Теория пластичности

Плоскость, перпендикулярная экстраплоскости и определяемая нормалью n, называется плоскостью залегания или плоскостью скольжения краевой дислокации; вектор Бюргерса b краевой дислокации расположен в плоскости залегания и определяет направление возможного движения (скольжения) дислокации. Край экстраплоскости определяет положение линии дислокации, вдоль которой направляется единичный вектор l , так, что тройка (l,b,n) является правой

тройкой. Плоскость залегания краевой дислокации, таким образом, совпадает с плоскостью (b, l) . В зависимости от расположения экст-

раплоскости выделяют положительные и отрицательные краевые дислокации, обозначаемые соответственно как и T. Под действием приложенных напряжений краевые дислокации могут скользить в плоскости залегания (в направлении вектора Бюргерса), такое их движение называется консервативным, или двигаться в направлении вектора n (переползать) за счет присоединения к краю экстраплоскости вакансий, такое движение называется неконсервативным.

Винтовую дислокацию схематично вводят обычно следующим образом: в цилиндрическом бездефектном кристалле делается радиальный надрез до оси цилиндра; вдоль пересечения плоскости надреза и боковой поверхности цилиндра края надреза смещаются на одно межатомное расстояние и соединяются, после чего дают системе отрелаксировать. В полученной таким образом конфигурации нарушения правильного строения кристалла сосредоточено в узкой области вблизи оси цилиндра, которая является линией винтовой дислокации и определяется единичным вектором касательной l. Вектор Бюргерса b винтовой дислокации параллелен линии дислокации. В зависимости от направления вектора Бюргерса по соглашению вводятся положительные и отрицательные винтовые дислокации, обозначаемые как g и соответственно.

В реальных кристаллах дислокации в общем случае имеют криволинейную форму, в каждой точке линии дислокации могут присутствовать краевые и винтовые составляющие. Часто дислокации представляют собой замкнутые петли. При этом из ФТТ извест-

81

ны следующие геометрические свойства дислокаций: вектор Бюргерса постоянен в каждой точке данной дислокации; дислокации не могут обрываться в кристалле, они могут либо выходить на поверхность кристалла, либо образовывать замкнутые петли, либо разветвляться; в каждой точке ветвления суммарный вектор Бюргерса исходящих из узла дислокаций равен нулевому вектору.

Несмотря на то, что дислокации не являются равновесными дефектами, в реальных кристаллических материалах всегда присутствует значительное количество дислокаций. Количественной мерой при этом служит плотность дислокаций, определяемая суммарной длиной дислокаций в единице объема. Даже в хорошо отожженных кристаллах плотность дислокаций составляет 105–108 см/см3 (см–2), доходя в деформированных кристаллах до 1012–1014 см–2 (104–106 км в 1 мм3!). Дислокации в кристаллических материалах образуются уже на стадии кристаллизации из расплавов, растворов или газообразной фазы. В процессах термообработки возможными механизмами образования дислокаций (в виде петель) являются диффузионные процессы, приводящие к возникновению дисков вакансий и межузельных атомов.

Отметим, что в кристаллических телах плоскости залегания и ориентация векторов Бюргерса, вдоль которых осуществляется трансляционное движение (скольжение) краевых дислокаций, известны; ими являются наиболее плотно упакованные плоскости и направления. Так, в ГЦК-металлах скольжение краевых дислокаций осуществляется в плоскостях системы {111} по направлениям <110>, соединяющим ближайшие в плоскости плотнейшей упаковки атомы (иначе говоря, в системе скольжения {111}, <110>), итого – 12 систем скольжения (СС). Следует отметить, что при повышенных температурах в некоторых ГЦК-кристаллах (например, в алюминии) наблюдается скольжение по 3 плоскостям системы {100} по 2 направлениям <110>. В ОЦК-решетке трансляционное движение краевых дислокаций осуществляется в плоскостях {110}, {112} или {123} по направлениям <111>; каждому из 4 направлений <111> соответствуют по 3 плоскости скольжения из систем плоскостей {110}, {112}

82

и 6 плоскостей скольжения из системы {123}, так что полное число СС достигает 48. В ГПУ металлах скольжение имеет место по базис-

