеристики процесса (удлинения, углы закручивания, силы и моменты, действующие на образец). Для перехода к локальным характеристикам (деформациям, напряжениям и т.д.) явно или неявно используется гипотеза об однородности; например, при одноосном нагружении образца продольная компонента тензора напряжений Коши определяется как частное от деления действующего продольного усилия на текущую площадь поперечного сечения.

Локализация деформации на макроскопических масштабах (например, образование так называемой шейки) приводит к возникновению в окрестности области локализации сложного (двуили трехмерного) напряженно-деформированного состояния и неприменимости для обработки столь простых соотношений. «Пересчет» измеренного продольного усилия в компоненты тензора напряжений в этом случае потребует постановки и решения соответствующей краевой задачи. Обязательным элементом постановки являются ОС. Однако исходной целью проводимых экспериментов и является установление ОС (хотя бы для простейшего, одноосного нагружения)! Тем самым приходим к ситуации «замкнутого круга». Возможным вариантом выхода из этого тупика является постановка и решение весьма слож-

31

ной обратной краевой задачи, как правило, некорректной, не имеющей единственного решения.

В дальнейшем, если не оговаривается обратного, речь будет идти только об экспериментах, в которых с необходимой точностью выполняется гипотеза макроскопической однородности. В то же время необходимо иметь в виду, что процессы неупругого деформирования на мезоскопическом и более низких масштабных уровнях всегда идут с нарушением гипотезы однородности, по своей сути это процессы локализованные.

Различают два основных типа экспериментов и соответствующих испытательных машин: «жесткое» и «мягкое» нагружение.

Вмашинах «жесткого» (или кинематического) типа образцу предписывается определенная история деформации, откликом являются усилия, далее пересчитываемые в компоненты тензора напряжений.

Вмашинах «мягкого» (силового) типа задается некоторая история изменения нагрузок (напряжений), а реакцией материала образца является история изменения характерных геометрических параметров (длин и углов между материальными отрезками), пересчитываемых затем в компоненты тех или иных тензоров деформации. Следует отметить, что получаемые для одних и тех же материалов результаты экспериментальных исследований на машинах разных типов могут отличаться весьма существенно; некоторые примеры будут приведены ниже. На рис. 2.1 приведена типичная кривая деформирования упругопластического тела, для определенности – при растяжении (например, стального низкоуглеродистого поликристаллического образца в изотермических условиях при умеренных скоростях деформации).

Через ε, σ обозначены (одноосные) деформации и напряжения;

σp , σs – предел пропорциональности (до достижения этого напряже-

ния связь напряжения и деформации можно принять линейной, тангенс угла наклона прямой равен модулю упругости) и предел текучести (напряжения, при котором в образце возникают остаточные деформации принятой по соглашению величины, обычно 0,2 % или

32

отсутствия упрочнения, так называемой площадки текучести), ин-

тенсивного упрочнения и локализации деформации с последующим разрушением. На начальном участке деформирования возможно появление так называемого «зуба текучести» (фиксируемого только на машинах кинематического типа), изображенного на рис. 2.1 пунктирной линией; физически его появление может быть обусловлено либо прорывом активированными дислокациями так называемых дислокаций леса, либо отрывом дислокаций от окружающих их атмосфер примесных атомов (более подробно физические механизмы обсуждаются в гл. 3). После пластического деформирования до некоторой точки В на диаграмме последующая разгрузка (ВА) с приемлемой точностью может быть описана упругим законом с модулем упругости, равным первоначальному.

Следует отметить, что при высокоточных исследованиях (например, локальной потери устойчивости упругопластического деформирования) необходимо учитывать определенную условность понятий «жесткого» и «мягкого» нагружений. И в том, и в другом случае заданная программа нагружения выполняется по показаниям датчиков, расположенных на некотором расстоянии от рабочей части образца, на которой производятся замеры характеристик отклика.

33

Между ними находится нагружающее устройство, например, захваты испытательной машины, «нерабочая» часть образца. Нагружающее устройство имеет конечную жесткость, которую следует учитывать при рассмотрении «тонких» эффектов.

Как уже отмечалось выше, линейная зависимость σ – ε на упругом участке и при разгрузке может быть принята как достаточно точная для решения инженерных задач, но даже при весьма малых (сотые и тысячные доли процента) деформациях, несмотря на обратимость деформаций, в многочисленных экспериментах на широком круге материалов показано отклонение зависимости напряжение– деформация от линейной (Я. Бернулли (1690), Кулон (1784), Дюпен

