Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства: , , находим: , . Подставляя найденные значения A и В в выражение для , получаем частное решение данного уравнения общее решение имеет вид

3) Правая часть имеет вид где а, b и  известные числа. Тогда частное решение надо искать в виде где А и В  неизвестные коэффициенты, a r  число корней ха­рактеристического уравнения, равных .

Пример 6. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни , . Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения . В правой части равенства  тригонометрическая функция , т. е. . Так как  корень характеристического уравнения, то r = 1 и частное решение надо искать в виде .

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

,

откуда , . Таким образом, частное решение общее решение уравнения

Пример 7. Найти общее решение уравнения

Решение. Данное уравнение отличается от предыдущего только тем, что . Так как не является корнем характе­ристического уравнения, то и частное решение следует искать в виде

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

откуда т.е. частное решение общее решение уравнения

4) Правая часть имеет вид

где  многочлен степени n, а  многочлен степени т. Тогда частное решение следует искать в виде

где и  многочлены степени s, а r  число корней характеристического уравнения, равных

Пример 8. Найти общее решение уравнения

Решение. Здесь характеристическое уравнение имеет корни Общее решение однородного уравне­ния таково: В правой части уравнения  произ­ведение многочлена нулевой степени, показательной и тригономет­рической функций, так что . Число не является корнем характеристического уравне­ния, поэтому , и частное решение ищем в виде

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем

Приравнивая коэффициенты при и , находим

откуда , . Таким образом, частное решение а общее решение уравнения

Пример 9. По данным корням характеристического уравнения и правой части записать частное решение у линейного неодно­родного уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

Решение. а) Имеем: , . Так как число  корень характеристического урав­нения, то r = 1. Поэтому

б) имеем: , . Число не является корнем характеристического уравнения, поэтому . Следовательно,

в) имеем: , . Так как число не является корнем характеристи­ческого уравнения, то r = 0. Поэтому

.

г) имеем: , . Число  корень характеристического уравнения, поэтому r = 1. Следовательно,

д) имеем: , s = 3. Число  корень характеристического уравнения, значит, . Следовательно,

В заключение сформулируем теорему, которую часто применяют при решении линейных неоднородных уравнений, в правой части которых сумма нескольких слагаемых.

Теорема 10. Если  решение уравнения

у" + ру' + qy = (1.45)

а  решение уравнения

у" + ру' + qy = (1.46)

то сумма + является решением уравнения

у" + ру' + qy = + (1.47)

Пример 10. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни поэтому общее решение соответствующего одно­родного уравнения

Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух функ­ций и , то в соответствии с теоремой 10 частное реше­ние данного уравнения можно искать в виде

где  частное решение уравнения , а  частное решение уравнения .

Сначала найдем частное решение . Так как число не является корнем характеристического уравнения ( ), то част­ное решение , будем искать в виде . Под­ставляя , и в уравнение и сравнивая коэффициенты при и , получаем , откуда , и, следовательно, .

Теперь найдем частное решение . Будем его искать в виде так как число не является корнем характери­стического уравнения. Подставляя , и в уравнение , имeeм . Следовательно, .

Таким образом, частное решение данного уравнения имеет вид а общее решение этого уравнения