ным плоскостям {0001} в направлении 1 1 2 0 , плоскости {1 1 2 2}

по направлению 1 1 2 3 ; возможно также скольжение в так назы-

ваемых призматических плоскостях {1 0 1 0} . Обозначив через а

длину ребра кубической решетки, нетрудно установить, что векторы Бюргерса в ГЦК-решетке суть векторы а/2 <110> (модуль вектора

Бюргерса a 2 ), в ОЦК – а/2 <111> (модуль – a 32 ), в ГПУ – a 1120 (модуль – а; для ГПУ а – длина стороны правильного шес-

тиугольника в базисной плоскости).

Из опытов, активно проводимых с 20-х гг. на монокристаллах, известно, что пластическое деформирование осуществляется за счет сдвига одних частей кристалла относительно других при прохождении краевых дислокаций по так называемым активным системам скольжения. При этом было установлено, что условием активации k-й системы скольжения является достижение касательным напряже-

темы скольжения (здесь под b(k) понимается единичный вектор в направлении соответствующего вектора Бюргерса); чаще в литературе в качестве ориентационного тензора M(k) k-й системы используется симметричная часть диадного произведения:

Условие (3.6) в литературе обычно называется законом Шмида, устанавливающим момент начала неупругого деформирования при

83

достижении в системе скольжения критического значения касательного напряжения. Для определения начального (без учета деформационного упрочнения) критического напряжения часто используется так называемое (барьерное) напряжение Пайерлса–Набарро, полученное на основе энергетического рассмотрения: в исходном и конечном состоянии (после перехода дислокации в новое равновесное состояние) атомная решетка с дислокацией имеет минимальную потенциальную энергию. Для перехода требуется преодоление энергетического барьера, зависящего от параметров решетки, типа дислокации и ее вектора Бюргерса. Предполагая зависимость энергии и напряжения сдвига синусоидальной (аналогично модели Я.И. Френкеля, однако период полагается равным вектору Бюргерса), Пайерлс получил следующее выражение для напряжения старта движения дислокации (напряжение Пайерлса – Набарро) τП-Н [77]:

где q = 1 для винтовой и q = 1 – ν – для краевой дислокации, G – модуль упругости, d – расстояние между атомными плоскостями в нормальном по отношению к плоскости скольжения направлении, ν – коэффициент Пуассона. Напряжение τП-Н существенно зависит от

отношения d/b; например, при отношении d/b = 1 τП-Н = 2,5·10–4G, при d/b = 1,5 τП-Н = 2,1·10–6G. В силу этого плоскостями легкого

скольжения являются плотноупакованные кристаллографические плоскости, расстояние между которыми является наибольшим. Из (3.8) следует, что при прочих равных условиях τП-Н для винтовых

дислокаций существенно выше (более чем на порядок) стартового напряжения для краевых дислокаций. Следует особо подчеркнуть, что формулы типа (3.8) имеют скорее качественный, чем количественный характер, они правильно отражают основные черты физики процесса, но малопригодны для практических расчетов, производимых механиками. В то же время такого рода соотношения весьма по-

84

лезны и для механиков, поскольку позволяют установить характер зависимостей, общий вид соотношений, которые затем могут быть скорректированы за счет введения дополнительных параметров, значения коих устанавливаются в соответствующих макроэкспериментах.

Выполнение критерия (3.6) в одной системе скольжения – свидетельство одиночного скольжения. Если кристалл подвергается нагружению, при котором дислокации начинают скользить в двух или более системах, – это двойное или множественное скольжение.