(1815), Герстнер (1824), Ходкинсон (1824–1844), Вертгейм (1844),

Кельвин (1865), Баушингер (1879) и многие другие [6]). В этих экспериментах было обнаружено также снижение модуля упругости при разгрузке после деформирования и вторичной нагрузке; при этом исследователи обнаружили остаточные деформации даже при очень малых деформациях (порядка 10-5). Большинство из них было солидарно с точкой зрения, весьма четко высказанной И. Ходкинсоном: «…Даже самые малые нагрузки производят, по-видимому, остаточные деформации; ни одно тело не возвращается к своей первоначальной форме после того, как в его конфигурации были произведены какие-либо изменения» (цитируется по [6]). Многими исследователями еще в XIX в. высказывалась мысль о наличии остаточных деформаций при нагружении напряжениями, близкими к нулю, и величина этих остаточных деформаций, измеряемых при малых напряжениях, ограничивается снизу только возможностями измерений; говоря современным языком, речь идет об отсутствии в материалах предела текучести, точнее, его близость нулю. С механической точки зрения данный факт можно объяснить появлением в процессе изготовления образца остаточных напряжений мезо- и микроуровня. Учитывая, что основным механизмом пластической деформации является движение линейных дефектов – дислокаций, с физической точки зрения это означает различие в разных частях поликристалла критических напряжений активации дислокаций (подробнее см. гл. 3).

34

Отметим еще один весьма интересный результат, полученный К.К. Персоном еще в 1848 г. [6]. Он предположил наличие связи между модулями упругости металлов и их скрытой теплотой плавления. Используя экспериментальные данные Г. Вертгейма по модулям упругости, Персон для пары цинк–олово получил отношение модулей упругости 2.17 (отношение значений скрытой теплоты плавления 1.97), для пары цинк–свинец – 4.80 (5.23), для пары олово–свинец – 2.20 (2.65), для пары цинк–висмут – 2.28 (2.22). Это можно считать подтверждением предположения, что модуль упругости определяется главным образом силами межатомного взаимодействия, которыми определяется и скрытая теплота плавления.

Несмотря на отмеченные отклонения от линейной упругости даже при малых напряжениях, закон Гука остается одним из наиболее широко используемых при расчетах широкого класса реальных конструкций. Почему? Совершенно очевидно, что дело не в том, что специалисты не знакомы с указанными фактами, а с проблемой сложности решения реальных задач, являющихся, как правило, нелинейными в силу контактных граничных условий, геометрической нелинейности. Внесение нелинейности физических уравнений в постановку, а затем – в алгоритм и процедуру решения приведет к еще большим сложностям. При этом зачастую исчезает возможность аналитического решения задач теории упругости, что также не подвигает исследователей к применению нелинейных соотношений на ранних стадиях деформирования. Пожалуй, самым главным аргументом в пользу применения линейных соотношений упругости является вполне приемлемая точность решений для подавляющего числа реальных конструкций.

Вероятно, начало систематических исследований процессов пластического течения следует связать прежде всего с именем А.Э. Треска. Начиная с 1863 г., он в течение 7 лет провел огромное количество экспериментальных исследований на широком классе материалов (свинец, медь, лед, парафин и др.) для различных процессов (экструзия через сквозные отверстия различной формы, осадка, обратная экструзия, пробивка листов цилиндрическим пуансоном). Анализи-

35

руя результаты экспериментов, Треска пришел к нескольким выводам, важнейшими из которых представляются следующие:

1.Все твердые тела при достижении достаточно высоких давлений обладают способностью к течению подобно жидкостям.

2.Для всех твердых тел существует характерная величина касательного напряжения, при котором они начинают пластически течь.

3.Существуют три фазы деформирования твердых тел: упругая, упрочнения и идеальной пластичности.

Одним из первых Треска исследовал также вопрос о доле работы пластического деформирования, переходящей в тепло; по его результатам от 70 до 95 % работы превращалось в тепловую энергию. Справедливости ради следует отметить, что первые исследования тепловыделения при больших пластических деформациях были проведены К.Л. Бертоле в 1809 г. Эффекты тепловыделения и их влияние на процесс пластического деформирования интенсивно изучались и в ХХ в. такими известными механиками, как Д.Т. Тейлор, Х. Квинни, О. Диллон, в работах которых было показано, что «выход тепла» составляет более 90 % от затраченной на формоизменение работы.

Весьма существенный вклад в экспериментальные исследования неупругого деформирования материалов был внесен И. Баушингером, возглавлявшем с 1871 по 1893 г. механико-техническую лабораторию Королевской высшей технической школы в Мюнхене. Для проведения прецизионных измерений им был изобретен зеркальный экстензометр, позволивший достичь точности в измерении деформаций до 7·10–7 (!). Баушингером были проведены многочисленные эксперименты по реверсивному нагружению. В частности, было показано, что если после нагружения растяжением и разгрузки продолжить нагружение в противоположном начальному нагружению направлении (в данном случае – по сжатию образца), пластические деформации сжатия для большинства поликристаллических образцов появляются при напряжении, меньшем (по модулю), чем предел текучести

первичного нагружения σs ; это явление хорошо известно в теории пластичности и носит название эффекта Баушингера.

