1.5. Применение линейных дифференциальных уравнений к изучению колебательных явлений

Л инейные дифференциальные уравнения являются мощным ап­паратом в решении задач о колебаниях, занимающих значительное место в современной технике и физике. Познакомимся с одной из них  с задачей о колебании груза, подвешенного на вертикальной пружине.

П

Рис. 4

о с т а н о в к а з а д а ч и. Пусть груз массой т, подвешен­ный на пружине, движется по вертикальной прямой. Если пружину с грузом оттянуть или сжать, то груз начнет совершать колебания около положения равновесия. Установим закон движения груза, т. е. найдем формулу, выражающую отклонение груза от положения равновесия в любой момент времени t.

Совместим начало координат с положением равновесия груза, а ось Оу направим вертикально вверх. Обозначим через расстоя­ние от конца нерастянутой пружины без груза до положения равно­весия груза, а через у  отклонение груза от положения равновесия в момент времени t (рис. 4). На груз действует сила, равная сумме следующих трех сил: 1) силы тяжести груза mg, направленной вниз; 2) силы сопротивления среды, направленной в сто­рону, противоположную движению груза, и по величине пропорциональной скорости движения груза, т. е. равной где  коэффициент пропорциональности; 3) уп­ругой силы пружины, направленной вверх (т. е. в положительном направлении оси Оу), величина которой, по закону Гука, пропорциональна деформации, т. е. равна где с  коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом жесткости пружины (масса пружины не учитывается).

Согласно второму закону Ньютона получаем следующее уравне­ние движения груза:

Так как в положении равновесия ( ) вес груза mg уравновеши­вается упругой силой пружины, то . Поэтому или

(1.48)

Получено дифференциальное уравнение, которое называется урав­нением свободных колебаний груза, подвешенного на пружине.

Если на груз действует внешняя сила, направленная вертикаль­но (вдоль оси Оу), величина которой зависит от времени t, то уравнение (1.48) принимает вид

(1.49)

Уравнение (1.49) называется уравнением вынужденных колебаний груза, подвешенного на пружине.

Разделив все члены уравнения (1.49) на m и обозначая получаем окончательный вид уравнения вынужденных колебаний:

(1.50)

Уравнение (1.50) представляет собой линейное неоднородное диф­ференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэф­фициентами.

Перейдем теперь к исследованию колебаний, применяя извест­ные решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

С в о б о д н ы е к о л е б а н и я. Пусть отсутствуют внешняя сила и сопротивление среды ( ). Тогда уравнение (1.50) при­нимает вид

Это линейное однородное уравнение. Характеристическое уравнение имеет корни , и общее решение уравнения определяется формулой

где и  произвольные постоянные. Для удобства дальнейших рассуждений заменим произвольные постоянные и постоянны­ми и , полагая (отсюда и ). Тогда

,

и общее решение можно записать в виде

(1.51)

Формула (1.51) выражает закон движения груза, подвешенного на пружине, т. е. отклонение у груза от положения равновесия в любой момент времени t. Согласно этой формуле груз совершает, как говорят, свободные гармонические колебания около положения равновесия. Величина А называется амплитудой колебаний,  частотой колебаний и  начальной фазой.

Для того чтобы выделить из общего решения частное, необхо­димо задать начальные условия движения. Пусть в начальный мо­мент времени t = 0 отклонение и скорость груза известны:

(1.52)

Тогда, дифференцируя, получаем

(1.53)

подставляя начальные условия (1.52) в (1.51) и (1.53), имеем

(1.54)

Отсюда, выражая произвольные постоянные А и через и и подставляя их значения в (1.51), получаем искомое частное реше­ние, удовлетворяющее начальным условиям (1.52).

Из формул (1.54), в частности, следует, что постоянные А и зависят от частоты колебаний и начальных условий движения. Частота же колебаний не зависит от начальных условий, а зависит от отношения коэффициента жесткости пружины к массе груза .

Пусть теперь отсутствует внешняя сила , но имеет место сопротивление среды ( ), например сопротивление воздуха. В этом случае уравнение (1.44) принимает вид

. (1.55)

Характеристическое уравнение имеет корни . Здесь возможны три случая.

1) . Тогда корни и  действительные, различные и отрицательные. Общее решение уравнения (1.55) имеет вид

.

Из полученной формулы следует, что груз колебаний не совершает, при неограниченном возрастании t отклонение груза у бесконечно долго приближается к положению равновесия ( при ). В этом случае говорят, что груз совершает непериодическое затуха­ющее движение.

2) . Тогда корни  действительные равные и отрицательные. Общее решение уравнения (1.55) имеет вид

В этом случае груз совершает движение, аналогичное предыдущему.

3) . Тогда корни и  комплексные. Общее решение уравнения (1.55) имеет вид где . Заменяя и на постоянные А и , запи­шем решение уравнения (1.55) в виде .

Здесь, в отличие от формулы (1.51), амплитуда зависит от вре­мени t. Так как , то амплитуда стремится к нулю при . Поэтому в данном случае груз совершает свободные затухающие колебания около положения равновесия.

В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я. Р е з о н а н с. Рассмот­рим теперь случай, когда на колебательную систему действует периодическая внешняя сила предполагая для простоты, что сопротивление среды отсутствует ( = 0). В этом слу­чае уравнение (1.55) принимает вид

(1.56)

Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициен­тами. Известно, что общее решение этого уравнения является сум­мой общего решения Y соответствующего однородного уравнения, которое было найдено выше (см. формулу (1.51)), и частного решения неоднородного уравнения, которое надо найти.

Рассмотрим отдельно два случая.

а) , т. е. частота внешней периодической силы отлична от частоты свободных колебаний груза. Так как число не совпа­дает с корнем характеристического уравнения , то частное решение можно найти в виде

.

Дифференцируя дважды и подставляя и в уравнение (1.56), найдем: Таким образом,

и общее решение уравнения (1.53) имеет вид

(1.57)

Как следует из формулы (1.57), частное решение определяет колеба­ние системы, создаваемое внешней силой, общее решение  свободное колебание груза, а общее решение у  сложное колебательное движение, получающееся в резуль­тате сложения двух колебаний с разными частотами и .В этом случае амплитуда постоянна, и если и близки по величине, то груз совершает колебания около положения равно­весия с большой амплитудой.

б) = , т. е. частота внешней периодической силы совпадает с частотой свободных колебаний груза. Так как i =i  корень характеристического уравнения , то в этом случае частное решение следует искать в виде

Дифференцируя дважды и подставляя и в уравнение (1.56), найдем: . Таким образом,

и общее решение уравнения (1.56) имеет вид

Как следует из найденной формулы, в данном случае, как и в пре­дыдущем, имеет место сложное колебательное движение, получаю­щееся в результате сложения двух колебаний, но с одинаковыми частотами.

Наличие множителя t во втором члене свидетельствует, что амплитуда колебаний неограниченно возрастает при неограничен­ном возрастании времени t, т. е. груз будет совершать через неко­торый промежуток времени колебания с очень большой амплитудой, даже если амплитуда а внешней силы мала. Это явление называется резонансом. Иногда оно приводит к разрушению колеблющихся систем.

На примере груза, подвешенного на пружине, рассмотрен случай механических колебаний упругих систем (к ним относится колеба­ние на рессорах вагонов, автомобилей и т. п.). Аналогичное иссле­дование проводится и при изучении электрических, звуковых и многих других колебаний. Главную роль в этих исследованиях играют линейные дифференциальные уравнения.

В заключение отметим, что изложенная теория линейных диффе­ренциальных уравнений второго порядка полностью переносится и на линейные дифференциальные уравнения любого порядка.