Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Савёлова Методы решения некорректных задач 2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

6.26 Mб

Скачать

☆

1 / 271 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

Т.И. Савѐлова, Т.М. Иванова, М.В. Сыпченко

Методы решения некорректных задач текстурного анализа и их приложения

Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов

высших учебных заведений

Москва 2012

УДК 539.26.01 ББК 22.37 С 12

Савѐлова Т.И., Иванова Т.М., Сыпченко М.В. Методы решения некорректных задач текстурного анализа и их приложения:

Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2012. – 268 с.

Приведены элементы кристаллографии, теории представлений групп SU(2) и SO(3). Рассматривается решение задачи восстановления функции распределения ориентаций зерен поликристаллов (в том числе и наноматериалов) по измеренным рентгеновским или нейтронным методами полюсным фигурам, а также по набору ориентаций отдельных зерен, полученному методами электронной микроскопии.

Предназначено для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика» и инженерно-физическим специальностям, а также аспирантов и научных работников, занимающихся математической обработкой текстурного эксперимента и исследованием достоверности получаемых результатов.

Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.

Рецензент канд. физ.-мат. наук Д.И. Николаев

ISBN 978-5-7262-1740-6	Национальный	исследова-
	тельский ядерный	университет
	«МИФИ», 2012

			Оглавление
Предисловие ..........................................................................................						8
Глава 1. Поликристаллические материалы.......................................						14
1.1.	Кристаллические		системы	и	пространственные
решетки ..............................................................................................						14
1.2. Кристаллические структуры металлов					.................................	20
1.3.	Индексы	кристаллографических			плоскостей	и
направлении.........................................................................................						25
1.4.	Представление		ориентаций.		Стереографическая
проекция...............................................................................................						32
1.5. Поликристаллы .......................................................................						34
Контрольные вопросы...................................................................						35
Глава 2. Экспериментальные кристаллографические .....методы						36
2.1. Закон Вульфа–Брэгга..............................................................						36
2.2. Рентгеновские методы...........................................................						38
2.3. Методы дифракции нейтронов ..............................................						42
2.4. Электронная микроскопия ....................................................						45
Контрольные вопросы...................................................................						49
Глава 3. Представления группы SU(2)..............................................						50
3.1. Группа SU(2) ...........................................................................						50
3.2. Неприводимые представления Tl u				...................................		62
			3

3.3.	Матричные	элементы	представлений	T u .
				l
Многочлены Лежандра и Якоби........................................................				72
3.4. Разложение функций на группе SU(2) ..................................				78
3.5. Характеры представлений T u ..........................................				84
		l
Контрольные вопросы...................................................................				90
Глава 4. Методы решения основной некорректной задачи
текстурного анализа (обзор) ..............................................................				91
4.1. Постановка задачи ..................................................................				93
4.2.	Разложение в ряды ФРО и ПФ. Неединственность решения.
Метод Роу–Бунге ................................................................................				96
4.3. Векторный метод ..................................................................				100

4.4.Метод компонент или метод аппроксимации ФРО

стандартными функциями................................................................	104
4.5. Пример применения различных методов ...........................	109
4.6. Критерии сравнения методов...............................................	113
Контрольные вопросы.................................................................	115
Глава 5. Нормальные распределения на группе SO(3) ..................	116

5.1.Определения и классификация нормального

распределения ..................................................................................		116
5.2. Приближенные	вычисления	нормального
распределения ...................................................................................		118
5.2.1. Метод суммирования ряда Фурье ....................................		118
	4

5.2.2. Аналитическое приближение ...........................................	123
5.2.3. Специализированный метод Монте-Карло .....................	126
5.3. Выводы ..................................................................................	130
Контрольные вопросы.................................................................	131
Глава 6. Робастный метод аппроксимации ФРО	нормальными
распределениями...............................................................................	132

6.1.Аппроксимация ФРО текстуры прокатки магния

нормальными распределениями на SO(3) ......................................		133
6.2. Моделирование текстуры образца нанокристаллического
магния, полученного методом	равноканального	углового
прессования .......................................................................................		141
Контрольные вопросы.................................................................		148

Глава 7. Получение ориентаций отдельных зерен поликристаллов

при EBSD измерениях и вычисление ФРО и ПФ ..........................	149
7.1. Погрешности EBSD-измерений...........................................	152
7.2. Вычисление ПФ и ФРО магния на основе EBSD-
измерений ..........................................................................................	159
Контрольные вопросы.................................................................	164
Глава 8. Робастные методы восстановления ФРО	по набору
отдельных ориентировок..................................................................	165

8.1. Вычисление статистических характеристик ядерных оценок

ФРО ....................................................................................................

166

8.2. Статистические характеристики для центральных функций

............................................................................................................. 170 5

8.3.Проекционные оценки ФРО и их статистические

характеристики..................................................................................	171
8.4. Состоятельность ядерных и проекционных оценок ..........	173

8.5.Оптимизация ядерных оценок относительно ядра

сглаживания.......................................................................................	176
8.6. Исследование устойчивости ядерных и проекционных
оценок относительно погрешностей ...............................................	179

8.7.Оценка точности ядерных методов для зависимых

ориентировок.....................................................................................	181
8.8. Численные результаты .........................................................	187
Контрольные вопросы.................................................................	202
Глава 9. Применение ФРО при исследовании физических
свойств ...............................................................................................	204
9.1. Вычисление средних значений свойств поликристалла ...	204

9.2.Вычисление усредненных упругих свойств для

поликристаллов магния и титана.....................................................