Рассмотрим монокристалл, ориентированный на одиночное скольжение краевых дислокаций в направлении оси x1 в плоскости x1Ox3 (единичная нормаль n ориентирована вдоль оси Ox2). Размеры кристалла вдоль осей x1, x2 и x3 обозначим соответственно через a1, a2 и a3. Тогда прохождение одиночной дислокации с вектором Бюргерса b приводит к сдвигу одной части кристалла относительно другой (в направлении оси х1), величина которого может быть приближенно (в среднем) оценена сдвиговой деформацией:

Если дислокация «прошла» лишь некоторую часть ∆a1 кристалла вдоль оси x1, то можно принять, что сдвиг составляет часть ∆a1/a1 от введенного выше. Тогда, вводя среднюю длину свободного пробега дислокаций λ и полагая, что подвижными являются n дислокаций данной системы скольжения, определяем величину сдвига следующим соотношением:

ρ = na3/(a1a2a3) = n/(a1a2)). Соотношение (3.9) может быть записано для любой k-й системы скольжения:

85

Как уже отмечено выше, плотность дислокаций в металлах меняется в широких пределах – от 105–108 см–2 в отожженных кристаллах до 1012–1014 см–2 в сильно деформированных. Существуют специальные способы термообработки, позволяющие снизить плотность дислокаций до 103 см–2.

Принимая плотность дислокаций постоянной и дифференцируя соотношение (3.9), можно для каждой системы скольжения получить выражение для скорости сдвига:

где v – средняя скорость движения дислокаций. Следует заметить, что более корректным представляется использование в качестве исходного именно соотношения (3.11), где ρ – плотность подвижных дислокаций в текущий момент деформирования. В этом случае нет необходимости в гипотезе о неизменности плотности подвижных дислокаций. Кроме того, при таком ходе рассуждений точно выполняется аддитивность скоростей сдвигов по различным системам скольжения, принятая ниже. Суммируя скорости сдвига по всем системам скольжения рассматриваемого кристалла, для монокристалла, деформируемого только путем скольжения краевых дислокаций, можно следующим образом определить девиатор тензора деформаций скорости:

k=1

Вобщем случае скольжения и переползания краевых и движения винтовых дислокаций выражения для девиатора деформаций скорости имеют вид

где Є – тензор (третьего ранга) Леви–Чивиты; N – тензор третьего ранга, определяемый соотношением

86

В последнем соотношении f = f (b, l, r) – функция распределения дислокаций в точке r по параметрам b и l, где l – единичный вектор, направленный вдоль линии дислокации (для винтовой дислокации совпадает с направлением вектора Бюргерса; для краевой дислокации векторы l, b, n составляют правую тройку).

Выше уже отмечалось, что, несмотря на высокую энергию образования дислокаций, в реальных кристаллах в состоянии поставки («недеформированных») всегда наличествуют дислокации с плотностью 103–108 см–2. Однако наиболее важными являются источники дислокаций, инициируемые деформацией кристалла (точнее, источники размножения дислокаций). К числу наиболее эффективных из них относятся источники Франка–Рида (закрепление сегментов дислокаций на сильных препятствиях (например, на жестких включениях вторичных фаз или достаточно прочных барьерах дислокационной природы) и испускание закрепленным сегментом под действием приложенных напряжений дислокационных петель) и двойное поперечное скольжение винтовых дислокаций (изменение плоскости скольжения винтовой дислокации с последующим переходом в плоскость скольжения, параллельную исходной; механизм подобен механизму Франка–Рида, однако закрепление сегмента дислокации в новой плоскости скольжения осуществляется за счет неподвижных участков дислокации краевой или смешанной ориентации, расположенных в плоскости поперечного скольжения).

3.9. Дислокационные реакции

Таким образом, основным механизмом пластического деформирования является движение дислокаций. Казалось бы, при достижении критических напряжений в образце (по крайней мере, монокристаллическом) дальнейшее пластическое деформирование должно продолжаться до каких угодно деформаций при сохраняющейся

87

нагрузке. Однако для большинства металлов и сплавов, даже в опытах на монокристаллических образцах, обнаруживается, что для продолжающейся пластической деформации требуется увеличивать прикладываемую к образцу нагрузку; иначе говоря, материалы упрочняются в процессе пластического деформирования. В чем причина такого поведения материалов? Оказывается, что «ответственность» за возникновение различных эффектов упрочнения (и многих других эффектов, отмеченных в гл. 2) несут различные механизмы взаимодействия дислокаций с другими дефектами – точечными, линейными, поверхностными и объемными, т.е. движущиеся дислокации, встречая на своем пути другие дефекты, вступают с ними в реакции, во взаимодействие. В связи с этим понимание указанных процессов является весьма важным для построения ОС, особенно для развитых пластических деформаций.