36

Как отмечено выше, в классической теории пластичности физическое время, как правило, не используется, оно заменяется некоторым неубывающим параметром (обычно длиной дуги деформации). В связи с этим в ОС отсутствуют и скорости деформации. Однако в реальных условиях нетрудно обнаружить зависимость поведения материала от скорости деформации (даже при относительно небольших скоростях деформации, порядка 101–102 с–1), что приводит механиков к необходимости исследования скоростных эффектов и формулировки соответствующих ОС (например, вязкопластических). Первым обратил внимание на влияние вязкости на процессы пластического течения Р.Г. Тарстон; в опубликованных им в 1876 г. результатах экспериментальных исследований отмечалось, что сопротивление деформации при увеличении скорости деформации неизменно увеличивается. На рис. 2.2 схематичные диаграммы σ – ε приведены для нескольких скоростей деформирования (ξ – скорость одноосной деформации); видно, что повышение скорости деформации приводит к увеличению напряжения деформирования. Следует отметить, что для некоторых материалов имеются данные экспериментов об их аномальном поведении; например, К.Ф. Элам в опытах на армко-железе получила более низкое значение сопротивления

37

ния сопротивления пластической деформации. Следует отметить, что влияние скорости и температуры деформирования на поведение материалов в реальных процессах гораздо сложнее, чем указано выше. Например, при выдержке поликристаллов после предварительной пластической деформации при повышенных температурах (0,1–0,2 Тг, Тг – так называемая гомологическая температура, равная отношению температуры процесса к температуре плавления материала в градусах Кельвина), приводит к существенному повышению напряжения течения при последующем пластическом деформировании; данное явление носит название старения и обусловлено «закреплением» дислокаций диффундирующими к ним атомами «примесей». Основываясь на физике твердого тела, можно констатировать, что все процессы деформирования, в которых велика роль диффузионных процессов (диффузия точечных дефектов, неконсервативное движение («переползание») дислокаций и др.) чувствительны к скорости деформации и температуре.

В качестве одного из примеров подобного влияния может служить хорошо известный эффект Портвена – Ле Шателье, заключающийся в следующем. При низких скоростях деформирования и повышенной температуре при «жестком» (кинематическом) нагружении на диаграмме σ – ε наблюдаются «зубчики», пилообразная форма диаграммы; при «мягком» (силовом) нагружении диаграмма становится ступенчатой (рис. 2.3). Следует отметить, что первоначально открытие данного эффекта принадлежит Ф. Савару (1837) и А. Массону (1841) [6], однако работам этих исследователей не было уделено должного внимания, и позднее (1923) эффект был «переоткрыт» А. Портвеном и Ф. Ле Шателье [181], именами которых он и называется в большинстве современных работ. Справедливости ради отметим, что, в отличие от Савара и Массона, Портвен и Ле Шателье изначально ставили своей целью изучение именно прерывистой пластичности. Для решения этой задачи они использовали образцы из сплавов (алюминий + 4,5 % меди) и (алюминий + 4,5 % меди + 0,5 % магния); испытания проводились в машине кинематического типа (жесткое нагружение) при скоростях деформации 0,08 мин–1.

38

воздействий. Это могут быть и отрывы дислокаций от атмосфер Коттрелла, и зернограничные сдвиги, и возникновение мезополос и кооперативных полос сдвига, и перестройки дислокационных субструктур. Каждое из этих явлений имеет подтверждение и в экспериментальных исследованиях на мезо- и микроуровнях, и при моделировании с использованием моделей различных масштабных уровней.

Вероятно, к подобного рода эффектам следует отнести и открытое Р.Г. Тарстоном в 1873 г. повышение предела текучести после предварительной пластической деформации и выдержки в деформированном состоянии в течение 24 ч при комнатной температуре. При этом отмечено, что разгрузка образца и немедленное последующее деформирование не приводили к изменению предела текучести. Подобные эксперименты проводились в 1877 г. И. Баушингером, который изучал влияние на значение предела текучести продолжительности паузы между разгрузкой и повторным нагружением или продолжительности выдержки при неизменном напряжении.

Весьма интересный эффект был обнаружен в начале ХХ в. Дж. Г. Пойнтингом [183, 184]. В опытах на кручение проволоки им было обнаружено появление сжимающих продольных напряжений при фиксированных торцах образца или появление продольных удлинений (пропорциональных квадрату угла закручивания) при свободных торцах. Аналогичные опыты были осуществлены на более совершенном экспериментальном оборудовании Х.У. Свифтом, результаты которых были опубликованы в 1947 г. [193]; в литературе данный эффект часто называют эффектом Пойнтинга–Свифта. В последние десятилетия эффект Пойнтинга–Свифта часто используется в теории пластичности больших деформаций для качественной верификации ОС [76]. Заметим, что классические геометрически линейные теории пластичности (например, теория пластического течения) не описывают данного эффекта.

Как видно из этого очень краткого экскурса в область экспериментов по неупругому деформированию, даже при одноосных испытаниях сплошных образцов материалы обнаруживают различное поведение. Следует отметить, что указанные выше эффекты до

40