206

9.3.Применение ФРО при исследовании пластической

деформации сплава магния при РКУП ...........................................	211
Контрольные вопросы.................................................................	220
Заключение ........................................................................................	221
Список использованной литературы...............................................	225
Приложение 1. Вклад русских ученых в изучение
кристаллографической текстуры материалов ................................	239
6

Приложение 2. Функциональные соотношения для функций
Pl z ...............................................................................................	250
mn
Приложение 3. Приближение центрального нормального
распределения на группе вращений ................................................	260
Приложение 4. Коэффициенты Клебша–Гордана.........................	267

Предисловие

В последние десятилетия в связи с совершенствованием экспе-

риментальной технологии и возрастающими мощностями компью-

терной техники всѐ более высокие требования предъявляются к математическим методам и комплексам программ обработки экс-

периментальных данных.

Это учебное пособие посвящено математическим методам ре-

шения некорректных задач текстурного анализа. Рассматриваются задачи:

восстановления функции распределения ориентаций зерен

(ФРО) поликристаллов по полюсным фигурам (ПФ), измеренным рентгеновским или нейтронным методом;

вычисления ФРО по набору ориентаций отдельных зерен,

полученному методами электронной микроскопии.

ФРО используется для исследования упругих, магнитных, опти-

ческих, химических и других свойств материалов, а также создания моделей процессов формирования текстуры – кристаллизации, де-

формации, рекристаллизации, трансформации фазы и т.д.

Учебное пособие является более полным изложением математи-

ческого аппарата в текстурном анализе, которому посвящены рабо-

ты [7, 32, 39].

В первой главе даны понятие текстуры поликристаллических материалов (включая наноматериалы), элементы кристаллографии.

Во второй главе излагаются экспериментальные методы иссле-

дования текстур. Основу этих методов составляют облучение по-

ликристаллического образца пучком рентгеновских лучей, элек-

тронов или нейтронов, и измерение дифракции этого пучка. Рент-

геновские и нейтронные методы используются для измерения по-

люсных фигур, являющихся двумерными проекциями ФРО, а ме-

тоды электронной микроскопии – для измерения ориентаций от-

дельных зерен поликристалла.

Третья глава посвящена краткому изложению элементов теории представлений группы унитарных унимодулярных матриц второго порядка SU(2) и связанной с ней группой вращений трехмерного евклидова пространства SO(3). Излагаются необходимые сведения для использования представления ФРО в виде ряда по обобщен-

ным шаровым функциям на группе SO(3), даются свойства шаро-

вых функций.

В четвертой главе дан обзор методов решения задачи восста-

новления ФРО по набору экспериментально полученных полюс-

ных фигур. Эта основная задача количественного текстурного ана-

лиза (КТА) является некорректной. Во-первых, можно восстано-

вить лишь четную составляющую ряда Фурье функции распреде-

ления ориентаций, т.е. имеет место неединственность решения. Во-

вторых, решение неустойчиво относительно погрешностей измере-

ний экспериментальных полюсных фигур. Развитие направления исследования данной проблемы было начато в 1960 году [11]. Ей посвящены монографии [58, 82]. В настоящее время проблему можно считать в основном решенной. В этой главе на примере об-

разца магния горячей прокатки проведено сравнение результатов четырех методов восстановления ФРО по полюсным фигурам: ме-

тода положительности, метода гребневой оценки, метода суперпо-

зиции большого числа стандартных функций и робастного метода компонент. При решении задачи использовались неполные полюс-

ные фигуры, полученные методом рентгеновской дифракции в университете г. Метца (Франция).

Существуют различные подходы к определению нормальных распределений (НР) на группе SO(3). В пособии рассматривается подход, основанный на центральной предельной теореме К.Р. Пар-

тасарати [90].

В пятой главе дается определение НР на SO(3) и излагаются три метода его вычисления: метод рядов Фурье, аналитический метод вычисления по аппроксимирующей формуле и специализирован-

ный метод Монте–Карло. Первые два метода дают представление ФРО в виде гладкой функции, значение которой может быть вы-

числено в любой точке пространства вращений. Эти распределения используются в шестой главе в качестве компонент для аппрокси-

мации ФРО. Специализированный метод Монте-Карло применен в восьмой главе для моделирования набора отдельных ориентаций для последующего восстановления ФРО.

В шестой главе на двух примерах иллюстрируется робастный метод компонент. В качестве компонент используются централь-

ные нормальные распределения (ЦНР) на группе SO(3). В первом примере моделируется текстура горячей прокатки магния на основе шести полных ПФ, полученных нейтронным способом в лаборато-

рии нейтронной физики ОИЯИ (г. Дубна, Россия). Во втором при-

мере моделируется текстура магния до и после процедуры равно-

канального углового прессования (РКУП). После РКУП магний

1 / 271 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]