Выше рассматривались так называемые полные (или единичные, или совершенные) дислокации с вектором Бюргерса, равным одному из трансляционных векторов решетки, перенос на который (или n-кратный перенос) делает конечное состояние решетки неотличимым от исходного. Однако в типичных металлических кристаллах имеются дислокации с отличными от трансляционных векторами Бюргерса, которые называются частичными дислокациями. Такие частичные дислокации могут взаимодействовать друг с другом с образованием полных дислокаций; напротив, полные дислокации могут диссоциировать на несколько частичных, т.е. частичные дислокации сами могут рассматриваться как продукт реакции дислокаций. Рассмотрим более подробно частичные дислокации на примере ГЦКкристаллов. В ГЦК-решетке имеет место следующее расположение атомов (рис. 3.12): первый слой составляют плотноупакованные «шары», позиция которых в проекции на плоскость плотнейшей упаковки (111) обозначена буквой А. Положение центров «шаров» второго слоя в проекции на ту же плоскость обозначены буквой В, третьего – как С, далее соблюдается периодичность (АВС…).

88

Такое расположение плотноупакованных слоев ГЦК-решетки обозначают как упаковку АВСАВСАВС…. Заметим, что для ГПУрешетки имеет место периодичность АСАСАС….

Предположим, что в кристаллической решетке имеется (полная) краевая дислокация, экстраплоскость которой перпендикулярна плоскости рисунка, ее край совпадает со слоем В, вектор Бюргерса b

( a 2[101] ) перпендикулярен экстраплоскости и расположен в плоско-

сти плотнейшей упаковки (см. рис. 3.12). Единичный акт перемещения полной дислокации осуществляется переходом атомов экстраплоскости из положения В в новое положение того же типа В. Однако энергетически выгоднее атомам экстраплоскости вначале перейти в сосед-

нее положение лунки С (на вектор b1 (a 6[211]) ); при этом локально

Рис. 3.12. Расположение атомов ГЦК-кристаллов в проекции на плоскость (111)

89

нарушается «правильная» последовательность АВСАВС, которая на некоторой части слоев заменяется на последовательность АСАС. Эта часть слоев называется дефектом упаковки и трактуется как поверхностный дефект кристаллической решетки. Затем атомы переходят в но-

вое положение смещением на вектор b2 (a 6[112]) , восстанавливая

«правильное» чередование слоев. Поверхность дефекта упаковки отделяется от остальной части кристалла выделенной линией, называемой частичной дислокацией, и обозначается как и .

Для частичных дислокаций вектор Бюргерса не совпадает

свектором, равным межатомным расстояниям, и не перпендикулярен линии (краевой) дислокации. Частичные дислокации с вектором Бюргерса, лежащим в плоскости их скольжения, называются дислокациями Шокли; на рис. 3.12 изображены именно дислокации Шокли

свекторами Бюргерса b1 и b2. Совокупность двух частичных дислокаций и дефекта упаковки между ними называется расщепленной дислокацией.

Важнейшей характеристикой способности кристаллического

материала к образованию дефектов упаковки (а, следовательно, и расщепленных дислокаций) и определяющей ширину дефекта упаковки является энергия дефекта упаковки ЕДУ (ЭДУ). Численно ЭДУ равна силе отталкивания частичных дислокаций (на единицу длины), или силе поверхностного натяжения дефекта упаковки; чем ниже ЭДУ, тем больше ширина дефекта упаковки и тем более кристалл склонен к образованию расщепленных дислокаций. Значения ЭДУ существенно различаются для разных металлов; так, для меди ЕДУ равна примерно 40 эрг/см2, для алюминия – 200 эрг/см2. Легирование металлов, как правило, приводит к существенному снижению ЭДУ; например, для бронз (Cu + Al) с содержанием 4,5 и 7 % Al ЭДУ составляет соответственно 20 и 2 эрг/см2.

Если векторы Бюргерса частичных дислокаций лежат в плоскости скольжения (частичные дислокации Шокли), то расщепленная дислокация может совершать консервативное движение. В то же время для совершения переползания (например, при преодолении пре-

90